Relativité einsteinienne

[ABC]

Ben non! Je n'oublie pas, c'est ce que je suis en train de regarder. Einstein dit que M' ne reçoit pas les signaux en même temps car "il cours vers le signal provenant de A tandis qu'il fuit celui venant de B". J'ai essayé d' écrire mathématiquement cette assertion, ce qui me paraît essentiel puisque la non-conservation de la simultanéité repose sur elle. Si quelqu'un veut bien s'y coller il sera le bienvenu.

Je viens de le faire et de t'expliquer, avec tes propres équations (que j'ai en plus justifiées) que effectivement.

• les signaux émis en A et en B sont reçus simultanément en M0 milieu de AB s'ils sont émis en même temps en A et B au sens du référentiel de A et B
• les signaux émis en A et en B sont reçus simultanément en M' s'ils sont émis en même temps en A et B au sens du référentiel de M'

Que veux tu savoir de plus exactement ?

[richard]

Einstein dit qu'ils ne sont pas perçus simultanément par M'. Il présupposerait donc qu'ils ne sont pas simultanés pour le référentiel R' pour démontrer la non-simultanéité! Curieux, nan?

[ABC]

Einstein dit qu'ils ne sont pas perçus simultanément par M' [s'ils sont envoyés simultanément depuis A et B au sens de la simultanéité du référentiel de A et de B]. Il présupposerait [Cela correspond, plus généralement, au fait] qu'ils ne sont pas [reçus] simultanément [en M'] s'ils ne sont pas émis simultanément en A et B au sens de la simultanéité du référentiel R' de M' pour démontrer la non-simultanéité! Curieux, nan?

Que tu ne comprennes toujours pas la relativité de la simultanéité malgré les détails fournis ? Effectivement ! Je ne sais pas pourquoi tu reposes 3 fois la même question alors que la réponse se trouve dans les équations que tu as toi même écrites justes (un petit miracle).

[richard]

Oui, c'est bien ce que je dis, c'est une tautologie; les signaux ne sont pas reçus simultanément par M' parce qu'ils ne sont pas envoyés simultanément (du point de vue de R').

[ABC]

Oui, c'est bien ce que je dis, c'est une tautologie; les signaux ne sont pas reçus simultanément par M' parce qu' [quand] ils ne sont pas envoyés de A et B simultanément (du point de vue de R').

Bon, que veux tu savoir de plus ?

[richard]

Rien! Einstein a dit qu'ils ne sont pas perçus simultanément par M' "parce qu'il court vers Le rayon provenant de A et qu'il fuit celui venant de B". Ça me va très bien c'est une excellente explication basée sur une logique implacable. Que demander de plus?

[ABC]

Rien! Einstein a dit qu'ils ne sont pas perçus simultanément par M' "parce qu'il court vers le rayon provenant de A B et qu'il fuit celui venant de B A". Ça me va très bien c'est une excellente explication basée sur une logique implacable. Que demander de plus?

Peut-être que tu apprennes ce qu'est la durée impropre séparant deux évènements z1 et z2 du point de vue d'un référentiel inertiel R qui n'est pas celui de l'observateur passant par ces deux évènements.

C'est la distance entre deux hyperplans de simultanéité : ils sont définis comment ?

• vis à vis du référentiel inertiel R d'une part
• vis à vis de ces deux évènements z1 et z2 d'autre part.

[richard]

Peut-être que tu apprennes ce qu'est la durée impropre séparant deux évènements z1 et z2 du point de vue d'un référentiel inertiel R qui n'est pas celui de l'observateur passant par ces deux évènements.

Ben oui! T'as raison c'est parce que je n'ai pas compris ce qu'est un temps impropre! Quel demeuré je suis! je suis bien comme mon avatar, je le reconnais, un peu simplet.

[ABC]

Peut-être que tu apprennes ce qu'est la durée impropre séparant deux évènements z1 et z2 du point de vue d'un référentiel inertiel R qui n'est pas celui de l'observateur inertiel unique passant par ces deux évènements.

