Probabilités...

[Lazarus Mirages]

Le hasard, la chance, les coïncidences sont rarement ce que l'on croit.
Quelques notions de probabilités suffisent souvent à nous éclairer.
Cette semaine, je vous propose une expérience ludique qui devrait vous surprendre...

http://www.lazarus-mirages.net/portes

N'hésitez pas à en débattre...

[olivaw]

Noir c'est noir !

[knave]

Dire que la première fois que j'ai eu connaisance de ce test, j'avais un mal de chien à comprendre pourquoi mes chances étaient de 66% au lieu de 50%, misère!

[johnmar]

Ce soir j'irai toquer chez mon voisin pour vérifier si ma femme y est ! Tres bonne expérience merci Lazarus

[Denis]

Salut Lazarus,

Amusant, ce fameux paradoxe des trois portes, que tu expliques très bien.

Personnellement, je lui préfère celui des deux enveloppes, que je trouve plus... eux... paradoxal.

On te montre deux enveloppes qui contiennent chacune un lot en argent. On t'informe qu'un de ces lots est 10 fois plus gros que l'autre, puis on t'invite à choisir une enveloppe. Si on t'offre de changer ton choix, tu n'as aucune raison de le faire puisque tu as choisi à l'aveuglette : le premier choix vaut bien le second, par symétrie.

Puis on t'invite à ouvrir l'enveloppe que tu as tirée et à observer combien elle t'a rapporté. Supposons que tu y trouves 100 €.

Le jeu n'est pas fini. On t'offre de nouveau le choix entre conserver ton enveloppe (i.e. gagner 100 €) ou prendre plutôt l'autre enveloppe.

Si tu décides de garder ton premier choix, c'est simple : tu reçois 100 € à coup sûr.

Or, puisque tu as choisi ton enveloppe à l'aveuglette, il y a une chance sur deux que tu aies tiré le petit lot (et une chance sur deux que tu aies tiré le gros). Autrement dit, il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 10 € et une chance sur deux qu'elle contienne 1000 €. En moyenne (espérance mathématique), l'autre enveloppe contient donc 505 €. Il est donc clairement préférable de changer d'enveloppe car elle vaut (en moyenne) plus de 5 fois plus que la première.

Remarquons que ce raisonnement tient quel que soit le montant X contenu dans l'enveloppe que tu as ouverte. L'autre enveloppe a une chance sur deux de valoir X/10 et une chance sur deux de valoir 10X. En moyenne, elle vaut 5.05X, et il est clairement avantageux de changer d'enveloppe.

Paradoxe : Puisque quel que soit le montant X observé (dans l'enveloppe ouverte) il est avantageux de changer d'enveloppe, comment se fait-il que cette décision (de changer ou non) soit indifférente avant d'ouvrir l'enveloppe?

Denis

[Etienne Beauman]

Paradoxe : Puisque quel que soit le montant X observé (dans l'enveloppe ouverte) il est avantageux de changer d'enveloppe, comment se fait-il que cette décision (de changer ou non) soit indifférente avant d'ouvrir l'enveloppe?

Je ne suis pas d'accord avec ta formulation, il n'est pas forcément avantageux de choisir la seconde enveloppe.
La première partie du jeu est gratuite ! On a rien à perdre, on gagne ce qui il y a dans une des enveloppe, la seconde est payante et le prix d'entré c'est le montant de la première enveloppe.
A partir d'un certain montant subjectif dépendant de combien on est prêt à perdre, le choix n'est plus du tout le même.
A l'extrême, personne n'hésitera à rejouer dix centimes pour gagner un euro, mais il faut être complétement squiz pour remettre en jeu 1 milliard d'euros avec une chance sur deux de perdre la quasi-totalité de la somme, quoiqu'en dise l'espérance de gain.
Le prix d'entrée est un facteur non négligeable : si c'est trop cher on ne doit pas jouer.

