Probabilités...

[Vathar]

Cela pourrait être la chance.

Sur une dizaine de lancers, oui. sur une centaine, cela devient moins probable (on parle d'une chance sur 10^30).

Encore une fois, il ne s'agit pas de rigueur mathématique théorique, mais d'une application pratique. Il arrivera toujours un point ou il est bien plus raisonnable de supposer que ta piece est truquée.

On n'est pas très loin du raisonnement présenté dans cet épisode de la statistique expliquée à mon chat.

[Etienne Beauman]

J'en déduis que quand tu joues à un jeu dé tu te dis, comme beaucoup de gens, que "le 4 ne risque pas de tomber vu qu'il est tombé les deux coups d'avant".

Mauvaise déduction.

Le fait qu'une pièce soit truquée (i.e. probabilité de faire pile différent de 1/2) n'a RIEN à voir avec le fait que ses tirages successifs ne soient pas indépendants les uns des autres.

Où ai-je dit que les tirages était dépendant les uns des autres ?

Je dis que tous les tirages sont dépendants de la même pièce,
Tu me cites le disant en plus :

quand on lance une même pièce successivement, les tirages ne sont pas indépendants, ils dépendent tous de cette même pièce.

et que donc si elle est truquée, les tirage sont nécessairement dépendants du trucage.

Sinon sur ce que je dis, plutôt que sur tu déduis à tort de ce que je dis, tu as quelque chose ?

[Etienne Beauman]

Il arrivera toujours un point ou il est bien plus raisonnable de supposer que ta piece est truquée.

On n'est pas très loin du raisonnement présenté dans cet épisode de la statistique expliquée à mon chat.

HS : il a eu des soucis avec ces collaborateurs cette chaîne est morte, il continue son excellent travail là.

[John Difool]

On ne se comprend pas je crois : je dis que tu as écris que les tirages ne sont PAS indépendants

quand on lance une même pièce successivement, les tirages ne sont pas indépendants, ils dépendent tous de cette même pièce.

(j'ai mis en gras)

ce qui est faux d'après la définition de "indépendant" dans ce contexte (que j'ai donné précédemment)

---

Par ailleurs je suis plutôt d'accord avec ce que tu racontes, je réagis juste à ce qui me semble être une erreur ici et qui peut (potentiellement) se propager à d'autres points de ton argumentation.

[Jean-Francois]

]On n'est pas très loin du raisonnement présenté dans cet épisode de la statistique expliquée à mon chat.

HS : il a eu des soucis avec ces collaborateurs cette chaîne est morte, il continue son excellent travail là.

On peut aussi faire un lien avec la manière de raisonner avec les "curseurs bayésiens" d'Hygiène mentale: à chaque lancer consécutif de pièce qui tombe sur pile, on augmente la probabilité (personnelle) que la pièce soit truquée. La hausse dépendra de chacun et n'est pas objectivement calculable mais, à moins d'être un joueur compulsif (ou un peu débile), tout le monde finira bien par ne plus penser (ou parier) que le prochain lancer de la pièce tombera sur face.

Jean-François

[Etienne Beauman]

On ne se comprend pas je crois

Ça arrive.

(j'ai mis en gras)

ce qui est faux d'après la définition de "indépendant" dans ce contexte (que j'ai donné précédemment)

Le contexte il est derrière la virgule :

" quand on lance une même pièce successivement, les tirages ne sont pas indépendants, ils dépendent tous de cette même pièce."

Comme dit à Pancrace quand j'utilise des définitions, je les cite.

J'oppose l'indépendance des pièces les unes vis à vis des autres (et même possiblement des lanceurs) lors d'un tirage unique de multiples pièces, à la dépendance physique à la pièce du résultat d'une multitude de lancer d'une unique pièce.

Si on lance tous les deux une pièce, ton résultat est indépendant de mon lancer, et mon résultat est indépendant de ton lancer.

Si tu lances deux fois la même pièce, ton résultat dépend de ta pièce, les probabilités de résultats dépendant en effet du trucage ou non de cette pièce.

Par ailleurs je suis plutôt d'accord avec ce que tu racontes,

Ouf, comme quoi c'est pas toujours Beauman contre le reste du monde

[John Difool]

Le contexte il est derrière la virgule :

" quand on lance une même pièce successivement, les tirages ne sont pas indépendants, ils dépendent tous de cette même pièce."