Ben oui! T'as raison c'est parce que je n'ai pas compris [ne sais pas] ce qu'est un temps impropre!

Si c'est faux, c'est facile à prouver. Il suffit de répondre. La durée impropre entre deux évènements z1 et z2 du point de vue d'un référentiel inertiel R qui n'est pas celui de l'unique observateur inertiel O passant par z1 et z2 est la distance (au sens de la métrique de Minkowski) entre deux hyperplans de simultanéité. Comment sont caractérisés ces deux hyperplans :

• par rapport au référentiel inertiel R considéré,
• par rapport aux deux évènements z1 et z2 ?

[Psyricien]

Une petite remarque pour bien finir l'année.

M' en mouvement [de A vers B] par rapport aux émetteurs A et B reçoit les signaux au temps t'A et t'B [du référentiel des émetteurs A et B] tels que:
d(Ao, M') = c (t'A - t'o), soit
d(Ao, M'o) + v (t'A - t'o) = c (t'A - t'o), soit encore
d(Ao, M'o) = (c-v) (t'A - t'o) et de même
d(Bo, M'o) = (c+v) (t'B - t'o)
t'o étant le moment d'envoi des signaux [au sens de la simultanéité du référentiel des émetteurs A et B], comme M'o est au milieu de AB, d(Ao, M'o) = d(Bo, M'o. Dès lors il est évident que les signaux n'atteignent pas M' en même temps (t'A# t'B). Toutefois il est clair que les signaux sont bien reçus simultanément [en M'o, milieu de AB] dans le tous les référentiels de M'.

Par contre, les signaux lumineux émis depuis A et B auraient effectivement été reçus en même temps en M', s'ils avaient été émis en même temps en A et en B au sens de la simultanéité du référentiel de M'.

Non plus ...
Les évènements "émission" et les évènements "réception" sont distincts !
Par voie de conséquences, la simultanéité des uns dans un référentiel choisi ne te renseigne pas sur la simultanéité des autres.
Cela est parfaitement visible dans le cas de la limite classique (le calcul relativiste donnant qualitativement la même chose).

faisons le calcul avec tes ajouts:
--> "M' en mouvement [de A vers B] par rapport aux émetteurs A et B reçoit les signaux au temps t'A et t'B [du référentiel des émetteurs A et B]"
--> "t'o étant le moment d'envoi des signaux [au sens de la simultanéité du référentiel des émetteurs A et B], comme M'o est au milieu de AB, d(Ao, M'o) = d(Bo, M'o."

Changeons donc cela pour une simultanéité d'émissions dans le référentiel du récepteur M'.
trivialement on a:
Conservons l'idée A et B sont à égale distance de M', \(d\) (mesurée dans le référentiel de M'), au moment de l'émission (dans le référentiel de M').
Quand M' recevra t-il les deux signaux ? (notons \(\beta_s\) la vitesse du signal et \(\beta\) la vitesse de M' par rapport à A et B).
La vitesse du signal \(\beta_s\) est supposée isotrope dans le référentiel de AB (car oui, en générale pour un signal quelconque, c'est pas forcément vrai).
La vitesse d'approche du signal du point de vu de M' est donc:
1) \(\beta_A = \frac{\beta_s - \beta}{1 - \beta \beta_s}\)
2) \(\beta_B = \frac{\beta_s %2b \beta}{1 %2b \beta \beta_s}\)
pour les signaux provenant de A et B respectivement.

Les évènement "réception" arriveront donc aux temps:
\(t_A = \frac{d}{c} \frac{1- \beta \beta_s}{\beta_s - \beta}\)
\(t_B = \frac{d}{c} \frac{1 %2b \beta \beta_s}{\beta_s %2b \beta}\)
Et donc \(t_A \neq t_B\) dans le référentiel de M' (avec la bonne vitesse de M' ... le signal venant de A pourrait très bien ne jamais arriver d'ailleurs .).

Attention à ce genre de confusions !
G>

[ABC]

Non plus ...

