Forum Sceptique

Cartaphilus a écrit :Comment faut-il appliquer les probabilités au monde physique ?

Question d'épistémologie trop difficile pour moi. En général, les maths (hors de la physique) fournissent des modèles de la réalité, et la le choix des critères pour avoir un bon modèle est toute une question. Je ne dis donc pas que c'est facile, je dis juste qu'il faut être prudent.

Salut OneForm,

Tu dis :

si je te donne un nombre entier au hasard, la probabilité qu'il soit entre 0 et 5 est nulle, pourtant ça n'a rien d'impossible.

Peux-tu m'en donner un, s'il te plaît ?

Tu auras bien du mal. La distribution uniforme sur les entiers naturels n'existe pas.

Ça vient du fait qu'il y a une infinité de nombres finis.

Moi, je peux aisément te donner un exemple d'un nombre entier au hasard (uniforme) entre 0 et 1000. Tiens : 638.

À ton tour de donner suite à ton "si" et de me donner un exemple d'un entier naturel choisi au hasard uniforme.

Denis

Denis a écrit :Tu auras bien du mal. La distribution uniforme sur les entiers naturels n'existe pas.

Je pensais à la définition classique de probabilité, c.-à-d. le rapport entre le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Mais c'est vrai que si on modernise un peu la chose, il faudrait plutôt parler en termes de loi uniforme. Cela dit : une variable uniforme discrète, par définition, est à valeurs dans un ensemble fini, c.-à-d. qu'elle n'est pas définie pour un ensemble infini tel que les entiers. C'est différent de dire explicitement qu'il n'existe pas de loi uniforme sur les entiers, ce qui serait à justifier et m'intéresserait

En fait, on peut définir une loi uniforme sur les entiers (mais en ajoutant une hypothèse modulo qui règle le problème de l'infinité des entiers).

Salut OneForm,

Tu dis :

c'est vrai que si on modernise un peu la chose, il faudrait plutôt parler en termes de loi uniforme. Cela dit : une variable uniforme discrète, par définition, est à valeurs dans un ensemble fini, c.-à-d. qu'elle n'est pas définie pour un ensemble infini tel que les entiers. C'est différent de dire explicitement qu'il n'existe pas de loi uniforme sur les entiers, ce qui serait à justifier et m'intéresserait

J'avais dit : « La distribution uniforme sur les entiers naturels n'existe pas ».

Je vais essayer d'être clair dans ma "preuve de non-existence".

La distribution d'une variable aléatoire (à valeurs dans R) est entièrement caractérisée par la donnée de sa fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x), définie pour tout x ∈ R.

Cette fonction F(x) doit satisfaire les 3 conditions suivantes :

1) F(x) est non-décroissante.
2) lim (quand x → -∞) F(x) = 0 et lim (quand x → +∞) F(x) = 1.
3) À tout x ∈ R, F(x) est continue à droite.

En guise d'exemple, considérons une v.a. X de loi uniforme discrète entre 0 et n (où n est un entier ≥ 0). C'est la loi UD(0,n), cas particulier de la loi UD(n1,n2).

La fonction de répartition de cette v.a. est une fonction "en escalier" qui dépend de n :

Fn(x) =

• 0 si x < 0,
  (k+1)/(n+1) si k ≤ x < k+1, pour k = 0, 1, ... , n-1,
  1 si x ≥ n.

Si la loi UD(0,∞) existait, sa fonction de répartition devrait être la limite (quand n → ∞) de Fn(x). J'admets que c'est là le point le plus faible de ma démonstration. Si nécessaire, on pourra essayer d'y promener nos loupes mentales.

Or, pour tout x ∈ R, F(x) = lim (quand n → ∞) Fn(x) = 0.

Donc lim (quand x → ∞) F(x) = 0 (plutôt que 1).

Ça viole la seconde partie de la propriété # 2 (déjà citée) que doit nécessairement posséder toute fonction de répartition.

Puisqu'elle n'admet pas de fonction de répartition, la loi UD(0,∞) n'existe pas et parler d'un entier naturel uniformément choisi au hasard n'a pas de sens.

OneForm a écrit :En fait, on peut définir une loi uniforme sur les entiers (mais en ajoutant une hypothèse modulo qui règle le problème de l'infinité des entiers).

Je vais faire comme toi et te répondre : « ce qui serait à justifier et m'intéresserait ».

