Problème de math

[Greg]

Sur un forum auquel je participe, un intervenant a présenté une colle:

6÷2(1+2)= ?

Depuis ce temps, nous sommes divisés en deux groupes égaux. Les premiers, dont je fais partie, pensent que le résultat est 1, tandis que d'autres argumentent que le bon résultat est 9.

Je sais qu'il y a beaucoup de mathématiciens sur ce forum, à commencer par Denis. Est-ce que l'un deux pourrait donner l'heure juste!

[Fair]

Hello,

Lorsque qu'on écrit : "6÷2(1+2)" dans Google, la fonction Calculatrice nous donnes : (6 ÷ 2) * (1 + 2) = 9.
Étant très mauvais en maths j'aurais choisi la réponse "1", mais mon ami Google me dit "9".

A+

[Pakete]

Salut,

Pour moi c'est 1.

Il me semble que l'on s'occupe de la valeur qui va diviser "6" avant de se préoccuper de cette dernière.

[steph]

Salut Greg

6/(2 * (2 + 1)) = 1, mais 6/2 (1+2) = 9

Amicalement steph

[Denis]

Salut Greg,

Tu demandes :

6÷2(1+2)= ?

Si la réponse "syntax error" est interdite, je prends parti pour 9, comme steph.

Quand, en BASIC, j'exécute le petit programme suivant :

• x=6÷2(1+2)
  print x

j'obtiens un verdict de "syntax error" pour deux raisons. La première est que mon BASIC ne reconnaît pas le symbole "÷". La division y est notée par "/". Détail, mais quand j'exécute le programme "corrigé" :

• x=6/2(1+2)
  print x

ça me retourne encore "syntax error". Ça vient du fait que la machine ne sait pas comment interpréter le bout "2(". Il manque le symbole de multiplication "*".

Quand, enfin, j'exécute :

• x=6/2*(1+2)
  print x

ça me retourne 9.

En fait, le calcul de 6/2*3 est interprété de la même façon que le calcul de 6-2+3 (en remplaçant la division par une soustraction et la multiplication par une addition).

Ça mène à 6-2+3 = 7.

Si on veut que la soustraction retranche "tout ce qui la suit", il faut l'indiquer avec des parenthèses. Ça devient alors :
6-(2+3) = 6-5 =1.

Bref, les opérations "addition" et "soustraction" ont même niveau de priorité et sont simplement exécutées dans l'ordre où elles sont commandées. Il en est de même avec les opérations "multiplication" et "division". Elles ont même niveau de priorité (supérieur à + et -), ce qui fait que si on veut diviser par "tout ce qui suit", il faut le préciser en mettant ce "tout ce qui suit" entre parenthèses.

Ça devient alors : 6/(2*3) = 6/6 = 1. Sans les parenthèses, on a 6/2*3 = 9 (et avec les parenthèses autrement placées, on a (6/2)*3 = 9).

Mais comme, dans ton expression initiale, il n'y a pas de parenthèse après le symbole de division ("/" ou "÷"), il n'y a aucune raison de donner priorité à une opération (division ou multiplication) sur l'autre.

Ça me ramène à ma réponse du début : Si la réponse "syntax error" est interdite, je prends parti pour 9.

À 99.99%.

Ma réserve de 0.01% va disparaître si on est d'accord que "ab" est équivalent à "a*b", autrement dit, si on s'entend que l'absence de symbole (entre deux termes) est un symbole de multiplication "sous-entendu par concision".

Denis

[Raphaël]

Je dirais 1, parce que les calculs reliés aux parenthèses ont priorité sur le reste (du moins c'est ce que j'ai appris à l'école).

Pour avoir 9 il faudrait écrire: (6÷2)(1+2)

Probablement aussi que 6÷2 x (1+2)= 9

Mais si on enlève le signe "x" et qu'on écrit 6÷2(1+2), la partie "2(1+2)" devrait normalement être exécutée en premier et le résultat final est 1.

Autrement dit, 2x(1+2) ne serait pas l'équivalent de 2(1+2) même si on serait porté à le croire.

Ceci dit, je dois ajouter que je ne suis pas mathématicien et que tout ce que je viens d'écrire ne représente que mon opinion ÷ 2(mon QI + mon imagination délirante) et n'engage que moi.

