http://www-cosmosaf.iap.fr/traduction_River_model.pdf
On y lit :
Dire que l’espace-temps de fond est plat dans le modèle de la rivière ne signifie pas que sa métrique gμν est plate. Les règles et horloges immergées dans la rivière d’espace ne mesurent pas des distances et des temps dans l’espace de fond, mais plutôt des distances et des temps
relativement au flot lui-même étiré et tordu par les effets de marée. [La présence de ces effets de marée est la signature d’une courbure, aussi on comprend pourquoi la métrique mesurée par les règles et les horloges va être non plate.
Il faut détailler tout ça.En relativité restreinte les transformations de Lorentz sont générées par une combinaison de variation en vitesse (boosts de Lorentz) et de rotations spatiales. Les boosts sont des rotations dans un plan défini par un axe des temps et un axe d’espace tandis que les rotations spatiales
sont définies dans un plan formé de deux axes d’espace. C’est la coordonnée temps qui fait que lorsqu’il existe des gradients de la vitesse de la rivière, la métrique (4D) correspondante est non plate, alors que la métrique spatiale 3D reste plate. L’existence de gradients dans la rotation, ou torsion, rend la métrique 4D non plate du fait de la partie spatiale qui devient non plate, la partie temporelle restant elle plate, la métrique s’écrivant alors : où gij est le tenseur métrique 3D purement spatial.
Nous voyons que la raison pour laquelle la métrique de Painlevé-Gullstrand pour les trous noirs sphériques est plate sur les hypersurfaces à temps constant (propre d’un observateur en chute libre radiale sans vitesse initiale à l’infini) est que la rivière n’a pas de composante de torsion.
Cependant la rivière de Painlevé-Gullstrand a une composante de vitesse (variable selon la coordonnée radiale), donc la métrique de Painlevé-Gullstrand présente une courbure « temporelle ». Pour les trous noirs en rotation la rivière a, à la fois, des composantes de vitesse et de torsion (variables dans la rivière) donc la métrique est courbée spatialement et temporellement.
C'est vrai mais les boost de Lorentz n'ont rien à faire en métrique de Painlevé, ils sont en métrique de Lemaître. Cet article fait donc une confusion entre rotation hyperbolique et rotation euclidienne. La rotation temps-espace de la métrique de Painlevé est euclidienne et ils ne semblent pas l'avoir compris. C'est fondamental. C'est pour cela que le paraboloide de Flamm est un plongement euclidien dans le temps cosmique.Les boosts sont des rotations dans un plan défini par un axe des temps et un axe d’espace tandis que les rotations spatiales
sont définies dans un plan formé de deux axes d’espace.
Comment sait-on que la rotation est euclidienne et non hyperbolique ? Il suffit de regarder l'angle de la rotation temps-espace pour voir qu'elle va de 0 à 90° sur l'horizon, mais bien entendu les petits malins produisent un diagramme de Painlevé trompeur dans lequel l'angle ne dépasse jamais les 45° en contradiction avec les équations. C'est une grosse faute mathématique. Ce sont les coordonnées de Lemaître qui engendrent un boost qui rend le chuteur immobile.
Ceci est plus ou moins vrai, par ce que la rotation dans un plan défini par un axe des temps et un axe d’espace produit nécessairement une courbure spatiale même si cette courbure n'est pas une courbure espace-espace. On peut dire que l'espace ainsi constitué n'a pas de courbure intrinsèque (c'est un cylindre) mais il possède une courbure extrinsèque qui n'en est pas moins une courbure, c'est cette courbure dont je parle quand je dis que la courbure de l'espace est absolue. Maintenant, si on regarde la rotation temps-espace, l'ensemble du temps et de l'espace formant l'espace-temps possède une courbure intrinsèque. Donc la métrique spatiale reste plate parce que la courbure spatiale ici n'est qu'extrinsèque, mais une courbure extrinsèque n'en est pas moins une courbure absolue qu'une courbure intrinsèque.C’est la coordonnée temps qui fait que lorsqu’il existe des gradients de la vitesse de la rivière, la métrique (4D) correspondante est non plate, alors que la métrique spatiale 3D reste plate.
Donc le terme de métrique plate est ambigu et trompeur parce qu'on fait comme si les courbures extrinsèques n'existaient pas, c'est ce qui entraînent des erreurs conceptuelles persistantes et difficiles à éradiquer du genre "la courbure spatiale est relative". On peut "déplier" et rendre insensible une courbure extrinsèque en épousant sa surface, on ne l'élimine pas pour autant.
Cette courbure temporelle est tout autant une courbure spatiale puisqu'elle émane d'une rotation temps-espace (que je précise être euclidienne dans la métrique de Painlevé). C'est une courbure extrinsèque de la dimension du temps et de la dimension radiale spatiale. L'ensemble joint formant une courbure intrinsèque.Cependant la rivière de Painlevé-Gullstrand a une composante de vitesse (variable selon la coordonnée radiale), donc la métrique de Painlevé-Gullstrand présente une courbure « temporelle ».
En fait, tout ce qui est métrique de Minkowski est une gêne qui rend la situation pourtant limpide incompréhensible. La géométrie riemannienne est basée sur des rotation euclidiennes entre les 4 dimensions, donc, qu'on le veuille ou non, l'espace et le temps ainsi courbés ont entre eux des rapports euclidiens. Le véritable espace-temps est là. Il faut simplement comprendre qu'une rotation temps-espace est une contraction orientée de l'espace car le temps n'est pas un vecteur, donc que l'ensemble à 4 dimensions n'est pas un espace à 4 dimensions.