[Hallucigenia]

Salut Denis,

Amusant, ce fameux paradoxe des trois portes, que tu expliques très bien.

ÀMHA, le jeu des trois portes est encore mieux expliqué par notre président, Louis Dubé, dans cet article sur le site de Cortex. Le fait d'étendre le problème à 1000 boîtes au lieu de 3 est particulièrement éclairant.



Amicalement,
Hallu

[Etienne Beauman]

Ce soir j'irai toquer chez mon voisin pour vérifier si ma femme y est ! Tres bonne expérience merci Lazarus

Wouhou !

[Damien26]

Paradoxe : Puisque quel que soit le montant X observé (dans l'enveloppe ouverte) il est avantageux de changer d'enveloppe, comment se fait-il que cette décision (de changer ou non) soit indifférente avant d'ouvrir l'enveloppe?

Je ne vois pas le paradoxe. Si on compare un joueur qui change tout le temps et un qui ne change jamais, en moyenne, pour les mêmes jeux, leurs gains seront équivalents.

[Cogite Stibon]

Salut Lazarus,

Amusant, ce fameux paradoxe des trois portes, que tu expliques très bien.

Personnellement, je lui préfère celui des deux enveloppes, que je trouve plus... eux... paradoxal.

On te montre deux enveloppes qui contiennent chacune un lot en argent. On t'informe qu'un de ces lots est 10 fois plus gros que l'autre, puis on t'invite à choisir une enveloppe. Si on t'offre de changer ton choix, tu n'as aucune raison de le faire puisque tu as choisi à l'aveuglette : le premier choix vaut bien le second, par symétrie.

Puis on t'invite à ouvrir l'enveloppe que tu as tirée et à observer combien elle t'a rapporté. Supposons que tu y trouves 100 €.

Le jeu n'est pas fini. On t'offre de nouveau le choix entre conserver ton enveloppe (i.e. gagner 100 €) ou prendre plutôt l'autre enveloppe.

Si tu décides de garder ton premier choix, c'est simple : tu reçois 100 € à coup sûr.

Or, puisque tu as choisi ton enveloppe à l'aveuglette, il y a une chance sur deux que tu aies tiré le petit lot (et une chance sur deux que tu aies tiré le gros). Autrement dit, il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 10 € et une chance sur deux qu'elle contienne 1000 €. En moyenne (espérance mathématique), l'autre enveloppe contient donc 505 €. Il est donc clairement préférable de changer d'enveloppe car elle vaut (en moyenne) plus de 5 fois plus que la première.

Remarquons que ce raisonnement tient quel que soit le montant X contenu dans l'enveloppe que tu as ouverte. L'autre enveloppe a une chance sur deux de valoir X/10 et une chance sur deux de valoir 10X. En moyenne, elle vaut 5.05X, et il est clairement avantageux de changer d'enveloppe.

Paradoxe : Puisque quel que soit le montant X observé (dans l'enveloppe ouverte) il est avantageux de changer d'enveloppe, comment se fait-il que cette décision (de changer ou non) soit indifférente avant d'ouvrir l'enveloppe?

Denis

La moyenne (espérance mathématique), dans ce cas là, ne se produit jamais. Dire qu'il est avantageux de changer d'enveloppe sur la base de cette espérance me semble erroné.

Le même raisonnement peut s'appliquer même si on n'ouvre pas l'enveloppe :
Je choisis une enveloppe. Elle contient une somme X, que je ne connais pas. Si je conserve l'enveloppe, je gagne X. Si je change d'enveloppe, je gagne soit X/10, soit 10X, dont une espérance de 5,05X. Il m'est donc avantageux de changer d'enveloppe... Puis de changer à nouveau... Puis de changer encore... etc.

[Dave]

Bonjour Denis.

