Etienne Beauman a écrit : Sinon doutes tu encore que tous les A sont B implique certains A sont B ?
Ça dépend...
Je pense que tu confonds deux utilisations subtiles, mais différentes des concepts auxquels réfèrent les mots « certains » et « quelques ».
Si « certains » est utilisé pour désigner approximativement des ordres de grandeur (nombre d'éléments qu'on ne
compte pas, un par un), oui! C'est évident que « le tout contient ses propres parties » et donc que tous les
A (
présents ou désignés) sont
B implique que certains
A (
tous les
A présent ou désigné par « certains », parce que non-comptés) sont
B.
Sauf que c'est valide uniquement lorsque les mots « certains » ou « quelques » servent à désigner l'ensemble (donc
le « tout ») des éléments présents, sans les compter (et que
le contexte permet de discerner les éléments concernés par un groupe évoqué). Mais avec la formalisation mathématique, on ne le sais pas!!
Exemple : «
regarde, il y a quelques oiseaux sur cette île, là-bas! » Ce qui veut dire que «
tous les quelques » oiseaux (
nombre inconnu) que
je te montre sont sur cette île. C'est valide uniquement parce que dans le langage naturel le contexte fait parfois de ces mots des synonymes de « tous » les éléments concernés, désignés, montrés, pointés, etc. (et qu'on les discerne naturellement). Dans ces circonstances, nous n'avons
pas besoin de trouver de quels éléments/ensembles il s'agit!
Mais aussi, dans le langage naturel, ces deux mots servent également à désigner que tous les éléments d'un groupe (qui est connue) ne sont
pas tous concernés ou qu'il y en a plus d'un (comme en math j'imagine).
Exemple : «
est-ce que tous les invités sont arrivés? Non, certains seulement! » Lorsqu'ils seront tous arrivés, le mot « certains » n'a plus rapport, plus de sens et n'a plus aucune fonction ou utilité, car il sert expressément à désigner autre chose qu’« aucun » ou « tous » (ou un seul).
Je ne connais pas les règles de la formalisation mathématique concernant les symboles qui désignent « quelques » et « certains », mais j'ai la nette impression qu'en mathématique/logique, ils n’ont de sens que par rapport aux termes « tout » et « rien » et que de les utiliser comme on peut le faire dans le langage naturel (ou «courant ») n'est pas approprié du tout. Surtout que la seule chose qui nous permet de discerner les ensembles des uns des autres (ce qui fait alors office de « contexte » dans ce langage) n’est que les relations logiques qui s'établissent de par « l'antinomie » ou le « contraste » des différents symboles/termes utilisés.
À moins que les symboles qui désignent « certains » ou « quelques », en mathématiques, permettent de considérer d'emblée qu'il n'y ait qu'une seule unité ou bien la totalité ou aucun? Mais j'en doute fortement (euphémisme). Parce que contrairement à la vie courante et son langage naturel, il n'y a pas de contexte dans une formalisation simple de type :
A∩
B C'est seulement en adjoignant d'autre donnée différente qu'on va pouvoir déduire de possibles relations/implications, etc.
Ta formulation reviendrais à dire que :
∀A∩
B est égal à
A∩
B À tous le moins, ça me paraît inutile. Pourquoi être moins précis par la suite alors qu'on précise que tous les
A « s'intersectionnent » avec
B? (
Note : je ne sais pas si l'on peut utiliser le symbole de la quantification universelle « pour tout » comme je l'ai fait, mais tu comprends l'idée j'imagine.)
Si l'on applique ta formulation dans la vie courante, ça pourrait produire ce genre de truc...
Si toi et ta conjointe déposer chacun 100$/semaines dans votre compte conjoint et que tu lui dis un jour que tu as retiré et dépensé « quelques dollars », je t'imagine la claque en pleine gueule que tu va recevoir lorsqu'elle s'apercevra que tu as tout retiré/dépensé tout en lui disant que toutes vos économies impliquaient « certaines/quelques » et que tu ne lui as donc pas menti!
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)