Les signaux lumineux émis depuis A et B auraient effectivement été reçus en même temps en M', s'ils avaient été émis en même temps en A et en B au sens de la simultanéité du référentiel de M'.

Rappelons que, par hypothèse, le récepteur M' est situé à égale distance des émetteurs A et B, mais cette fois à un même instant d'émission au sens de la simultanéité du référentiel inertiel du récepteur M' (et non à égale distance entre A et B à un même instant d'émission au sens de la simultanéité d'un autre référentiel inertiel comme celui des émetteurs par exemple).

Deux signaux lumineux (sous-entendu se propageant dans le vide donc à vitesse c) émis à égale distance d'un récepteur et en même temps (au sens de la simultanéité du référentiel inertiel de ce récepteur) atteignent ce récepteur en même temps.

[Psyricien]

Non plus ...

Les signaux lumineux émis depuis A et B auraient effectivement été reçus en même temps en M', s'ils avaient été émis en même temps en A et en B au sens de la simultanéité du référentiel de M'.

Deux critères manquant à cet énoncé:
--> La vitesse du signal lumineux (non-précisé que c'est dans le vide) !
--> L'équidistance (A-M') (M'-B).

Rappelons que, par hypothèse, le récepteur M' est situé à égale distance des émetteurs A et B, mais cette fois à un même instant d'émission au sens de la simultanéité du référentiel inertiel du récepteur M' (et non à égale distance entre A et B à un même instant d'émission au sens de la simultanéité d'un autre référentiel inertiel comme celui des émetteurs par exemple).

C'est mieux, toujours un éléments manquant.
Ce qui compte c'est la vitesse du signal. Et un signal lumineux, ça ne va pas forcément à "c" !

Les temps respectifs de réception:
\(t_A = \frac{d}{c}\frac{1-\beta_s \beta}{\beta_s - \beta}\)
\(t_B = \frac{d}{c}\frac{1 %2b \beta_s \beta}{\beta_s %2b \beta}\)
Qui ne deviennent égaux pour \(\beta_s = 1\).

Deux signaux lumineux (sous-entendu se propageant dans le vide donc à vitesse c) émis à égale distance d'un récepteur et en même temps (au sens de la simultanéité du référentiel inertiel de ce récepteur) atteignent ce récepteur en même temps.

Désolé, j'interpole pas les énoncés incomplets. Maintenant c'est mieux.
G>

[curieux]

Einstein dit qu'ils ne sont pas perçus simultanément par M'. Il présupposerait donc qu'ils ne sont pas simultanés pour le référentiel R' pour démontrer la non-simultanéité! Curieux, nan?

Je ne sais pas quelle bande dessinée sur la RR tu as encore lue mais le but de l’expérience était justement de montrer que ce qui est perçu comme deux événements simultanés pour le gars du quai ne le sont plus pour le gars dans le wagon.
Il n'y a pas de présupposé puisque c'était plutôt censé montrer le contraire.

Je ne suis pas sûr que tu comprendrais mieux le problème en modifiant les conditions initiales, celles ou (caché derrière le chef de gare) j'appuie sur le bouton un peu en avance pour faire en sorte que le voyageur perçoive les deux flash en même temps.
A cause de la vitesse finie de la lumière, le chef de gare aura vue les flash une fraction de seconde avant le voyageur, et ce coup là, les deux observateurs voient chacun de leur côté deux événements simultanés pour eux, mais décalés dans le temps.
Autrement dit, ce qui est simultané pour l'un ne l'est pas pour l'autre, bien qu'à l'origine la cause était unique.

Et là, tu vas me dire : "Chouette, on tiens donc un moyen de différencier les référentiels entre eux !", et bein non, le gars du wagon percevra simultanément deux signaux de fréquences différentes et sera donc incapable de prouver que l'origine des deux flash est commune. Il pourra, éventuellement, se dire que ce qu'il a pris pour de la simultanéité n'était qu'une coïncidence mais sera incapable d'affirmer que c'est lui qui voyage et non pas deux flash d'origines differentes.
On retombe sur le fait qu'aucun référentiel n'est privilégié par rapport à l'autre, ce qu'on savait depuis Galilée et qui sert de premier postulat à la RR.

