AlBo:
Curieuse logique : l'erreur classique consiste habituellement à penser qu'au même titre que 3-3=0 ou x-x=0, l'infini moins l'infini fait 0. (1 étant obtenu en divisant plutôt qu'en retranchant.)
Il faut s'accorder sur ce que vous entendez par l'infini. Voici un point de vue de matheux.
L'infini intervient dans plusieurs domaines.
Le premier est celui mentionné par Évariste : l'analyse des quantités dépendant de variables(les fonctions).
Comme il l'expose, on dit que la quantité x^2 "tend vers + l'infini lorsque x tend vers + l'infini" pour signifier que quelque soit la limite que l’on se fixe (aussi grande soit-elle), on peut toujours rendre x^2 encore plus grande (il suffit pour cela d'utiliser des valeurs de x elles-mêmes suffisamment grandes).
x^2 n'a donc pas de limite (peut être rendu aussi grand qu'on veut), ou, en langage mathématique, x^2 a pour limite + l'infini.
Ce qu’on vulgarise en x^2 est infini.
Si ce préambule est digéré, je propose quelques exemples qui me semblent plus simples à aborder que ceux suggérés par Évariste.
J'affirme que lorsque x est infini, les quantités A=3x+1, B=3x+2, C=3x et D=2x sont elles aussi infinies (il suffit de constater qu’elle sont toutes plus grandes que x qui est lui même supposé être infini).
Dans ces conditions : A-C=1, B-C=2 et C-D=x.
Trois soustractions du type l’infini moins l’infini, 3 réponses différentes : 1, 2, l’infini…
La première conforte votre point de vue, la troisième conforte celui de votre ami, et la seconde contredit les deux.
Conclusion (provisoire) : on ne peut pas énoncer de règle, la question l’infini moins l’infini n’a pas de sens sans précision quand à la nature des infinis considérés.
Comme vous l'a répondu Évariste, l’nfini n’est pas un nombre, aussi ne peut-on pas lui appliquer les règles opératoires concernant les nombres, sauf à généraliser cette notion, ce qui se fait en analyse non standard. Mais cette une autre histoire…
Deuxième situation : nombre d’éléments d’un ensemble.
Le nombre de Québécois est fini et en décomposant l’ensemble des québécois en sous-ensembles ( hommes femmes petit(e)s grand(e)s, blond(e)s brun(e)s, etc…) on peut pas de simples soustractions et additions compter le nombre de personnes dans les intersections les réunions ou les complémentaires de ces sous ensembles.
Il n’en va plus de même avec les ensembles infinis.
On note traditionnellement N l’ensemble des entiers positifs zéro compris et N* l’ensemble des entiers positifs zéro non compris.
Chacun de ces ensembles contient une infinité de nombres : ils sont infinis.
Si on prend tous les nombres N et qu’on supprime tous ceux de N*, il ne reste que 0 et la « règle de Bill » est vérifiée : l'infini moins l’infini =1.
Si on prend tous les nombres N et qu’on supprime les entiers pairs, il ne reste que les entiers impairs qui sont en nombre infini. La « règle de l'ami de Bill » est vérifiée : l'infini moins l’infini = l'infini.
Là encore, tout dépend des infinis considérés.
Pour finir, quelques propositions concernant l'infini dont vous pouvez user pour taquiner votre ami:
Il y a autant de nombres réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et 2
Il y a autant de nombres réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et + l'infini.
Il y a autant d'entier que d'entier pair
Il y a autant de points sur le côté d'un carré qu'à l'intérieur de ce carré