Comme dit à Pancrace quand j'utilise des définitions, je les cite.

J'oppose l'indépendance des pièces les unes vis à vis des autres (et même possiblement des lanceurs) lors d'un tirage unique de multiples pièces, à la dépendance physique à la pièce du résultat d'une multitude de lancer d'une unique pièce.

Si on lance tous les deux une pièce, ton résultat est indépendant de mon lancer, et mon résultat est indépendant de ton lancer.

Si tu lances deux fois la même pièce, ton résultat dépend de ta pièce, les probabilités de résultats dépendant en effet du trucage ou non de cette pièce.

Je ne vois pas vraiment de définition dans ce que tu dis.

Et, si je puis me permettre, c'est quand même pas très judicieux de redéfinir un mot qui a une définition très précise et très utilisée en proba...

Parce que du coup, de quoi on parle quand tu dis que les lancers "dépendent tous de cette même pièce" ? Est-ce que tu considères comme la définition classique que si
A = la probabilité de faire pile au premier lancer
B = la probabilité de faire pile au deuxième lancer

A et B sont dépendants si: P(A | B ) différent de P(A) ?

[DictionnairErroné]

Vous partez avec la prémisse que la pièce est truquée. Pour déterminer si la pièce est truquée, vous utilisez les probabilités. L'observateur est l'observé et vice-versa. Il n'y a que des probabilités des paradoxes.

[Etienne Beauman]

Je ne vois pas vraiment de définition dans ce que tu dis.

Normal, il n'y en a pas.

C'est ce que je dis quand j'utilise une définition je la cite.

Si je cite pas de définition c'est que j'utilise le mot dans le sens courant.

Parce que du coup, de quoi on parle quand tu dis que les lancers "dépendent tous de cette même pièce" ?

De la réalité physique d'un lancer et non des lois probabilistes décrivant un lancer théorique.
Quand tu lances une pièce, le résultat dépend directement de l'état de la pièce que tu as lancé. Si la pièce est sale, abîmé ou truquée, elle ne se comportera pas comme une pièce équilibrée.

Cette dépendance est si forte que plus tu lances la pièce et observe un comportement suspect (disons une succession ininterrompue de pile) et plus tu vas soupçonner à raison cette pièce d'être truquée.

Or quand on lance un grand nombre de pièces différentes, chaque lancer tombant sur pile dépend uniquement de sa propre pièce. Et aucun tirage unique ne devrait sembler suspect*.

Ce qui est suspect c'est une coïncidence improbable d’événement physiquement indépendants, et non pas la répétition improbable d'un phénomène relatif à une seule pièce qui incrimine directement celle ci.


*Tous les tirages possibles étant... possibles et équiprobables. Trouver suspect le tirage 12 13 14 15 16 au loto est une sorte d'illusion liée à la valeur du résultat. Le tirage 1 12 16 23 39 est tout aussi unique.

[John Difool]

De la réalité physique d'un lancer et non des lois probabilistes décrivant un lancer théorique.
Quand tu lances une pièce, le résultat dépend directement de l'état de la pièce que tu as lancé. Si la pièce est sale, abîmé ou truquée, elle ne se comportera pas comme une pièce équilibrée.

Ok donc effectivement on ne parlait pas de la même chose, je comprends mieux ce que tu veux dire.

Cette dépendance est si forte que plus tu lances la pièce et observe un comportement suspect (disons une succession ininterrompue de pile) et plus tu vas soupçonner à raison cette pièce d'être truquée.

Or quand on lance un grand nombre de pièces différentes, chaque lancer tombant sur pile dépend uniquement de sa propre pièce. Et aucun tirage unique ne devrait sembler suspect*.

Ce qui est suspect c'est une coïncidence improbable d’événement physiquement indépendants, et non pas la répétition improbable d'un phénomène relatif à une seule pièce qui incrimine directement celle ci.


*Tous les tirages possibles étant... possibles et équiprobables. Trouver suspect le tirage 12 13 14 15 16 au loto est une sorte d'illusion liée à la valeur du résultat. Le tirage 1 12 16 23 39 est tout aussi unique.

Je suis à peu prêt d'accord avec ça.

