Alors on va y causer cosmologie
, cosmologie "réel" avec une description théorique qui existe j'entends 
.Dans un espace on utilise une métrique pour décrire la distance entre deux points :
\({\rm d}s^2 = c^2{\rm d}t^2 - a(t)^2 {\rm d}r^2\)
où \({\rm d}s\) est la 4-distance, \({\rm d}t\) un intervalle de temps, \({\rm d}r\) la distance spatiale et \(a(t)\) le facteur d'échelle de l'Univers.
Etudier la dynamique de l'univers, revient à exprimer l'evolution de \(a(t)\).
La RG conduit à une équation bien connue qui peut-être perçu comme l'expression de la conservation de l'énergie à l'échelle de l'Univers
\(H^2 = \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \sum_i \frac{8 \pi G}{3 c^2}\rho_i (t)\)
Avec \(H\), le taux d'expansion de l'univers et les \(\rho_i\) qui sont les densités d'énergie des différents fluides peuplant l'Univers
Chacun de ces fluides respecte lui aussi la conservation de l'énergie
\({\rm d}E = -P{\rm d}V\)
avec \(E = \rho a^3\) l'énergie, \(P\) la pression et \(V = a^3\) le volume
On en déduit
\({\rm d}\rho = -3(\rho %2b P)\frac{{\rm d}a}{a}\)
On relie la pression à la densité via l'équation d'état du fluide \(w = P/\rho\)
\(\frac{{\rm d}\rho}{\rho} = -3(1 %2b w)\frac{{\rm d}a}{a}\)
Ce qui s'intègre aisément
\(\frac{\rho (t)}{\rho(0)}} = \left( \frac{a(t)}{a(0)} \right)^{-3(1 %2b w)}\)
On possède maintenant l'expression de l'évolution des différents fluide en fonction du facteur d'échelle.
On a alors
\(\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \sum_i \left( \frac{a(t)}{a(0)} \right)^{-3(1 %2b w_i)} \rho_i (0)\)
Si l'on dérive cette expression par rapport au temps
\(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} = -\frac{4 \pi G}{3 c^2} \sum_i (1 %2b 3 w_i)\left( \frac{a(t)}{a(0)} \right)^{-(1 %2b 3 w_i)} \rho_i (0)\)
Qui est donc la dérivée seconde du facteur d'échelle en fonction du temps !
On constate alors que l'impacte d'un fluide sur l'expansion, dépend de son équation d'état \(w\) :
-->Pour de la matière non relativiste (\(E_c\) << \(E_m\)) : \(w = 0\)
-->Pour de la matière relativiste (\(E_c\) >> \(E_m\)) : \(w = 1/3\)
-->Pour de la matière en générale : \(w = \frac{\gamma-1}{3\gamma}\) (avec \(\gamma = \left( 1 - \beta^2 \right)^{-1/2}\) et \(\beta = v/c\))
-->Pour de la courbure : \(w = -1/3\)
-->Pour un constante cosmologique : \(w = -1\)
-->Pour un champs scalaire : \(w = \frac{T-V}{T %2b V}\) (avec \(T\) et \(V\) les énergie cinétique et potentiel du champs scalaire.)
(Pour la démonstration de ces grandeur, un petit passage par la TQC s'impose, ce qui far beyond le scope de cette intro
)On observe alors que
-->La matière relativiste où non ralentit l'expansion (\(\ddot{a} < 0\))
-->La courbure agit comme un offset sur la vitesse d'expansion, mais ne la modifie pas au cours du temps (\(\ddot{a} = 0\))
-->Si \(w < -1/3\) alors \(\ddot{a} > 0\), l'expansion est accéléré. Ceci peut-être produit pas un champs scalaire ( \(T << V\)), où une constante cosmo
On peut aussi définir les densité d'énergie normalisé \(\Omega_i (t) = \frac{8 \pi G}{3 H^2 c^2}\rho_i (t)\) :
\(\Omega_m\) : la densité de matière totale non-relativiste
\(\Omega_r\) : la densité de rayonnement (matière relativiste)
\(\Omega_\lambda\) : la densité d'énergie sombre (champs scalaire où constante cosmo)
\(\Omega_k\) : la densité de courbure
Par construction : \(\sum_i \Omega_i = 1\).
On définit aussi \(H_0\) la valeur de \(H\) aujourd'hui.
Une autre question qui peut se poser, c'est de savoir comment évolue l'énergie d'un photon au cours de l'expansion.
La densité de rayonnement évolue comme :
\(\frac{\rho_r (t)}{\rho_r(0)} = \left( \frac{a(t)}{a(0)} \right)^{-3(1 %2b w_r)}\)
\(\frac{\rho_r (t)}{\rho_r(0)} = \left( \frac{a(t)}{a(0)} \right)^{-4}\)
L'énergie des photons \(E_\gamma = \rho_r a^3\) évolue alors comme \(E_\gamma (t) = \frac{a(0)}{a(t)} E_0\), avec \(E_0\) l'énergie aujourd'hui.
Cette perte d'énergie est mesurée par le "redshift", \(z\) : \(E_\gamma = (1 %2b z) E_0\).
On établi alors la relation entre redshift et facteur d'échelle : \(1 %2b z = \frac{a(0)}{a(t)}\).
Nous connaissons alors comment exprimer la dynamique de l'expansion ! On peut à partir d'ici déduire, l'age et la taille de l'Univers.
L'age de l'univers est aisément déterminé en intégrant sur le temps passé
\(t_0 = \int {\rm d}t\)
qui s'exprime en fonction du facteur d'échelle
\(t_0 = \int \frac{1}{\dot{a}}{\rm d}a\)
puis du taux d'expansion
\(t_0 = \int \frac{1}{aH}{\rm d}a\)
Et enfin du redshift
\(t_0 = \int \frac{1}{(1 %2b z)H}{\rm d}z\)
De même on peut calculer la taille de l'univers (en coordonnées comobile)
\(D_{\rm com} = \int \frac{1}{a}{\rm d}x\)
Le facteur \(1/a\) corrige de l'expansion ! En effet une distance \({\rm d}x\) dans le passé est aujourd'hui une distance \({\rm d}x/a\) du fait de l'expansion.
\(D_{\rm com} = \int \frac{c}{a}{\rm d}t\)
et donc
\(D_{\rm com} = \int \frac{1}{H}{\rm d}z\).
Cependant en cosmo, on peut définir plusieurs distance, comobile, luminosité et angulaire, qui sont reliées par les relations suivantes :
\((1 %2b z)^2 D_{\rm ang} = (1 %2b z) D_{\rm com} = D_{\rm lum}\)
En effet, la luminosité évolue en \(1/D^2\), mais du fait de l'expansion, l'énergie est dilué par un facteur \(1 %2b z\) et la densité de photons sur la ligne de visée par un facteur \(1 %2b z\).
De même pour la taille angulaire, du fait de l'expansion, les photons sont "écartés" sur la ligne de visée, ainsi un objets parait plus gros qu'il n'est d'un facteur \(1 %2b z\).
Ce qui abouti au précédente relations !
Voilà ... c'est tout pour cette brève introduction à la dynamique de l'univers.
A plus,
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