Très intéressant ce paradoxe. Je crois que le paradoxe de l’enveloppe provient d’un mauvais raisonnement. Il faudrait plutôt dire que l’enveloppe pigée (que l’on connaisse le montant ou non) a une chance sur deux d’avoir le plus grand montant et une chance sur deux d’avoir le plus petit montant. Si on a pigé le plus grand montant (respectivement le plus petit), on a 100 % des chances que l’autre enveloppe contienne le plus petit montant (respectivement le plus grand montant).

Il n’y a que deux valeurs possibles, alors que dans le raisonnement d’origine, on en fait intervenir trois (10, 100, 1000). Ça demeure tout de même une explication partielle, à mon avis.

[Wooden Ali]

En moyenne (espérance mathématique), l'autre enveloppe contient donc 505 €

C'est là que le paradoxe s'écroule : la deuxième enveloppe contiendra 10 ou 1000€. Point final. Connaitre la valeur du premier tirage ne change rien d'autre que de savoir si le jeu en "vaut la chandelle", comme l'a souligné Etienne Beauman. La moyenne n'est qu'une fonction linéaire de cette valeur et des données du problème et n'est donc pas plus pertinente pour faire un meilleur choix.

Cela ne changerait quelque chose que dans le cas trivial où le contenu de la première enveloppe indiquait de façon certaine qu'elle ne pouvait être que la somme la plus basse (dans l'exemple utilisé, si elle contenait 9€ par exemple) ou la plus haute (non divisible par 10)*

Pendant tout le jeu le probléme reste strictement le même : on a deux enveloppes contenant des sommes différentes sans aucune autre indication pertinente pour faire le meilleur choix. La probabilité de décrocher le jackpot reste la même : 1/2




* en supposant que l'euro était l'unité indivisible

[MadLuke]

ça semble très discuté en profondeur sur la page anglaise de wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

[Denis]

Salut MadLuke,

Merci pour la référence. Elle montre que le paradoxe des deux enveloppes est plus corsé que le pensent ceux qui pensent qu'il n'est pas corsé du tout. J'aurais peut-être dû le présenter avec un rapport de 2 (plutôt que 10).

Un autre petit paradoxe amusant est "la bataille des sexes" (ou le dilemme des prisonniers) que j'ai déjà présenté ici.

J'aime aussi le paradoxe du "combat des dés" :



Si on fait se "battre" les dés Rouge et Jaune, Rouge va gagner (i.e. sortir un plus gros résultat) 2 fois sur 3. Il est donc naturel de dire que "Rouge est plus fort que Jaune".

Dans les mêmes conditions, Jaune est plus fort que Blanc (il le bat 2 fois sur 3) et Blanc est plus fort que Noir (encore 2 fois sur 3).

Puisque Rouge est plus fort que Jaune, qui est plus fort que Blanc, qui est plus fort que Noir, on s'attend (naïvement) à ce que Rouge soit beaucoup plus fort que Noir.

Or c'est le contraire : c'est Noir qui bat Rouge 2 fois sur 3, et la boucle est bouclée.

Si on trouve un pigeon, on peut lui proposer des paris en argent en lui offrant le premier choix du dé.

Denis

[MadLuke]

Si j'ai bien compris on fait des erreurs par habitudes de raisonnement (utilise une moyenne pour un évènement unique et utilise deux fois la même variable pour représenter deux choses différentes).

[Etienne Beauman]

J'aurais peut-être dû le présenter avec un rapport de 2 (plutôt que 10)

Ça ne changerai rien par rapport à mon objection :
le choix de la première enveloppe est un jeu à espérance de gain gratuit avec une probabilité de gain de 100%
Le choix de la seconde enveloppe est un jeu à espérance de gain payant avec une probabilité de gain variable et de réelles possibilités de perdre une partie de sa mise.
Si je te propose de miser pour toi au casino sur le 17 avec mon argent et te donner les gains tu as autant de chance de gagner que si tu mises toi même.
Tu serais idiot de refuser mon offre qui est gratuite (quoique fictive) tandis que jouer de ton côté implique que tu peux perdre ta mise ce qui change tout.
C'est en négligeant ce détail qu'on crée le paradoxe.

