Résonnons un peu veux-tu ?
La vitesse de la lumière s'exprime dans des unités de distance divisées par des unités de temps.
Il ne s'agit donc pas d'unité de distance. Aussi la conservation de la vitesse de la lumière au cours d'une transformation, n'assure ni la conservation de des distances, ni celle du temps.
Comment ça marche dans la réalité ?
Les distances et les durées se transforment ainsi par changement de référentiel :
\({\rm d}x' = \gamma_0 \left( {\rm d}x - \beta_0 c {\rm d}t \right)\)
\(c{\rm d}t' = \gamma_0 \left( -\beta_0 {\rm d}x %2b c {\rm d}t \right)\),
Qui s'exprime aussi,
\({\rm d}x = \gamma_0 \left( {\rm d}x' %2b \beta_0 c {\rm d}t' \right)\)
\(c{\rm d}t = \gamma_0 \left( \beta_0 {\rm d}x' %2b c {\rm d}t' \right)\),
Avec
\(\beta_0 = v_0/c\), où
\(v_0\) est la vitesse relative des référentiel
\({\cal R}\) et
\({\cal R}'\), et
\(\gamma_0 = \left( 1 - \beta_0^2\right)^{-1/2}\).
On constate donc qu'en effet
\({\rm d}x' \neq {\rm d}x\) et
\({\rm d}t' \neq {\rm d}t\).
Les distances et les durées ne se conservent pas, ce qui ce conservent est la quantité:
\({\rm d}s^2 = {\rm d}s'^2 = {\rm d}t^2 - {\rm d}x^2 = {\rm d}t'^2 - {\rm d}x'^2\), une distance dans l'espace-temps.
Maintenant prenons un objet qui a une vitesse
\(v\) dans
\({\cal R}\),
La vitesse s'exprime ainsi:
\(v = \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\)
Calculons donc ça vitesse dans
\({\cal R}'\),
\(v' = \frac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'}\)
\(v' = c\frac{\gamma_0 \left( {\rm d}x - \beta_0 c {\rm d}t \right)}{\gamma_0 \left( -\beta_0 {\rm d}x %2b c {\rm d}t \right)}\)
Qui se simplifie,
\(v' = c\frac{{\rm d}x - \beta_0 c {\rm d}t}{c {\rm d}t -\beta_0 {\rm d}x}\),
On divise numérateur et dénominateur par
\(c {\rm d}t\)
\(\beta' = \frac{\beta - \beta_0 }{1 -\beta_0 \beta}\).
Ce qui donne la formule de composition des vitesses bien connue.
Et réciproquement:
\(\beta = \frac{\beta' %2b \beta_0 }{1 %2b \beta_0 \beta'}\).
Etudions un peu cette formule:
-->Si
\(\beta = 1\) (l'objet va à la vitesse de la lumière) alors
\(\beta' = 1\).
-->Si
\(\beta = -1\) (l'objet va à la vitesse de la lumière dans l'autre sens) alors
\(\beta' = -1\).
On constate alors que si l'objet va à la vitesse de la lumière dans
\({\cal R}\), peut importe la valeur de
\(\beta_0\) et donc de
\(v_0\), il ira à la vitesse de la lumière dans
\({\cal R}'\). Par conséquence, il ira à la vitesse de la lumière dans tout les référentiels.
Preuve en est que bien qu'il y ai non conservation des distances et des durées
\({\rm d}x' \neq {\rm d}x\) et
\({\rm d}t' \neq {\rm d}t\), il y a conservation de la vitesse de la lumière par changement de référentiel.
Application numérique:
Prenons la distance Soleil-ACen : 4.37 al dans le référentiel du Soleil.
Prenons une fusée qui va vers ACen à 0.9c.
Dans le référentiel de la fusée, la distance est:
\({\rm d}x' = \gamma_0 \left( {\rm d}x - \beta_0 c {\rm d}t \right)\)
On voit un premier soucis, quel est la valeur de
\({\rm d}t\) qu'il convient de prendre ?
Un distance dans un référentiel, ce définit pour un intervalle de temps nul dans ce référentiel, cad ici
\({\rm d}t'=0\), hors:
\(c{\rm d}t' = \gamma_0 \left( -\beta_0 {\rm d}x %2b c {\rm d}t \right) = 0\)
\(c {\rm d}t = \beta_0 {\rm d}x\),
Il viens donc:
\({\rm d}x' = \gamma_0 \left( 1 - \beta^2_0 \right) {\rm d}x\)
Hors
\(\left( 1 - \beta_0^2 \right) = \gamma_0^{-2}\) et donc:
\({\rm d}x' = \frac{{\rm d}x}{\gamma_0}\)
Et donc du point de vu de la fusée, cette distance n'est que de 1.9 al.
Dans le référentiel du Soleil, le voyage dure 4.86 ans
Combien de temps dure le voyage dans le référentiel de la fusée ?
\(c{\rm d}t' = \gamma_0 \left( -\beta_0 {\rm d}x %2b c {\rm d}t \right)\)
\({\rm d}t' = \gamma_0 \left( 1 -\beta_0 \beta \right) {\rm d}t\),
Hors
\(\beta = \beta_0\), puisque c'est dans le référentiel de la fusée que l'on se place.
\({\rm d}t' = \frac{{\rm d}t}{\gamma_0}\)
Dans le référentiel de la fusée, le voyage ne dure que 2.12 ans.
On démontre par la même que dans le cas présent la vitesse de la fusée par rapport au Soleil
\(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = 0.9c\) est égale en norme à la vitesse du Soleil (de ACen) par rapport à la fusée
\(-\frac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} = -0.9c\).
Et cela bien que la distance Soleil-ACen dépendent du référentiel
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A plus,
G>
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.
(le sous-espace de dimension 3 nommé Espace est en effet différents selon le référentiel considéré).
.