A ceci prêt que si je donne un médicament à 1000 patient qui a une proba p = 1/2 de filer la gastro en effet secondaire, et que les 1000 patients se précipitent aux toilettes, je vérifierais au cas où si je ne me suis pas gouré et refilé un super laxatif à la place...

[spin-up]

Selon moi une pièce tombant 100 fois de suite sur pile est déjà truquée.

Et selon toi, une piece qui est tombée 478 fois sur pile (pas consecutivement) et 522 fois sur face (pas consecutivement) avant de tomber 100 fois de suite sur pile, elle est truquée ?

*Tous les tirages possibles étant... possibles et équiprobables. Trouver suspect le tirage 12 13 14 15 16 au loto est une sorte d'illusion liée à la valeur du résultat. Le tirage 1 12 16 23 39 est tout aussi unique.

Pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile
et
face face pile face pile face face face pile face face face

Son équiprobables.

1000 piles consecutif est equiprobable a n'importe quel autre tirage (ordonné). Trouver suspect le tirage 1000 piles consecutifs a pile ou face est une sorte d'illusion liée à la valeur du résultat.

[thewild]

Selon moi une pièce tombant 100 fois de suite sur pile est déjà truquée.

Et selon toi, une piece qui est tombée 478 fois sur pile (pas consecutivement) et 522 fois sur face (pas consecutivement) avant de tomber 100 fois de suite sur pile, elle est truquée ?

Elle a été déformée lors du 1000ème lancé !

[Pancrace]

Oui, donc avec cette analyse mon raisonnement tient aussi, et ma méthode me semble tout aussi parcimonieuse et n'utilise pas plus de mathématiques, c'est la méthode 1 de l'article wikipédia : il est incorrect de dire que l'autre enveloppe contient A/2 ou 2A. La somme de départ c'est A et une enveloppe contient A ou 2A, la question est donc "l'autre enveloppe contient-elle A ou 2A?" et non pas "l'autre enveloppe contient-elle A/2 ou 2A".

Désolé mais je ne comprends pas. L'incohérence du point 6 (thus the other envelope contains 2A with probability 1/2 and A/2 with probability 1/2) ne tient pas dans le fait que l'autre enveloppe contient 2A ou A/2, car ça c'est absolument correct d'après le point 1 (I denote by A the amount in my selected envelope), donc l'autre enveloppe ne peut que contenir 2A ou A/2, il est strictement impossible qu'elle contienne A. L'incohérence tient dans le fait qu'on ne peut pas attribuer p = 1/2 à chacun de ses événements.

Donc je ne vois pas trop où tu veux en venir avec le paragraphe cité (il faudrait que tu précises exactement les hypothèses, ce que tu démontres, et comment tu le fais), mais ce n'est pas une réfutation du switching argument, donc pas une explication du paradoxe (si on accepte l'articulation logique explicitée dans mon dernier post, qui dit qu'on explique le paradoxe en réfutant le point 6 du switching argument).

Pour résumer : une des explications du paradoxe est la réfutation du switching argument (il en existe peut-être d'autres, mais on se concentre pour le moment sur celle-là, éventuellement on verra ensuite si on peut faire autrement, par une méthode aussi parcimonieuse).
Pour réfuter le switching argument, il faut réfuter le point 6, en sachant que le point 1 est acquis (c'est une hypothèse) :

Donc on suppose que l'enveloppe choisie contient la somme A, ce qui implique que l'autre enveloppe contient 2A ou A/2 (il n'y a rien à réfuter ici, cette implication est complètement triviale). L'autre enveloppe contient 2A ou A/2 avec probabilités respectives 1/2 (c'est ça qu'on réfute, par un argument que j'ai déjà donné).

[Wooden Ali]

L'industrie utilise largement statistiques et probabilités pour déterminer la capabilité d'un procédé puis en assurer le contrôle ... Et ça marche plutôt bien !
C'est même, plus généralement, un des buts de cette branche des mathématiques que d'aider à évaluer si un événement est "normal" ou non.
Il faut avoir une foi bien arrimée pour les vérités absolues pour n'avoir toujours rien à dire quand une pièce est tombée mille fois sur face. S'il est vrai que rien ne prouve formellement qu'elle ne tombera pas sur pile au prochain jet, bien peu d'individus, comme le souligne JF, parierait sur cette occurrence*.
Cette branche des mathématiques n'a pour ambition, àmha, que de moins se tromper. Elle n'assure de rien, prévient même qu'elle peut induire en erreur (faux positifs ou négatifs) en utilisant ses résultats mais nous rend moins bêtes et moins démunis que si on ne l'utilisait pas.