[Damien26]

Dans les mêmes conditions, Jaune est plus fort que Blanc (il le bat 2 fois sur 3) et Blanc est plus fort que Noir (encore 2 fois sur 3)[/size

Salut Denis
Je vois Jaune battre Blanc 5 fois sur 6, et Blanc battre Noir 5 fois sur 6 également.
Damien

[spin-up]

Ça ne changerai rien par rapport à mon objection :
le choix de la première enveloppe est un jeu à espérance de gain gratuit avec une probabilité de gain de 100%
Le choix de la seconde enveloppe est un jeu à espérance de gain payant avec une probabilité de gain variable et de réelles possibilités de perdre une partie de sa mise.
Si je te propose de miser pour toi au casino sur le 17 avec mon argent et te donner les gains tu as autant de chance de gagner que si tu mises toi même.
Tu serais idiot de refuser mon offre qui est gratuite (quoique fictive) tandis que jouer de ton côté implique que tu peux perdre ta mise ce qui change tout.
C'est en négligeant ce détail qu'on crée le paradoxe.

Je dirais que le bon sens te donne raison mais que les mathematiques te donnent tort. Et ca parce que le probleme n'est pas de calculer une esperance mathematiques ou une chance de gagner, mais bien de definir ce qu'est un choix avantageux.
En fait, Etienne ton choix est de celui de ne pas miser d'argent dans un jeu de hasard, meme si celui ci est mathematiquement avantageux pour toi.

Un exemple basique, comparons 2 jeux de hasard :
1)Tu mises 10 000$ avec une chance sur deux de gagner 50 000$. Si tu joues l'esperance est de 30 000$.
2)Tu mises 10 000$ avec neuf chance sur dix de gagner 15 000$. Si tu joues l'esperance est de 12 500$.
J'ai mis volontairement des mises importantes pour souligner le facteur de risque (on ne peut pas rejouer a l'infini pour se refaire).

Le premier jeu est mathematiquement plus avantageux. Avec la meme mise a chaque fois on va gagner plus vite de l'argent.
Le deuxieme jeux offre le plus de chance de gagner sur un tirage. Moins risqué, moins d'incertitude.
Mais si on me forcait a jouer cette somme dont la perte me causerait de serieux problemes sur un de ces deux jeux, je choisirais le 2eme, car le risque de perte ets plus faible.
Et si on me laissait le choix, je repartirais mettre mes 10000$ a la banque.

[Wooden Ali]

le choix de la première enveloppe est un jeu à espérance de gain gratuit avec une probabilité de gain de 100%
Le choix de la seconde enveloppe est un jeu à espérance de gain payant avec une probabilité de gain variable et de réelles possibilités de perdre une partie de sa mise.

Pour pinailler, je dirais plutôt :
le choix de la première enveloppe est un jeu à espérance de gain gratuit avec une probabilité de gain de 100%
Le choix de la seconde enveloppe est un jeu à espérance de gain payant avec la même probabilité (1/2) de décupler sa mise ou de la diviser par 10.

Mais ça ne change rien au fait que cette présentation logique et exacte du jeu est suffisante pour définir complètement les enjeux et les gains et pertes potentielles. Le fait qu'il soit payant ou non ne change d'ailleurs rien au choix de la deuxième enveloppe qui se réduit toujours à un simple jeu de pile ou face, qu'on n'ait ouvert ou non la première.

On pourrait d'ailleurs reformuler le jeu de la manière suivante avec une seule enveloppe :
-Je te donne 100€
-Il y a dans cette enveloppe 10 ou 1000€
-tu peux :
-garder les 100 euros
- me les rendre, ouvrir l'enveloppe et garder ce qu'il y a dedans.

Qui fait mieux apparaitre qu'il ne s'agit que d'un simple jeu de pile ou face avec mise et gains variables.

