Ravi que ma démonstration vous ait convaincu.
C'est un théorème d'existence dont je ne suis pas peu fier. Les probabilités subjectives existent et nous en avons tous. C'est à la fois l'ossature et l'articulation de notre système d'opinions. Le problème (et le jeu) est de rester consistant. Ç'est là que la science intervient et nous aide à garder la route. La culture met de la chair autour de l'ossature et la science met de l'huile dans l'articulation.
Ma métaphore est un peu boîteuse, à moins d'être un cyborg.
Avec les probabilités subjectives, il faut toutefois être un tipeu prudent car, parfois, elles ne suivent pas les mêmes lois que les objectives.
Voici un exemple qui l'illustre assez bien, je pense.
Imaginez qu'on vous présente un objet fragile, disons une assiette. Devant vous, on laisse tomber l'assiette d'une hauteur de 30 cm. Supposons que l'assiette reste intacte. Puis, on fait tomber l'assiette d'une hauteur de 3 mètres et vous la voyez se briser en mille miettes. On vous demande ensuite d'estimer (à l'oeil) la hauteur h de laquelle il faut faire tomber l'assiette pour que la probabilité qu'elle se brise soit 1/2.
Là, vous cogitez bien fort et vous jugez que h vaut, disons 70 cm. Plus haut que 70 cm, vous auriez tendance à parier que l'assiette va se briser. Plus bas, vous parieriez plutôt qu'elle va rester intacte. (Bien sûr, on suppose qu'on a bien défini ce qu'est un bris pour qu'il n'y ait aucun risque d'ambiguité de ce côté-là).
Mon exemple n'est pas fini. On vous présente enfin 10 assiettes qu'on va tout-à-l'heure laisser tomber l'une après l'autre d'une hauteur de 70 cm, précisément celle pour laquelle vous avez estimé que P(bris)=0.5.
Enfin, on vous demande d'estimer la probabilité de l'événement suivant:
A : "Les 10 assiettes ont toutes le même sort" (10 bris ou 0 bris).
Si le P(bris)=0.5 était une probabilité objective, le nombre X de bris devrait se comporter exactement comme le nombre de "faces" obtenues en lançant 10 pièces de monnaie. Je ne vous apprend rien en vous disant qu'on trouve alors P(A)=2/1024.
Revenons à nos 10 assiettes qu'on va laisser tomber.
Serait-il si miraculeux que ça (moins d'une chance sur 500) que les 10 assiettes aient toutes le même sort? Bien au contraire, l'expérience commune nous crie (c'est là que mon argument manque peut-être un tipeu de rigueur) que l'événement "Toutes les assiettes ont le même sort" n'est pas invraisemblable du tout. Bien au contraire. Paradoxe?
Pas vraiment car les probabilités subjectives ne sont pas des points (comme le sont les probabilités objectives) mais plutôt des distributions. Quand vous avez estimé que, pour h = 70 cm on avait P(bris)=0.5, vous avez, en réalité, jugé que, pour cette hauteur critique, la probabilité de bris avait une chance sur deux d'être proche de 0 et une chance sur deux d'être proche de 1. On s'attend alors que, pour les 10 assiettes, le nombre de bris aura une chance sur deux d'être proche de 0 et une chance sur 2 d'être proche de 10.
Bref, les probabilités subjectives ont leurs propres lois, parfois un peu différentes de celles qui s'appliquent aux probabilités objectives.
Je m'excuse de vous avoir retenu si longtemps.
Vous avez réveillé le pédagogue qui sommeille en moi.
Il est tard. Il va se coucher, le pédagogue.
Portez-vous aussi bien que l'autre.
Denis
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