Alors, oui, on peut, après un certain nombre de jets, oser dire si une pièce de monnaie est apte ou non à donner des résultats équitables au jeu de pile ou face. Pour lever le doute aussi légitime que résiduel sur cette affirmation, on pourrait d'ailleurs procéder à une analyse métallographique qui statuera sans ambiguïté sur la "normalité" de la pièce et dire ainsi si la décision a été bonne (pièce truquée) ou non (bizarrerie purement statistique).




* à part Pancrace, peut-être ?

[Damien26]

Je suis d'accord à condition d'ajouter une précision :

Pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile
et
face face pile face pile face face face pile face face face

Son équiprobables.

avec une pièce non truquée

1000 piles consecutif est equiprobable a n'importe quel autre tirage (ordonné) [NDD : avec une pièce non truquée]. Trouver suspect le tirage 1000 piles consecutifs a pile ou face est une sorte d'illusion liée à la valeur du résultat.

Comme justement on se demande si la pièce est truquée les doutes sont raisonnables si on voit 1000 résultats du même coté.

[Pancrace]

Il faut avoir une foi bien arrimée pour les vérités absolues pour n'avoir toujours rien à dire quand une pièce est tombée mille fois sur face. S'il est vrai que rien ne prouve formellement qu'elle ne tombera pas sur pile au prochain jet, bien peu d'individus, comme le souligne JF, parierait sur cette occurrence*.

Qui a dit qu'il n'y avait rien à dire ? Ce qu'on ne peut pas dire est que la pièce est forcément truquée, mais on peut dire qu'elle l'est très probablement. Et je l'ai souligné plusieurs fois, alors pourquoi insinuer "* à part Pancrace, peut-être ?" (même si j'ai remarqué le smiley), alors qu'au contraire c'est celui qui connait bien les pièges des probabilités qui est le moins susceptible de se faire avoir dans ce genre de paris ?

[Pancrace]

Pour ceux qui ont la conviction chevillée au corps que les choses se passent comme ils l’imaginent, voici une petite question fermée, super simple :

On lance 100 fois de suite une pièce, qui retombe toujours sur pile. Quelle est la probabilité que cette pièce soit truquée ? *

* Avec la définition commune d’une pièce truquée : la probabilité d’obtenir pile après un lancé est différente de 1/2.

NB : personne a encore répondu à mon autre question fermée, que je reformule cette fois avec une pièce, supposée équilibrée : en moyenne, on aura lancé la pièce combien de fois au moment où elle tombe sur pile pour la première fois ? *

* Indication pour Vathar : c'est strictement plus grand que 1, parce qu'on est pas sûr que la pièce tombe sur pile la première fois.

C'est facile de discourir à loisir sur des problèmes complexes, mais quel crédit y apporter lorsque le beau-parleur ne sait pas résoudre des problèmes simples ? Dit autrement, comment ne pas pédaler dans la semoule sur des trucs compliqués, si on rame déjà sur des trucs du même style, mais beaucoup plus simples ? Alors on ne peut que suggérer à ceux qui souhaitent être pris au sérieux (c'est pas une obligation), de montrer qu'il savent déjà de quoi ils parlent lorsque le sujet demande un faible niveau d'expertise.

[Nicolas78]

Selon moi une pièce tombant 100 fois de suite sur pile est déjà truquée.

Et selon toi, une piece qui est tombée 478 fois sur pile (pas consecutivement) et 522 fois sur face (pas consecutivement) avant de tomber 100 fois de suite sur pile, elle est truquée ?

*Tous les tirages possibles étant... possibles et équiprobables. Trouver suspect le tirage 12 13 14 15 16 au loto est une sorte d'illusion liée à la valeur du résultat. Le tirage 1 12 16 23 39 est tout aussi unique.

Pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile pile
et
face face pile face pile face face face pile face face face

Son équiprobables.