Si tu ne vois, Denis, comme je le pense, aucune erreur dans ce raisonnement, on peut dire que les conclusions sont justes et donc uniques.
On peut en déduire que toute autre présentation du problème qui aboutirait à une conclusion différente serait nécessairement fausse.
En fait, donc il n'y a pas un réel paradoxe, mais une présentation erronée d'un problème simple due au non respect des règles qui régissent le calcul des probabilités.

Les paradoxes sont intéressants quand il n'y a pas de solutions simples et inattaquables aux problèmes, i. e. quand il s'agit d'une confrontation intuition- raisonnement sophistiqué mais faux. Ce n'est pas le cas de celui des deux enveloppes où on peut le résoudre parfaitement avec des outils très simples.

[Etienne Beauman]

Salut les tatillons,

La question de Denis est
Puisque quel que soit le montant X observé (dans l'enveloppe ouverte) il est avantageux de changer d'enveloppe, comment se fait-il que cette décision (de changer ou non) soit indifférente avant d'ouvrir l'enveloppe ?

Il faut donc prendre en compte les deux phases du jeu si on veut voir le paradoxe, car Denis voit un paradoxe dans le fait que l'espoir de gain change dès qu'on a gagné le montant de la première enveloppe.
Et mathématiquement c'est pourtant limpide : au départ j'ai 0 euros, dès que je gagne quelque chose, on change obligatoirement complétement de modèle de référence.
On doit en tenir compte sinon on voit des paradoxes. Denis à chiffrer l'espoir de gain de la phase 1 à la phase 2. C'est un espoir de gain partiel et trompeur car il prend en compte ce qu'on a déjà gagné. S'il ne le faisait pas pour comparer rigoureusement les espoir de gains totaux avant après il se rendrait compte qu'il a, comme le dit Wooden, une chance sur deux de gagner le gros lot peu importe le nombre de manipulation que ça prend.

[Denis]

Salut Damien,

Tu dis :

Je vois Jaune battre Blanc 5 fois sur 6, et Blanc battre Noir 5 fois sur 6 également.

Non. Tu vois mal.



Lors d'un combat entre Jaune et Blanc, la seule façon pour Blanc de gagner, c'est de faire 5 pendant que Jaune fait 2. Dans les 3 autres cas (5 contre 6, 1 contre 2 ou 1 contre 6), c'est Jaune qui gagne.

Imagine 6 zillions de combats entre Jaune et Blanc. Dans (pratiquement) 4 zillions de ces combats, Jaune va faire 2. Mais seulement la moitié de ces 4 zillions de "2" feront face à un "1" (l'autre moitié affrontera un "5" et perdra le combat). Dans ces 6 zillions de combats, on observera donc la combinaison "2 contre 5" (pratiquement) 2 zillions de fois, soit 1 fois sur 3.

Puisque, (en faisant "5 contre 2"), Blanc bat Jaune 1 fois sur 3, il suit que l'événement complémentaire (Jaune bat Blanc) se produit 2 fois sur 3.

Une autre façon de voir l'affaire, c'est de tracer une grille 6x6 des 36 cas possibles (équiprobables). Le dé jaune choisit la rangée et Blanc choisit la colonne. Dans les 36 cases on indique (J ou B) quel dé gagne :

Code : Tout sélectionner

      1   1   1   5   5   5

2     J   J   J   B   B   B
2     J   J   J   B   B   B
2     J   J   J   B   B   B
2     J   J   J   B   B   B
6     J   J   J   J   J   J
6     J   J   J   J   J   J

On remarque que, dans le tableau à 36 cases, on a 12 fois B et 24 fois J. Jaune gagne donc 24 fois sur 36 (et Blanc gagne 1 fois sur 3).

C'est pareil pour les combats "Blanc contre Noir".