[Sélénite]

Raphaël, ce sont les calculs à l'intérieur des parenthèses qui sont prioritaires. Que le signe de multiplication soit X, *, ou qu'il n'y en ait pas ne change rien à la règle. Sinon, il aurait fallu écrire 6÷[2(1+2)]= 1
Pas besoin d'être mathématicien, en France ça fait parti du programme de 5eme : http://ecran-maths.pagesperso-orange.fr ... /ordre.htm :
"Si une expression comporte des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions on commence :
a ) par effectuer toutes les multiplications ou divisions dans l'ordre de l'écriture.
b ) puis toutes les additions ou soustractions de gauche à droite."
Donc 6÷2(1+2)= 9

[embtw]

Je dirais 1[...]

Raphaël, ce sont les calculs à l'intérieur des parenthèses qui sont prioritaires. Que le signe de multiplication soit X, *, ou qu'il n'y en ait pas ne change rien à la règle. Sinon, il aurait fallu écrire 6÷[2(1+2)]= 1
Pas besoin d'être mathématicien, en France ça fait parti du programme de 5eme : http://ecran-maths.pagesperso-orange.fr ... /ordre.htm :
"Si une expression comporte des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions on commence :
a ) par effectuer toutes les multiplications ou divisions dans l'ordre de l'écriture.
b ) puis toutes les additions ou soustractions de gauche à droite."
Donc 6÷2(1+2)= 9

Salut Raphaël et Sélénite, salut à tous,

Initialement, intuitivement, j'ai répondu 1 moi aussi, puis à la lecture de l'argumentaire de Sélénite, j'avoue que j'adhère maintenant à 9.

En effet, le calcul entre parenthèse doit bien être effectué en premier puis ensuite comme il ne reste que des opérations ( ÷ * ) de priorité égale, on les traite alors dans l'ordre.

donc 6÷2(1+2) devient 6÷2*3 devient 3*3 devient 9.

Ludique, merci greg.

[thx4]

il n'y a aucune raison de donner priorité à une opération (division ou multiplication) sur l'autre.

je suis d'accord avec ça, donc 6/2= 3, point. Le reste est une crotte de mouche aucune raison d’interpréter la suite, ou de manière aléatoire (fantaisiste, qui va dans le sens de l’interprète)
Soit on fait de l'arithmétique de base, soit on fait voyante.........

soit (6/2) * (1+2)= 9
ou (6/2) / (1+2)= 1
ou (6/2) + (1+2)= 6
ou (6/2) - (1+2)= 0

etc...

A++

[Ptoufle]

Salut Greg,
comme beaucoup l'ont dit la réponse stricte est 9 pour moi aussi.
Ce qui peut faire penser la balance pour le 1 éventuellement, est le contexte dans lequel l'opération est posée. Si tel est le cas, l'opération a mal été écrite.

[yquemener]

J'ai déjà vu cette discussion par le passé. Notamment à propos du fait que des calculatrices différentes donnent un résultat différent.
Formellement, les opérations de division et de multiplication ont la même priorité il faut donc les prendre de gauche à droite, ainsi :
((6÷2)*(1+2))
on trouve donc 9. Certaines calculatrices, par contre, considèrent que la multiplication implicite, comme 2(1+2) a une priorité supérieure à la multiplication et division classique. Certaines calculatrices comprendront donc 6÷(2*(1+2)) = 1.
Je ne suis pas sur qu'il existe de règles précises sur la façon dont on doit considérer la multiplication implicite. Le bon sens demanderait qu'il s'agisse d'une multiplication classique, mais l'usage est différent. Par exemple dans l'expression 1÷2x on attend généralement que la calculatrice comprenne 1÷(2*x) alors que la règle normale voudrait que l'on calcule (1÷2)*x

Les deux résultats se défendent donc. L'un est plus conforme au formalisme supposé et l'autre à l'usage. L'important est d'avoir à l'esprit que 6÷2(1+2) est une notation ambiguë qui ne devrait pas être utilisée pour des choses importantes.

[thx4]

x=6/2 (1+2)
print x
Si la réponse "syntax error" est interdite,

J'écris :
x=6/2 '(1+2) en attente de savoir ce que veut faire l'auteur
print x

réponse 3

tout autre interprétation est fantaisiste
A++

[Etienne Beauman]

J'ai déjà vu cette discussion par le passé. Notamment à propos du fait que des calculatrices différentes donnent un résultat différent.
Formellement, les opérations de division et de multiplication ont la même priorité il faut donc les prendre de gauche à droite, ainsi :
((6÷2)*(1+2))
on trouve donc 9. Certaines calculatrices, par contre, considèrent que la multiplication implicite, comme 2(1+2) a une priorité supérieure à la multiplication et division classique. Certaines calculatrices comprendront donc 6÷(2*(1+2)) = 1.
Je ne suis pas sur qu'il existe de règles précises sur la façon dont on doit considérer la multiplication implicite. Le bon sens demanderait qu'il s'agisse d'une multiplication classique, mais l'usage est différent. Par exemple dans l'expression 1÷2x on attend généralement que la calculatrice comprenne 1÷(2*x) alors que la règle normale voudrait que l'on calcule (1÷2)*x

Les deux résultats se défendent donc. L'un est plus conforme au formalisme supposé et l'autre à l'usage. L'important est d'avoir à l'esprit que 6÷2(1+2) est une notation ambiguë qui ne devrait pas être utilisée pour des choses importantes.

