Invité a écrit :groucho_max a écrit :Ça voudrait dure qu'une quantité finie de peinture peut couvrir une surface infinie.
Ce sont les "miracles" generes par la notion de 'limite'. Amen.
Je ne sais pas trop.
Me si me si. La trouvaille de Torricelli est une version geometrique des phenomenes lies aux series. En gros, l'"infinitude" de la section de la Trompette a comme consequence la non-convergence de la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n}}$$*, cad de 1 + 1/2 + 1/3 + ..., alors que la "finitude" du volume de la Trompette est une consequence de la convergence de la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^2}}$$*, cad de 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... qui est la (fameuse) serie d'Euler. Ainsi, la Trompette de Gabriel a un volume fini, mais une aire exterieure et une section interne infinies. Si on imagine que la Trompette est un recipient, on est alors tente d'affirmer que l'on peut remplir son interieur avec de la peinture, mais qu'on ne peut en peindre l'exterieur (version "serielle": on peut manger un gateau en entier mais pas en tranches). Ce "paradoxe" decoule en fait d'une conception excessivement ingenue de l'infini, cad de l'idee qu'une serie infinie ou qu'une integrale "illimitee" doivent necessairement etre infinis. Les theoremes de (non-)convergence montrent tres clairement que tout ceci est beaucoup plus subtil: une serie ou une integrale "illimitee" peuvent converger, si les termes ou les valeurs de la fonction deviennent toujours plus petits [putain, que c'est mal dit!
[NDLR]]. Mais cette condition est seulement necessaire (elle n'est pas suffisante). Bref, l'objet 'limite' est ici central.
Si l'épaisseur de la peinture qui couvre la surface infinie tend vers zéro, je pense que le volume de cette peinture est indéfinie plutôt que de converger vers un nombre précis (en l'occurence ici PI).
Me non.
Quelques considerations:
1) le volume couvert par la surface 'Trompette de Gabriel' est fini (c'est pi dans le cas de la trompette modele '1/x tronque').
2) la quantite de peinture (factice!) qui servira a couvrir l'aire de la Trompette n'est pas "indefinie" (terme qui a un sens technique - et meme plusieurs - qui ne s'applique pas ici: il s'applique par exemple a un 'processus d'integration', pas a un nombre, meme si ce dernier est un "pseudo-nombre" comme celui introduit lors de la compactification usuelle - = pour les besoins de l'integrabilite au sens de Riemann - de R). Elle est 'arbitraire' (mais > 0). C'est peut-etre ce que tu voulais dire.
3) dans R (ou R^n ou un sous-ensemble de R) tu peux "diluer", "deformer" les choses un peu comme un pizzaiolo vicelard qui deciderait d'applatir sa brique de pate a pizza avec son rouleau a pate jusqu'a ce que celle-ci atteigne progressivement une epaisseur infinitesimale qui lui permettra d'abord de couvrir son plan de travail puis un plan infini (= R^2) tout entier. C'est lie entre autres a la completude de R et a sa topologie.
4) les "facteurs" de croissance ou de decroissance des series associees aux sous-objets de ta Trompette (volume, aire, section truc, section machin, ...) ne sont pas les memes (cf. 5)).
5) insere ici ce que j'ai ecrit juste apres ton "Je ne sais pas trop.".
6) eviter les considerations physiques "terre-a-terre" lorsqu'on a affaire a des objets strictement mathematiques: c'est inopportun et, a fortiori, superfetatoire (et inversement).
Conclusion? La quantite de peinture que tu utiliseras pour couvrir ta Trompette est arbitraire (elle peut donc etre finie) bien que l'aire de cette derniere soit infinie. Et y'a pas de paradoxe.
Parler de la quantité de peinture pour remplir et de la quantité pour couvrir c'est peut-être ça qui nous mène à un problème qui est mal définie et à un paradoxe. Les deux quantités (remplir et couvrir) ne me semblent pas de même nature.
Bof. Un ami explique ce "paradoxe" a ses etudiants en leur disant que comparer une aire et un volume, c'est comme comparer les couilles d'un taureau en rut et le sourire de la Joconde. Soit. C'est defendable, du moins jusqu'a un certain point. J'opte plutot pour les effets nefastes induits par une approche naive (trop "intuitive") de l'infini (et des processus sous-jacents aux notions de 'limite' et de 'convergence'). Bref, le "paradoxe" de la Trompette de Salope est un peu un "paradoxe" de Zenon tubulaire. C'est ce que je suggerais au debut de ce post.
La pompe a intuition (comme dirait Dennett) que j'ai proposee dans mon precedent post devrait dissiper la plupart de ces malentendus sans etre oblige de passer obligatoirement par la case 'formalisation'.
*: c'est du LaTeX. Pour voir ce que cela donne, copier/coller ce qui est entre $$ ($$ compris) par exemple dans ce
compilateur.
groucho max
P.S.: edite pour ajouter un '^2'.