[ABC]

Bref,

• deux signaux lumineux se propageant à la même vitesse c (donc dans le vide, sinon la valeur c ne serait pas la bonne)
• émis par deux émetteurs A et B
• en même temps au sens de la simultanéité du référentiel inertiel d'un récepteur M'
• situés à égale distance de M' au moment de cette émission (toujours au sens de cette même simultanéité)
• donc ayant à parcourir la même distance à la même vitesse en étant parti en même temps

sont reçus en même temps par le récepteur M'

La démonstration rigoureuse ci-dessous permet de l'établir (en deux étapes, il fallait bien ça).

Non plus ...
Les évènements "émission" et les évènements "réception" sont distincts !
Par voie de conséquences, la simultanéité des uns dans un référentiel choisi ne te renseigne pas sur la simultanéité des autres.
Cela est parfaitement visible dans le cas de la limite classique (le calcul relativiste donnant qualitativement la même chose).

faisons le calcul avec tes ajouts:
--> "M' en mouvement [de A vers B] par rapport aux émetteurs A et B reçoit les signaux au temps t'A et t'B [du référentiel des émetteurs A et B]"
--> "t'o étant le moment d'envoi des signaux [au sens de la simultanéité du référentiel des émetteurs A et B], comme M'o est au milieu de AB, d(Ao, M'o) = d(Bo, M'o)."

Changeons donc cela pour une simultanéité d'émissions dans le référentiel du récepteur M'.
trivialement on a:
Conservons l'idée A et B sont à égale distance de M', \(d\) (mesurée dans le référentiel de M'), au moment de l'émission (dans le référentiel de M').
Quand M' recevra t-il les deux signaux ? (notons \(\beta_s\) la vitesse du signal et \(\beta\) la vitesse de M' par rapport à A et B).
La vitesse du signal \(\beta_s\) est supposée isotrope dans le référentiel de AB (car oui, en générale pour un signal quelconque, c'est pas forcément vrai).
La vitesse d'approche du signal du point de vu de M' est donc:
1) \(\beta_A = \frac{\beta_s - \beta}{1 - \beta \beta_s}\)
2) \(\beta_B = \frac{\beta_s %2b \beta}{1 %2b \beta \beta_s}\)
pour les signaux provenant de A et B respectivement.

Les évènement "réception" arriveront donc aux temps:
\(t_A = \frac{d}{c} \frac{1- \beta \beta_s}{\beta_s - \beta}\)
\(t_B = \frac{d}{c} \frac{1 %2b \beta \beta_s}{\beta_s %2b \beta}\)
Et donc \(t_A \neq t_B\) dans le référentiel de M' (avec la bonne vitesse de M' ... le signal venant de A pourrait très bien ne jamais arriver d'ailleurs .).

Puis, après prise en compte du fait que les signaux considérés étaient des signaux lumineux se propageant à c, comme indiqué dans les équations de Richard auquel cet échange répondait.

C'est mieux, toujours un éléments manquant. Ce qui compte c'est la vitesse du signal. Et un signal lumineux, ça ne va pas forcément à "c" !
Les temps respectifs de réception:
\(t_A = \frac{d}{c}\frac{1-\beta_s \beta}{\beta_s - \beta}\)
\(t_B = \frac{d}{c}\frac{1 %2b \beta_s \beta}{\beta_s %2b \beta}\)
Qui ne deviennent égaux pour \(\beta_s = 1\).

Maintenant c'est mieux.

[spin-up]

Bref,

• deux signaux lumineux se propageant à la même vitesse c (donc dans le vide, sinon la valeur c ne serait pas la bonne)
• émis par deux émetteurs A et B
• en même temps au sens de la simultanéité du référentiel inertiel d'un récepteur M'
• situés à égale distance de M' au moment de cette émission (toujours au sens de cette même simultanéité)
• donc ayant à parcourir la même distance à la même vitesse en étant parti en même temps

sont reçus en même temps par le récepteur M'

La démonstration rigoureuse ci-dessous permet de l'établir (en deux étapes, il fallait bien ça).