1000 piles consecutif est equiprobable a n'importe quel autre tirage (ordonné). Trouver suspect le tirage 1000 piles consecutifs a pile ou face est une sorte d'illusion liée à la valeur du résultat.

Certes, mais, cette illusion peut t'elle donner lieu à un questionnement sérieux sur un trucage ?
Une pièce qui fait 478x pile (pas consecutivement) et 522x face (pas consecutivement), et puis 100x de suite sur pile consécutivement...Ça ne prouve pas qu'elle est truquée. On est d'accord. Mais penser très sérieusement à un trucage (qui apparaît après les 522x non-consécutif) ne me parait pas irrationnel du tout (ça me parait même plutôt raisonnable)

[Nicolas78]

NB : personne a encore répondu à mon autre question fermée, que je reformule cette fois avec une pièce, supposée équilibrée : en moyenne, on aura lancé la pièce combien de fois au moment où elle tombe sur pile pour la première fois ? *

Je suis une grosse brelle en math, proba, etc. C'est pas tjr très intuitif. Mais j'essaye.
4 ?

[Vathar]

Je suis une grosse brelle en math, proba, etc. C'est pas tjr très intuitif. Mais j'essaye.
4 ?

Fais toi plaisir, mais pour quelqu'un qui se présente comme un chercheur en maths et un donneur de lecons, ses "problemes" sont formulés avec un manque de rigueur consternant. Il me rappelle un peu 10-eux.

[Pancrace]

Et bla et bla et bla... Rien à dire sur le fond, et quand on est manifestement frustré d'être largué dans la discussion, on attaque la forme. Stratégie tellement éculée qu'elle en devient risible - pas d'arguments, que de la gueule. Sans même parler de l'attaque ad hominem qui place d'office son auteur dans le camp des malotrus infréquentables - alors tu me lâches les baskets, si c'est pas trop te demander.

@ Nicolas

4 c'est un peu beaucoup, non ? Fait l'expérience plusieurs fois, le premier pile va en général arriver assez vite, déjà au premier lancé une fois sur deux...

Mais bravo pour l'essai, tu as le courage de te mouiller, pas comme l'autre zigoto qui tente vainement de masquer son ignorance en noyant le poisson.

[Vathar]

Rien à dire en 5 lignes depuis mon portable à 1h du mat' plutôt. Tes deux "questions fermées" sont horriblement vagues.

1. On lance 100 fois de suite une pièce, qui retombe toujours sur pile. Quelle est la probabilité que cette pièce soit truquée ?

On peut aisément définir la probabilité d'obtenir un tel tirage (bête comme chou sur une distribution normale), mais pour un calcul formel, il faudrait définir la déviation acceptable sur une pièce non-truquée (même une pièce non truquée ne te donnera pas un 50/50 parfait). Ta définition pseudo scientifique de la pièce truquée est insuffisante.

Si tu veux poser une question fermée rigoureuse, donne une définition rigoureuse d'une pièce truquée (ou non truquée).

La beauté du truc cependant, c'est que prendre des grands nombres tels que 100 ou 1000 lancers donne des ordres de grandeur tellement absurdes qu'on s'en carre un peu en fait. Quand on est sur un tirage qui a une chance sur 2^100 (ou environ 10^30) de se produire. Tu peux te donner une marge d'erreur confortable sans affecter le résultat final. Ta proba tend vers 1, et tout le monde se cogne de savoir si elle est de 0.99999999999999999999999999999 ou de 0.99999999999999999999999999.

2. Tu peux calculer la probabilité d'avoir au moins une fois pile pour un nombre n de tirages, ou tu peux mème faire une étude de cas (surtout si on garde n petit), mais la formulation de ton problème est merdique. Soit tu demandes la probabilité pour un nombre n de tirages (50%, 75%, 87.5% ...) soit tu cherches à savoir au bout de combien de tirages on a une probabilité supérieure a x.

Du reste, tu n'as toujours pas expliqué la dissonance entre ton affirmation que, selon un théorème que tu n'as pas défini "on verra presque toujours la pièce pencher très fortement soit sur les piles soit sur les faces, truquée ou pas" et le cas pratique présenté dans la vidéo de Mickael Launay qui montre exactement l'inverse sur un nombre de cas très élevé.