La meilleure preuve n'est pas nécessairement la plus courte, ni la plus élégante. C'est plutôt celle où l'on voit le mieux qu'on ne se trompe pas. Si les deux que je viens de te fournir ne te convainquent pas, je pourrai peut-être en trouver une troisième.

...mais je ne garantis rien.

Denis

[Etienne Beauman]

Puisque Rouge est plus fort que Jaune, qui est plus fort que Blanc, qui est plus fort que Noir, on s'attend (naïvement) à ce que Rouge soit beaucoup plus fort que Noir.

Ou pas.
Tous les gosses jouent à pierre, papier, ciseau et le "paradoxe" ne choque personne.
C'est la base des système de balance qu'on voit dans la plupart des rts pour équilibrer les factions par exemple : les archers sont plus forts que les fantassins qui sont plus fort que les cavaliers qui sont plus fort que les archers ou aussi pour équilibrer les pouvoirs dans les cards game.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Magic_:_l% ... s_de_magie

[Denis]

Salut Étienne,

Tu dis :

Tous les gosses jouent à pierre, papier, ciseau et le "paradoxe" ne choque personne.

Tu as raison. Les combats des dés sont plus une amusette qu'un gros paradoxe susceptible de déchirer l'espace-temps.

Son principal mérite est de nous montrer que même si la relation "plus fort que" est presque toujours transitive, elle ne l'est pas toujours.

Par exemple, si Mike Tyson est plus fort que moi, qui suis plus fort que ma chatte, qui est plus forte qu'une souris, on s'attend bien que Mike Tyson sera beaucoup beaucoup plus fort que la souris.

Pour montrer que la relation "plus fort que" n'est pas toujours transitive, l'exemple des 4 dés est quand même plus éloquent que celui de pierre-papier-ciseau puisque tous les combats sont de même nature (le dé gagnant est celui qui sort le plus gros nombre), avec des règles identiques.

Mais j'admets que c'est plus une simple "contrintuivité" qu'un paradoxe en bonne et due forme.

S'il ne t'a pas amusé, je me console en supposant qu'il en a peut-être amusé d'autres.

Denis

[Etienne Beauman]

En fait, Etienne ton choix est de celui de ne pas miser d'argent dans un jeu de hasard, même si celui ci est mathématiquement avantageux pour toi.

Pas forcément, je dis que ça dépend du prix d'entré dans le jeu.
L'espoir de gain n'est pertinent pour prendre une décision que si on considère qu'on va pouvoir refaire les mêmes actions et qu'à long terme on finira par être gagnant, sur un one shoot ce qui est avantageux c'est un gros gain pour une petite mise genre un loto, c'est pas idiot d'en faire un ou deux dans l'année, jouer tous les semaines c'est autre chose, l'espoir de gain est trop faible.
De plus avantageux ça veut dire quoi ?
Je vais donner un exemple extrême on propose 1 million de dollars à quelqu'un pour un essai à la roulette russe, 5 chance sur 6 d'être millionnaire une de mourir.
Il y aurait sans doute des candidats pour penser que cela vaut le coup et trouver l'espoir de gain avantageux, mais s'il gagne combien accepterait de rejouer dans les mêmes conditions ?
Gagner 1 million de dollars c'est pas du tout pareil quand on est fauché que quand on a déjà 1 million de dollars, c'est bien de cela qu'il est question dans le paradoxe de Denis après la première enveloppe mon état initial a changé, il n'est donc pas paradoxal que l'espoir de gain change lui aussi, c'est même plutôt logique.

[MadLuke]

Ce qui rends les calculs de probabilités (surtout dans les jeux dans lequel tu joues juste une fois) c'est que la valeur de l'argent est loin d'être linéaire.

Le premier 500 000$ vaudra plus que le 2ième pour bien des gens.

1 000 000$ ne vaudra pas 10 fois 100 000 et 10 000 vaudras plus que 20 fois 50$ (qui ne vaudra rien pour le participant) et ainsi de suite. En plus d'être changeante d'une personne à l'autre.