Denis

Denis a écrit :Si la loi UD(0,∞) existait, sa fonction de répartition devrait être la limite (quand n → ∞) de Fn(x). J'admets que c'est là le point le plus faible de ma démonstration. Si nécessaire, on pourra essayer d'y promener nos loupes mentales.

Chouette discussion (après tout, je suis matheux). Je n'ai rien à ajouter, je suis aussi d'accord sur ton point le plus faible. Je pense qu'on peut le formuler de la façon suivante :

1. La limite des Fn existe-t-elle ?
2. Si oui, est-elle une fonction de répartition ?
3. Si oui, définissons la fonction de répartition de UD(0,∞) comme étant cette limite. (Yeeha !)
   Si non :
4. Supposons qu'il existe G, fonction de répartition de UD(0,∞). G est-elle nécessairement la limite des Fn ?
5. Si oui, alors (par l'absurde) on a montré qu'il n'existe pas de tel G, car à ce stade-ci, on sait que la limite des Fn n'est pas une fct de répartition.
   Si non, alors on peut juste dire que G ne peut pas être la limite des Fn, mais on ignore si G peut exister ou pas.

Pour montrer que G n'existe pas, il faut donc démontrer 4. Mmm...

Edit : Après avoir dormi (j'étais KO hier soir en écrivant), 4 n'a pas de sens puisqu'on ne peut même pas écrire, explicitement, l'hypothèse que G est la fonction de réparition de UD(0,∞), puisque UD(0,∞) n'est pas défini. En 3, on aurait pu définir UD(0,∞) (ça aurait été correct), mais à partir de 4, ça n'a plus de sens.

L'argument n'est donc pas valable à mon avis.

Denis a écrit :Je vais faire comme toi et te répondre : « ce qui serait à justifier et m'intéresserait ».

Je ne connais pas ce sujet, mis à part qu'il existe. En fait, je me souviens que la question de la probabilité nulle de tirer un nombre entier dans un intervalle a été posée à un de mes cours, la réponse était que la loi uniforme sur lN était définie en considérant non pas les naturels eux-mêmes, mais les naturels modulo un entier p. La v.a. est à valeurs dans lN, mais on définit la loi uniforme en prenant ces valeurs mod p. C'est donc "comme si" la v.a. était à valeurs dans un ensemble fini. Mais je n'en sais pas plus, c'était une curiosité.

En cherchant sur le web, j'ai trouvé ceci :
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM ... _158_0.pdf

Je ne sais pas si je fais bien de ré-intervenir après ces deux échanges mathématiques ; je me risque néanmoins (au moins pour une question).

Denis a écrit :La distribution uniforme sur les entiers naturels n'existe pas.

Est-ce à dire que la notion de probabilité n'est justifié qu'en référence à un ensemble fini, et non à un ensemble infini même dénombrable ?

(Oui, Denis tu as raison, Google a encore frappé. )

Salut Cartaphilus,

Tu dis :

Denis a écrit :La distribution uniforme sur les entiers naturels n'existe pas.

Est-ce à dire que la notion de probabilité n'est justifié qu'en référence à un ensemble fini, et non à un ensemble infini même dénombrable ?

Non.

C'est l'uniformité qui cause problème, quand le domaine est dénombrable.

Si les résultats possibles ne sont pas équiprobables, tout va bien.

Par exemple, si tu lances un sou jusqu'à ce que tu obtiennes "face", le nombre X de fois que tu devras le lancer peut être 1, 2, 3, 4, ... , à l'infini.

Mais ces résultats ne sont pas équiprobables. p(1) = 1/2, p(2) = 1/4, p(3) = 1/8, etc.

Aussi, il n'y a pas de grosses difficultés à traiter la distribution uniforme dans le cas non dénombrable (continu). Par exemple, un point réel choisi au hasard, uniformément, dans un intervalle (ou dans un rectangle). Mais alors il faut remplacer les raisonnements en "sommes de probabilités" par des raisonnements en "intégrales de densité".

Tu dis aussi :

Je ne sais pas si je fais bien de ré-intervenir après ces deux échanges mathématiques ; je me risque néanmoins

Tu as bien fait.

Je vais essayer de te rendre la politesse, éventuellement, sur un sujet non-mathématique.

Denis

Salut OneForm,

Tu dis :

Chouette discussion (après tout, je suis matheux).