Pour l'ad hominem, cesse de te poser en héritier spirituel de Psyricien/10-eux (avec toute la condescendance que cela implique) et on pourra repartir sur des bases plus civiles. Si tu considères "donneur de leçons" comme un ad hominem, qu'en est-il de "beau parleur"?

[spin-up]

Certes, mais, cette illusion peut t'elle donner lieu à un questionnement sérieux sur un trucage ?
Une pièce qui fait 478x pile (pas consecutivement) et 522x face (pas consecutivement), et puis 100x de suite sur pile consécutivement...Ça ne prouve pas qu'elle est truquée. On est d'accord. Mais penser très sérieusement à un trucage (qui apparaît après les 522x non-consécutif) ne me parait pas irrationnel du tout (ça me parait même plutôt raisonnable)

C'est important de bien poser les conditions de l'expérience, et les hypotheses de depart et ce qu'on veut tester.

Par exemple, pour commencer, il est raisonnable de considérer les proprietés de la piece constantes au cours de l'experience.
Il est aussi raisonnable (mais pas obligatoire) de considérer le lancer comme une experience stochastique avec une probabilité P (connue ou a determiner).

On ne peut pas décider si une piece a une probabilité Pt d'etre truquée sans définir tous ces paramètres experimentaux au depart, et ce qu'on entend par truqué.

Est ce que truqué veut dire que c'est un expérience stochastique avec P different de 0.5? Ou est ce que ca veut dire que P n'est pas constant lors de l'experience?
On ne décide pas de l'un ou de l'autre de la meme facon.

De meme le fait qu'une piece fasse 100 pile consecutifs n'est pas la meme information selon qu'on a fait 1000 lancers au prealable ou que ca se produise des le debut.

[Pancrace]

@ Vathar

Si tu veux une discussion civilisée, commence par rester civilisé toi-même. Et argumente plutôt que blablater. Si ton portable le permet pas, tu le ranges dans ta poche et tu attends une circonstance plus favorable pour réfléchir un peu (la nuit porte conseil), et prendre le temps de poster un commentaire qui fasse avancer les choses.

Tu n’as manifestement aucune idée claire de ce que signifie la rigueur. C’est toujours une approximation, un compromis entre le langage purement formel des théories logiques, et le langage usuel de tous les jours. Je place volontairement le curseur du côté « grand public » parce qu’on n’est pas sur un forum de maths. Il faut s’adapter à son auditoire, essayer de présenter les choses pour qu’elles soient accessibles au maximum de lecteurs potentiels.

L’important est que la présentation d’un problème ne soit pas ambigüe, d’éviter qu’on puisse, en toute bonne foi, lui donner des sens différents qui admettraient des réponses différentes. Tu n’as relevé aucune telle ambiguïté, juste apporté un discours vague comme quoi il eut fallu faire comme si ou comme ça, rajouter telle ou telle hypothèse (parfaitement inutiles du reste), bref changer de planète. Plus en détails :

Question 1) La définition utilisée pour « pièce truquée » est parfaitement rigoureuse. Qu’elle soit peu pratique ou maniable est une autre affaire, d’ailleurs je t’ai proposé de fournir une alternative, j’attends toujours ! Une définition n’as pas à être « suffisante », ça n’a aucun sens, elle est ce qu’elle est, et il faut faire avec.

Donc, avec cette définition, la réponse à la question est qu’on ne peut pas calculer la probabilité que la pièce soit truquée - on manque d'informations. Idem d'ailleurs si on prend comme définition de la pièce truquée qu'elle va toujours tomber sur pile. Je pourrais le prouver en toute rigueur, mais je me contente d’un argument heuristique, dans l’espoir qu’il soit compréhensible par tout le monde.

Si on pouvait calculer cette probabilité pour 100 lancés, on pourrait aussi pour 99 lancés (le 100 n’a pas d’importance, il a été choisi au hasard, le remplacer par 99 ne change rien à l’affaire). Donc on pourrait aussi pour 98, 97, …, 1, 0 lancés. Ou alors il faut expliquer à quel moment et pour quelle raison se produit un « saut quantique » (calcul possible pour N qui deviendrait impossible pour N-1). Mais avec 0 lancés, on ne connait pas la probabilité que la pièce soit truquée, contradiction.

