Salut astro11111,
Bravo!
Après 11 jours, je n'espérais plus...
La seule différence entre "ma" solution et la tienne est que, sur mes dés, les nombres vont de 0 à 6 plutôt que de 1 à 7. Détail esthétique tout à fait mineur.
En passant, je les ai déjà concrètement bricolés, ces 4 dés : un noir, un rouge, un jaune et un blanc. On peut galamment proposer à l'
adversaire de choisir son arme le premier. Ça a l'air de l'avantager de choisir le premier... mais, quel que soit son choix, on peut le battre (2 fois sur 3) en choisissant deuxième.
À ta première question (
est-ce possible d'y arriver avec seulement 6 nombres différents?) je suis pas mal certain que la réponse est NON, mais je renonce à essayer de le démontrer rigoureusement.
Pour ta seconde question, sur les égalités, j'ai le feeling que les permettre provoque une sorte de
"gaspillage de masse probabiliste" qui rend plus difficile de
"boucler la boucle". Par exemple, en gardant ton dé A à 444444 et en remplaçant ton dé B par B'=33334X (où X>4), on ne fait qu'
affaiblir le dé B et rendre plus difficile de trouver un dé C' qui soit plus faible que B', tout en étant plus fort qu'un prochain D' qui battra le A de départ.
Ce problème est un cas particulier (avec n=4) d'un problème plus général qui consiste à trouver n variables aléatoires (indépendantes) X1, X2, X3, ... , Xn de telle sorte que soit
maximisé le
minimum des n probabilités suivantes :
P(X1>X2), P(X2>X3), ... , P(Xn-1>Xn), P(Xn>X1).
Pour des raisons qui se résument par un
"non gaspillage de masse", la solution donnera n probabilités
égales.
Si on note par f(n) ce maximum du minimum, on trouve que
f(2) = 1/2
f(3) = (sqrt(5)-1)/2 = 0.61803... (le nombre d'or)
f(4) = 2/3 (c'est notre problème des 4 dés)
...
Quand n tend vers l'infini, f(n) tend vers 3/4.
La beauté du cas n=4 est que, dans la solution, toutes les probabilités s'expriment en "sixièmes" et qu'il est donc possible de la réaliser concrètement avec des dés à 6 faces.
Pour t'amuser, voici un autre petit "paradoxe" de même farine :
Supposons qu'on lance indéfiniment un sou qui donnera une suite de Pile ou Face (P ou F). Entre nous deux, on fait un pari. Chacun se choisit un "mot" de 3 lettres (ex. tu choisis PPP et je choisis FPP) puis on lance le sou jusqu'à ce qu'un de nos deux mots apparaisse (dans les 3 derniers lancers). Le gagnant est celui qui, le premier, a vu apparaître son mot.
Pour l'exemple donné (ton PPP contre mon FPP), j'ai 7 chances sur 8 de te battre car ta seule chance de gagner est de gagner
dès le départ (i.e. avec les 3 premiers lancers). Si les trois premiers lancers ne donnent pas PPP, il est logiquement inévitable que le premier PPP ait été, un cran avant, précédé d'un FPP. J'aurai donc gagné avant toi.
Le "paradoxe" n'est pas là. Il est plutôt dans le fait que
quel que soit le mot que tu choisis, je pourrai toujours en trouver un qui sera plus fort que le tien (i.e. qui aura plus qu'une chance sur deux d'apparaître avant le tien).
Par exemple, si tu choisis le FPP (qui, comme on a vu, est plus fort que PPP), j'aurai 2 chances sur 3 de te battre en choisissant FFP.
Si tu choisis ce FFP, j'aurai 3 chances sur 4 de te battre en choisissant PFF.
Si tu choisis ce PFF, j'aurai 2 chances sur 3 de te battre en choisissant PPF.
Si tu choisis ce PPF, j'aurai 3 chances sur 4 de te battre en choisissant FPP.
La boucle est bouclée. Quel que soit le mot que tu choisis, je peux toujours en trouver un qui le battra au moins 2 fois sur 3. Ça montre que l'offre galante de te proposer le premier choix est moins galante qu'il n'y paraît.
Denis
Denis