C'est la réponse qui me sied le mieux, naturellement j'aurai répondu 1, mais après les réponses données j'en venais à la conclusion que je me trompais et ma calculatrice aussi .
L'écriture n'étant pas formelle, je choisis l'usage priorité implicite.
6/2(3) n'est pas égal à 6/2*3

[richard]

6÷2(1+2)= ?

j'ai eu moi aussi ce problème sur un autre forum: j'avais écrit dans le sens où c'est le diviseur qui est multiplié par (1+2) si c'est le numérateur qui est multiplié par ce coefficient il vaudrait mieux écrire, amha 6(1+2)/2 = 9 (et là il n'y a pas d'ambiguïté); auquel cas 6/2(1+2) = 1

[BeRReGoN]

Python non plus n'aime pas l'absence de signe multiplication. Je dirais que les ordinateurs ne comprennent pas ce qui est implicite si ce n'est pas prévu dans le langage qu'on utilise pour leur jaser.

Mais sinon, 6/2*(1+2) ça fait 9 aussi car comme dans les règles mathématique, les parenthèses on préséance et ensuite les multiplications/divisions pour finir avec les additions/soustractions. Quand plusieurs opérations de mêmes niveaux se succèdent, elle se font de gauche à droite.

7*2+4/2-(9-4*2) = 15
7*2+4/2-(9-8) = 15
7*2+4/2-1 = 15
14+2-1 = 15
16-1 = 15

[BeetleJuice]

C'est clairement 9 si on suit les règles des mathématiques.

Les explications données par les autres l'explique très bien. C'est l'implicite de la multiplication qui porte à confusion en faisant croire à tord que le 2 peut être considéré comme une partie de 2(1+2) qui serait un facteur à lui tout seul dans l'opération, alors que c'est faut, le 2 et le (2+1) étant justement distinct par la multiplication, même implicite obligeant donc à multiplié d'abord le 2 par 1/6 (la division) avant de le multiplier par (1+2)*

*Le 1+2 est évidement résolu en premier.

6/2(3) n'est pas égal à 6/2*3

Je vais peut-être passer pour un idiot mais c'est quoi la différence outre les parenthèses surnuméraire de la première version?

[Etienne Beauman]

Salut Beetlejuice,

Je vais peut-être passer pour un idiot mais c'est quoi la différence outre les parenthèses surnuméraire de la première version?

J'ai trouvé ça :

En gros : certains ont appris à donner priorité au multiplications implicites causés par les parenthèses, et d'autres ont appris à traiter cette multiplication comme une multiplication normal et de lire de gauche à droite pour les opérations du même rang (la division et la multiplication sont du même rang). Ce sont ces conventions qui causent toute l’ambiguïté de l'équation.

(...)

Pour que l'équation puisse avoir du sens au niveau mathématique, il faut soit ajouter des parenthèses supplémentaires, soit exprimer l'équation sous forme de fraction. Sinon, on doit s'entendre sur une convention.

Le sens de l'équation dépend donc du but premier de celui qui écrit l'équation...

là bon les mecs se battent sur 35 pages quand même !
et ça :
"L'idée de considérer l'expression a:b.c comme (a:b).c n'est pas universellement reconnue. " là
+ le commentaire de yquemener, ma réponse instinctive (mais incertaine) et ma calculatrice qui trouve 1. (Casio fx-92 acheté il y a 6 mois. (~20€))
bref tout cela me laisse penser qu'il y a bien 2 façons de voir la chose, une formelle et une d'usage, vu que l'écriture proposée 6÷2(1+2) n'est pas formelle (la formelle aurait été 6/2*(1+2), je choisi l'interprétation d'usage.
En fait c'est surtout à cause de la distributivité que cela me gène,
selon moi
b(c+d)=bc + bd
est une image imprégnée forte*
et choisir la version formaliste pour a/b(c+d)=(a/b)*(c+d) c'est casser cette association visuelle.
J'aime bien la proposition de Richard si on "veut dire" (a/b).(c+d) il suffit d'écrire a(c+d)/b c'est aussi concis sans prêter à confusion.
Mais franchement je pense que la plupart des gens écrivent cela sous forme de fraction, pas en ligne et là c'est limpide.