Est ce que ce n'est pas un peu tautologique? Dans le sens ou c'est la definition meme de la simultaneité dans le referentiel de M'.

[ABC]

Bref,

• deux signaux lumineux se propageant à la même vitesse c (donc dans le vide, sinon la valeur c ne serait pas la bonne)
• émis par deux émetteurs A et B
• en même temps au sens de la simultanéité du référentiel inertiel d'un récepteur M'
• situés à égale distance de M' au moment de cette émission (toujours au sens de cette même simultanéité)
• donc ayant à parcourir la même distance à la même vitesse en étant parti en même temps

sont reçus en même temps par le récepteur M'

Est ce que ce n'est pas un peu tautologique? Dans le sens ou c'est la definition meme de la simultaneité dans le referentiel de M'.

Si, bien sûr. Richard signalait qu'il n'y avait pas coïncidence de réception des deux signaux lumineux reçus en M'. Il semblait en être surpris, parce qu'il raisonnait (sans y avoir pris garde) avec la simultanéité du référentiel inertiel des émetteurs A et B. Je lui ai signalé que pour raisonner dans le référentiel inertiel de M' et obtenir la coïncidence de réception, en M', des signaux lumineux émis en A et B en même temps et à même distance de M', il fallait considérer la simultanéité propre au référentiel de M'. Il a compris ce point je pense.

[richard]

Merci à ABC et à Psyricien pour toutes ces précisions, j'ai tout bien compris. Et bonne année à tous!
Maintenant j'aimerais savoir ce qui se passe si les signaux sont émis depuis le train aux points A' et B', situés de part et d'autre de M' à égale distance, le chef de gare restant en M sur le quai. Je trouve quelque chose de différent. Me serais-je (encore) trompé?

[curieux]

Bonjour richard

la situation devient la réciproque de la première, cette fois tu te considères comme immobile avec les phares A et A' et c'est le chef de gare qui ne reçoit plus les signaux en simultané.

[richard]

Ben merci curieux! mais malheureusement je trouve qu'il les reçoit simultanément à cause de l'invariance de la célérité de la lumière avec la vitesse de la source. C'est pourquoi je me demande si je ne me suis pas (encore) trumpé.

[curieux]

Tu peux trouver une condition de l'expérience où il les recevra simultanément mais contrairement à l'autre il recevra des signaux de fréquences différentes.
Comment pourra-t-il alors parler de simultanéité s'il n'est pas en mesure de prouver l'origine des sources ?

Au lieu de deux flash synchronisés, on peut imaginer une seule source séparé en deux par une lame semi-reflechissante, située au pied du gars.
Emises vers des miroirs séparés d'une égale distance par rapport au centre d'émission.
Dès lors, d'une source unique, à cause de l'invariance dont tu parles, le gars dans le train pourra parler de simultanéité, bein oui puisqu'il en est l'auteur il sait pertinemment que c'est le cas.
Mais le chef de gare sur le quai, comment le saurait-il au constat de deux faisceaux de fréquences différentes ?
Pour lui c'est peut-être simultané ou peut-être une coincidence. Pourquoi choisira-t-il la simultanéité et pas l'autre cause ?

[curieux]

Un exemple de code pour vérifier le cas d'un wagon filant à la vitesse d'un gamma = à 10

Spoiler

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kill (all) $
numer : true $
ratprint : false $
fpprec : 99 $
fpprintprec : 9 $