Bien entendu cette question n’a pas été soumise sans raison – la réponse montre (et c’est contre-intuitif d’où l’intérêt) que même si une pièce adopte un comportement hyper suspect (100 piles de suite dès le départ, pas en plein milieu d’une expérience, précision importante soulignée par spin-up juste au-dessus), on ne peut pas calculer la probabilité qu’elle soit truquée. On peut juste dire qu’elle est probablement truquée, mais ce « probablement » est d’ordre philosophique, du ressenti (en accord il me semble avec un autre propos de spin-up un peu plus haut dans la guirlande), il n’a pas de sens scientifique précis.

Question 1 bis) On dispose d’une pièce dont on sait à l’avance qu’elle a une chance sur deux d’être équilibrée, et une chance sur deux de toujours tomber sur pile. On lance 100 fois de suite cette pièce, qui retombe toujours sur pile. Quelle est la probabilité que cette pièce soit celle équilibrée ?

Ici c’est différent, le calcul est possible (il y a donc une réponse unique qui est un nombre réel parfaitement déterminé). Le raisonnement précédent ne s’applique plus, parce que lorsqu’on descend de 100 à 0 lancés, on sait maintenant que la probabilité cherchée est de 1/2, en particulier le problème est initialisé. Quelle est ta réponse ?


Question 2) La formulation est correcte (en tous cas tu n’as pas montré qu’elle est ambigüe), tu présentes d’autres énoncés complètement triviaux - naïve tentative de détourner l’attention du fait que peut-être tu n’as aucune idée de comment résoudre la question d’origine ? Il faut dire que la réponse intuitive qu’on observe en faisant l’expérience 10 ou 20 fois est la bonne, mais que la preuve est quelque peu délicate. C’est normal puisque cette question a aussi un but, déjà signalé : montrer que l’infini peut s’inviter à la fête même dans des énoncés d’apparence simples, purement « locaux ».

J’attends donc ta réponse (qui est aussi un nombre réel parfaitement explicite, plus grand que 1 mais plus petit que 4). Soit tu trouves, soit tu trouves pas, soit tu estimes l’énoncé ambigüe et tu demandes une clarification, soit tu t’en fou (ou tu contournes l’obstacle comme dans ton post précédent), auquel cas tu ne fais que t’engluer dans la catégorie de ceux qui parlent pour ne rien dire. Tu peux aussi finalement trouver la réponse en fouillant sur internet, mais pas de procès d'intention, éliminons d'office ce procédé qui en général se retourne contre son auteur - le trucage a ici une probabilité très proche de 1 d'être découvert.

[Pancrace]

Du reste, tu n'as toujours pas expliqué la dissonance entre ton affirmation que, selon un théorème que tu n'as pas défini "on verra presque toujours la pièce pencher très fortement soit sur les piles soit sur les faces, truquée ou pas"

Regarde ici. La fluctuation entre le nombre de piles et de faces après N lancés (N grand) est d'ordre \(\sqrt N\), donc tend vers l'infini avec N. Si par exemple tu fais 1 million de lancés, tu peux t'attendre qu'à un moment il y a eu une différence de 1000 entre nombres de piles et de faces - la pièce aura bien penché très fortement d'un côté à ce moment là.

On ne peut évidemment pas savoir si ça penchera fortement côté pile ou côté face, ni quand ça se produira. Mais ce théorème est intéressant dans le sens qu'il montre que la vision naïve "les piles et les faces vont gentiment avoir tendance à s'égaliser quand on augmente les lancés" est fausse. C'est plutôt l'inverse qui se passe, la distribution des piles et des faces va avoir tendance à éclater. Et me dit pas que c'est pas rigoureux, je le sais bien que c'est juste une image mentale qui n'a rien de précis.

Si t'as fait un peu de maths dans ta vie, pense à la fonction \( x \sin x\) sur les réels positifs. Elle va s'annuler pour tous les multiples de \(\pi\), et osciller sans cesse entre positivité et négativité, avec un "centrage" en 0, mais des oscillations de plus en plus importantes. Ce n'est certainement pas un bon modèle pour les lancés à pile ou face, mais ça peut donner une idée intuitive relativement correcte de ce qu'il se passe concernant la différence entre nombres de piles et de faces.