Et c'est pas demain la veille du jour où tu passeras pour un idiot

* et un son aussi...
je ne lis pas les expressions de la même façon,
a/b*(c+d)

Code : Tout sélectionner

a sur b fois c plus d

et
a/b(c+d)

Code : Tout sélectionner

a sur b facteur de c plus d

édit :
du coup question a tout ceux qui penchent pour la réponse 9 :
pour vous
a/bc = (a/b).c ?
Vous n'accordez pas de priorité supérieure à bc ?
et avec une inconnue:
3/2x = 3x/2 ?
D'ici ça m'hérisse les poils, c'est contre nature

[yvesTr]

Dans l'ensemble des nombres rationnels, en gros on a:
-La multiplication est associative: (a*b)*c = a*(b*c)
-La multiplication est distributive sur l'addition: c*(a+b) = c*a+c*b
-diviser par un rationnel (a/b) c'est multiplier par (b/a), d'où c÷d = c * (1/d)
donc diviser par 2 c'est multiplier par (1/2) et:
6÷2(1+2)
=6÷2*(1+2)
=6*(1/2)*(1+2)
=3*(1+2)
=9
Donc pour moi la réponse est 9.

[BeetleJuice]

@Etienne

C'est pour ça que j'ai préféré faire de l'histoire plutôt que de la biologie, je crois que mon subconscient m'a prévenu que faire plus de math que l'addition et la soustraction de date et un peu de statistique ferait griller mon cerveau et que même le peu de math de la bio me vaudrait de finir légume (pourtant ça me passionne...)

Les maths me donnent mal à la tête . J'aime résoudre des problèmes et des équations, mais je ne supporte pas les batailles sur de l'irréel. C'est bien pour ça que j'ai arrêté d'avoir de bonne note dans cette matière après la seconde. Ca devenait trop peu concret et trop "coupage de cheveux en 4" pour moi.
A partir du moment où le seul lien entre une formule de math de terminale Scientifique et son utilisation concrète c'est une démonstration de physique sur la conductance mesurée lors d'une électrolyse dont on ne nous explique absolument pas à quoi a sert et ce que ça démontre...je crois que le divorce était consommé.

Bref, tout ça pour dire que c'est gentil de me répondre, mais en fait j'ai pas vraiment compris cette réponse... je crois que je vais en rester là et laisser ça à ceux qui savent faire plus que les 4 opérations de bases (sachant qu'à force de n'utiliser que des fractions je ne sais même plus faire une division euclidienne manuellement.)

Et c'est pas demain la veille du jour où tu passeras pour un idiot

Fait involontairement du second degré avec des élèves de CE2 et passe 5min en pure perte à tenter de leur expliquer où tu voulais en venir et pourquoi c'est de l'humour...
On sera pas loin de la définition de passer pour un idiot et ça m'arrive au moins 2 fois par semaines quand je m'occupe de faire faire leur devoir aux gamins dont je garde l'étude.

En même temps à force de fréquenter des sceptiques, le sarcasme ça devient une seconde nature et un réflexe.

[yvesTr]

édit :
du coup question a tout ceux qui penchent pour la réponse 9 :
pour vous
a/bc = (a/b).c ?
Vous n'accordez pas de priorité supérieure à bc ?
et avec une inconnue:
3/2x = 3x/2 ?
D'ici ça m'hérisse les poils, c'est contre nature

Oui, a/bc c'est bien a/b*c donc (a/b)*c.
Je pense qu'une confusion possible quand on écrit 3/2x c'est que ça ressemble visuellement à une écriture fractionnaire, du coup on pourrait avoir tendance à penser que le 2x est au dénominateur, d'où un gros risque d'interprétation multiple qui à mon avis justifie qu'on évite d'employer ce genre d'écriture sans prendre de précaution. Bref ce n'est pas pour rien qu'en général on écrit les fractions avec un trait horizontal, si on veut les écrire en ligne il faut mieux mettre des parenthèses pour bien pouvoir distinguer le numérateur et le dénominateur.
Si je ne me plante pas en gros une fraction peut être définie comme une façon d'écrire un ensemble* de couples de nombres entiers (numérateur; dénominateur), pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté il s'agirait donc de s'arranger pour qu'on puisse bien distinguer ces éléments dans l'écriture sous forme de fraction, avec le trait horizontal on ne peut pas se tromper mais horizontalement on ferait mieux de mettre des parenthèses, par exemple si un nombre rationnel admet pour représentant (3 ; 2x) on peut l'écrire horizontalement sous la forme de fraction 3/(2x) pour être sûr que ce ne soit pas interprété de travers. De cette façon ça marche aussi avec un bidule plus tordu, par exemple la classe d'équivalence de (2x²+x-4 ; 3x²+5x), pourrait s'écrire (2x²+x-4)/(3x²+5x) sous forme de fraction.