Vlum : 299792458 $
Lemis : 0.8 $ /* longueur d'onde emise; couleur rouge =0.8 µm */
T_emis : Lemis * 1e-6 / Vlum ; /* temps d'une oscillation en s */
c : 1 $ /* vitesse lumière prise egale a l'unite comme reference */

gamma : 10.0 $
v : -sqrt((gamma^2-1)/gamma^2) ; /* Vitesse relative à c */

Lrecue : Lemis * sqrt((c-v) / (c+v)) ;
vari : 0.0 $

LrecueA : (Lemis - vari) * (1 + v / c) / sqrt(1 - v^2 / c^2) ; /* +v : longueur d'onde recue, ultraviolet ~0.04 µm en approche*/
LrecueE : Lemis * (1 - v / c) / sqrt(1 - v^2 / c^2) ; /* -v : longueur d'onde recue, infrarouge ~16 µm en eloignement*/

T_recueA : LrecueA * 1e-6 / Vlum ; /* temps en s , crete-crete, d'une oscillation recue par le voyageur Approche */
T_recueE : LrecueE * 1e-6 / Vlum ; /* temps en s , crete-crete, d'une oscillation recue par le voyageur Eloigne */

gamma : 1 / sqrt(1 - v^2 / c^2) ; /* facteur de ralentissement du temps */
RatioE : LrecueE / Lemis ; /* rapport entre LO recue et LO emise */

/* autre calcul pour verification */
print("Autres calculs") $
rapidite : -c * log(sqrt((c-v) / (c+v))) ;
rapidite : -c * 0.5 * log ((c-v) / (c+v)) ;
rapidite : c * atanh(v / c) ;
Lrecue2 : Lemis * exp(-rapidite/c) ;
/* fin autre calcul */;


print ("Verif de la LO d'emission a frequence fixe")$
Le : (LrecueA * LrecueE) / (Lemis-vari) ;

print("Cas Classique (son)") $
LrecueClassiqueE : Lemis * (1 - v / c) ; /* LO recue dans un cas classique (comme pour le son par ex.) */
RatioClasE : LrecueClassiqueE / Lemis ; /* ratio classique, non relativiste */;

et les résultats :

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(T_emis)2.66851276*10^-15
(v)-0.994987437

(Lrecue)15.9598995 --> infrarouge venant de l'arrière
(LrecueA)0.0401005031 --> ultraviolet venant de l'avant

(LrecueE)15.9598995
(T_recueA)1.3376088*10^-16
(T_recueE)5.32364944*10^-14
(gamma)10.0

(RatioE)19.9498744

"Autres calculs"" "
(rapidite)-2.99322285
(rapidite)-2.99322285
(rapidite)-2.99322285
(Lrecue2)15.9598995
"Verif de la LO d'emission a frequence fixe"" "
(Le)0.8
"Cas Classique (son)"" "
(LrecueClassiqueE)1.59598995
(RatioClasE)1.99498744

Avec un gamma de 10 la variation de fréquence est d'environ le double. (19.9498744 =~ 2 * gamma)

[richard]

Oui! moi aussi ça m'a troublé quand j'ai découvert qu'il y avait conservation de la simultanéité.

[curieux]

Misère, eh cafouniette, tu vas à l'pêch' ?
Nan, j'va à l'pêch'
Ah bon, j'croyo qu't'allo à l'pêch'

[richard]

Einstein a décrété que deux phénomènes em. étaient simultanés si un observateur placé au milieu du segment qui joint les deux lieux où ils se produisent percevait ces deux signaux simultanément*. Si ces phénomènes ont lieu sur le quai de la gare, l'observateur situé au milieu du segment dans le train ne les perçoit pas simultanément, par contre s'ils ont lieu dans le train un observateur placé au milieu les perçoit simultanément. D'après Einstein il y n'y aurait pas conservation de la simultanéité lors du passage du quai au train par contre la simultanéité serait conservée lors du changement de référentiel du train à celui du quai. Ce qui est pour le moins curieux.
* Cette définition est superfétatoire. En effet ce qu'on est en droit d'affirmer c'est que deux phénomènes sont simultanés s'ils se produisent au même moment.

[thewild]

En effet ce qu'on est en droit d'affirmer c'est que deux phénomènes sont simultanés s'ils se produisent au même moment.

Que signifie "au même moment" si les phénomènes n'ont pas lieu au même endroit ?