Content que tu sois content. On a probablement plus de chances de s'entendre (penser pareil) sur ces thèmes que sur les autres. Ça nous fournira peut-être une brêche, ou une tête-de-pont, qui nous permettra de mieux nous entendre sur les divers autres thèmes où ça va moins bien.

1. La limite des Fn existe-t-elle ?

Oui. C'est la fonction F(x) = 0, pour tout x.

2. Si oui, est-elle une fonction de répartition ?

Non. Quand x → ∞, F(x) = 0 converge vers 0 plutôt que vers 1.

3. Si oui, définissons la fonction de répartition de UD(0,∞) comme étant cette limite. (Yeeha !)

La réponse pour (2) ayant été "non", je saute automatiquement à la ligne suivante.

Si non :
4. Supposons qu'il existe G, fonction de répartition de UD(0,∞). G est-elle nécessairement la limite des Fn ?

Oui et non. Plutôt oui, mais en soulignant en rouge ton "supposons que".

On peut approcher la "pseudo-loi" UD(0,∞) autrement que comme cas limite d'une loi UD(0,n).

Par exemple, la loi géométrique (où on compte le nombre X d'échecs avant le premier succès), en prenant une probabilité de succès tendant vers 0. À la limite, on obtient p(x) = 0 pour x = 0, 1, 2, 3, ... et F(x) = 0 partout.

Bref, la limite d'une suite de distributions n'est pas nécessairement une distribution.

5. Si oui, alors (par l'absurde) on a montré qu'il n'existe pas de tel G, car à ce stade-ci, on sait que la limite des Fn n'est pas une fct de répartition.

Ça se tient. Une preuve par l'absurde vaut bien une preuve directe. Elle permet de barrer ton "supposons que" plutôt que simplement le souligner en rouge.

Edit : Après avoir dormi (j'étais KO hier soir en écrivant), 4 n'a pas de sens puisqu'on ne peut même pas écrire, explicitement, l'hypothèse que G est la fonction de réparition de UD(0,∞), puisque UD(0,∞) n'est pas défini. En 3, on aurait pu définir UD(0,∞) (ça aurait été correct), mais à partir de 4, ça n'a plus de sens.

Ton "Édit" est une surprise. J'ai écrit tout ce qui précède avant de l'avoir lu. J'espère que je n'ai rien écrit d'inutile.

j'ai trouvé ceci :
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM ... _158_0.pdf

Merci. J'ai imprimé l'article pour le lire à tête reposée mais je ne l'ai pas encore fait. Je n'ai pas d'objections à ce qu'on étudie les propriétés d'une pseudo-distribution et qu'on y trouve des éléments permettant d'en sortir.

Nempêche que la loi UD(0,∞), naturellement conçue comme limite le la loi UD(0,zillion), n'existe pas plus que le log de zéro.

Denis

Denis a écrit :Ça se tient. Une preuve par l'absurde vaut bien une preuve directe. Elle permet de barrer ton "supposons que" plutôt que simplement le souligner en rouge.

Ça dépend si on est intuitionniste ou pas ! Ok je sors...

La preuve par l'absurde serait applicable si 4 est vrai. Mais pour ça, il faut que le "supposons que" ait un sens, or ce n'est pas le cas (cf. mon Edit). Je ne vois donc pas de preuve de l'inexistence de la loi uniforme sur lN.

Denis a écrit :Merci. J'ai imprimé l'article pour le lire à tête reposée mais je ne l'ai pas encore fait.

L'article commence avec la définition d'une distribution uniforme sur une séquence d'entiers (dont lN en est un exemple). Y a un corollaire amusant à la fin de la page 159.

Salut OneForm,

J'ai enfin pris quelques minutes pour lire ton court article.

Je l'ai trouvé très intéressant, mais je ne pense pas qu'il soit pertinent dans notre débat sur l'existence (ou pas) de la loi de probabilité UD(0,∞). Le contexte est plus "théorie des nombres" que "théorie des probabilités".

Bien sûr, il y a une terminologie commune (distribution, uniforme, etc.), mais le contexte est radicalement différent.

Quitte à métaphoriser outrageusement, je dirais que c'est un peu comme fournir un article traitant des étoiles dans un débat portant sur les étoiles de mer. Ou l'inverse.

Grosso modo.

Denis