*Si mes souvenirs sont bons les rationnels sont les classes d'équivalence sur l'ensemble des couples de nombres entiers relatifs de second terme non nul, pour la relation d'équivalence R telle que (a;b) R (c;d) si et seulement si ad=bc.

[Etienne Beauman]

Je vais essayer de reformuler :
le fait d'enlever le * dans une expression type b*c est une convention d'allègement d'écriture mais pour éviter les confusions on ne peut pas l'appliquer partout.
Je traduirai cela mathématiquement par
bc = (b*c) parenthèses non facultatives
donc si b=2 et c=3
on a
2(3)=(2*3) pas 2*3
soit
6/2(3)=6/(2*3)=1 alors que 6/2*3=9
donc
6/2(1+2)=1 alors que 6/2*(1+2)=9
je faisais la différence sans le savoir jusqu'à maintenant, ma calculatrice la fait aussi.
Mais visiblement il y a deux écoles.

Fait involontairement du second degré avec des élèves de CE2 et passe 5min en pure perte à tenter de leur expliquer où tu voulais en venir et pourquoi c'est de l'humour...
On sera pas loin de la définition de passer pour un idiot et ça m'arrive au moins 2 fois par semaines quand je m'occupe de faire faire leur devoir aux gamins dont je garde l'étude.

a/bc c'est bien a/b*c donc (a/b)*c.

Je suis évidemment de parti pris mais je trouve vraiment l'acceptation a/bc= a/(bc) plus élégante et pour écrire (a/b)*c j'utiliserai la méthode de Richard ac/b ce qui offre deux équations différentes sans avoir recours au parenthèses, alors que la version "ordonnée" est un peu lourdingue ac/b=a/bc au choix et parenthèse obligatoires pour a/(bc).
Je n'ai pas la moindre idée de ce qu'est une classe d'équivalence, je me suis arrêté en t° scientifique, ça a un rapport avec les matrices ?

[Raphaël]

En fait c'est surtout à cause de la distributivité que cela me gène,
selon moi
b(c+d)=bc + bd

Dans le cas qui nous intéresse:

2(1+2)= 2 + 4

Donc:

6÷2(1+2)= 6÷2 + 4= 7

Encore une réponse différente !


P.S. J'avoue que j'ai triché un peu.

[Sélénite]

De toute façon, ça c'est du calcul pour faire papoter sur les forums (on va bien réussir à faire 36 pages nous autres !) car effectivement, quand les nombres représentent vraiment des valeurs qu'on cherche à calculer, on pose son calcul d'une manière plus précise.
Il y a des règles exprès pour mettre tout le monde d'accord comme pour notre exemple, le calcul de gauche à droite, et pour mettre les gens encore plus d'accord, il y a les parenthèses. Et ben là, le gars a juste été avare de parenthèses car il aurait largement pu en mettre d'autres ou des petits crochets pour faire plus joli ou poser ça sous forme de fraction...
Donc oui, je pense toujours que le résultat est 9 car je suis les règles que l'on m'a apprises. Mais si quelqu'un trouve 1 selon des règles un peu moins logiques mais sûrement valables aussi, c'est OK. Finalement, le plus embêté dans l'histoire, c'est le gars qui ne sait pas écrire une opération de manière claire et tant pis pour lui si chacun y trouve ce qu'il veut.

[Sélénite]

2 poules pondent 2 oeufs en 2 jours. Combien d'oeufs pondent 10 poules en 10 jours ?
Une poule et demie pond un oeuf et demi en un jour et demi.
Combien d'oeufs pondent 9 poules en 9 jours ?

[Etienne Beauman]

Salut à Raphaêl et Sélénite,

P.S. J'avoue que j'ai triché un peu.

Un peu beucoup...

Mais si quelqu'un trouve 1 selon des règles un peu moins logiques

Ce sont deux conventions différentes, il y en a pas une plus logique que l'autre.
En logique numérique 1+1=1 (lire un et un)
mais c'est pas plus ou moins logique que 1+1=2 (lire 1 plus 1)

pour les poules,
n=ab/c
n= nombres d’œufs sur la période demandée.
a : nombre de poules.
b : nombre de jours.
c : fréquence de ponte.

10*10/2=50
9*9/1.5=54