Les objets mathématiques sont-ils découverts ou inventés ?

[Denis]

Salut Raphy,

Tu dis :

Concret ou abstrait ? Découvert ou inventé ?
(...)
Ce n'est pas toujours possible de trancher avec certitude.

Dans le cas particulier qui nous occupe, faut pas négliger l'opposition "réel ou irréel".

Si ce n'est pas une réalité, c'est quoi? Une illusion?

C'est un des antonymes (de "réalité") listés ici.

• abstraction, allégorie, apparence, attrape, bluff, chimère, conte, duperie, erreur, éventualité, façade, fantasme, fantôme, fausseté, fiction, figure, forme, hallucination, idéal, idéalité, idée, illusion, image, imagination, invention, irréalité, mensonge, mirage, mystification, mythe, néant, non-être, ombre, possibilité, possible, rêve, rêverie, songe, utopie, vision.

J'ai l'impression que les constructivistes opposent réalité à abstraction ou à invention. Ça, c'est pas faux.

Mais moi, j'ai tendance à opposer réalité à néant et quand je contemple ça ou ça, je trouve que c'est au moins aussi loin du néant que l'est une pomme. D'une autre façon, mais aussi loin.

Pour moi, la réalité, c'est tout ce qui n'est pas le néant et où on peut découvrit plein de choses. En particulier, plein de structures intemporelles aussi raffinées que nécessaires.

Denis

[Invité]

Yet, there is something important to be gained in regarding mathematical structures as having a reality of their own. For our individual minds are notoriously imprecise, unreliable, and inconsistent in their judgements. The precision, reliability, and consistency that are required by our scientific theories demand something beyond any one of our individual (untrustworthy) minds.

In mathematics, we find a far greater robustness than can be located in any particular mind. Does this not point to something outside ourselves, with a reality that lies beyond what each individual can achieve?...

Mathematics itself indeed seems to have a robustness that goes far beyond what any individual mathematician is capable of perceiving. Those who work in this subject, whether they are actively engaged in mathematical research or just using results that have been obtained by others, usually feel that they are merely explorers in a world that lies far beyond themselves--a world which possesses an objectivity that transcends mere opinion, be that opinion their own or the surmise of others, no matter how expert those others might be.

i.

[LoutredeMer]

Oui, parce que tu fais toi meme la confusion entre contenu et contenant ici

Non.

Salut Raphael,

Peu importent les termes : contenant-contenu comme tu l'as toi meme spécifié, signifiant-signifié, qui est dejà beaucoup plus approprié, ou information-canal, qui me semble le plus adapté.

Là ou nous ne sommes toujours pas d'accord, c'est quand tu dis plus haut : " Pour moi on découvre et on invente les objets mathématiques."

Pour moi, c'est plutot : " on découvre les objets mathématiques et on invente leur représentation".

Il me semble à cette étape, nécessaire de redéfinir l'objet mathématique, et si je me trompe, j'aimerais qu'on me le dise. Si je suis au raz des paquerettes, qu'on me le dise aussi. (mon dernier exercice de maths commence à dater..)

D'abord une définition qui me convient bien : "L'abstraction résulte de formes expressives et non de formes représentatives." https://fr.wikipedia.org/wiki/Abstraction_%28art%29

L'objet mathématique est l'expression d'une réalité mathématique, est donc abstrait, et le langage mathematique est l'outil, le canal qui concrétise cette information en une représentation.

Un exemple simple : 3 points sur une surface plane forment un triangle rectangle, et le carré de l'hypoténuse est égal a la somme des carrés des cotés. Ceci est l'objet mathématique. Il existe, et a été découvert.

a²+b²=c² représente la transcription de cette réalité mathématique par le canal écrit en langage humain au moyen d'outils tels que symboles, .. et il est arbitraire, artificiel, c'est une convention pour signifier le théorème. On aurait pu tout aussi bien écrire : 1* § 2* & 3*

Dans ce cas, le langage change mais la réalité abstraite reste la meme. Il va donc de soi que l'objet mathematique est découvert et que l'équation est inventée.

Et je ne vois pas en quoi l'objet mathématique peut etre inventé. Peux tu me donner un exemple?

.

[Raphaël]

Dans le cas particulier qui nous occupe, faut pas négliger l'opposition "réel ou irréel".

J'ai un problème avec le mot "réel" et même mon psy est incapable de m'aider.

Le réel ça pourrait être ce qui existe dans notre réalité. Et notre réalité c'est quoi ? Déjà en partant ce n'est pas clair. Il y des choses qui sont clairement réelles tandis que d'autre semblent ne l'être qu'à moitié (ex: les mathématiques). Pour compliquer les choses cette notion semble être relative: ce qui est réel pour l'un ne l'est pas forcément pour un autre. Selon le point de vue la réalité peut avoir des facettes différentes. Maintenant si je veux compliquer encore plus les choses et je suppose qu'il existe des univers parallèles, pourrait-on dire qu'ils ne sont pas réels dans notre réalité mais qu'ils le sont dans une autre ?

C'est un des antonymes (de "réalité") listés ici.

• abstraction, allégorie, apparence, attrape, bluff, chimère, (...), rêverie, songe, utopie, vision.

Il manque "virtuel" dans la liste.

Pour moi, la réalité, c'est tout ce qui n'est pas le néant et où on peut découvrit plein de choses.

C'est une définition de la réalité au sens large; c'est même trop large pour nous aider à faire la part des choses. Et le néant c'est quoi ? Est-ce relatif ou absolu ?

Bon, je m'arrête ici sinon je vais avoir besoin d'un électro-choc pour m'en remettre.

[Lulu Cypher]

J'ai l'impression que les constructivistes opposent réalité à abstraction ou à invention. Ça, c'est pas faux.

Mais moi, j'ai tendance à opposer réalité à néant et quand je contemple ça ou ça, je trouve que c'est au moins aussi loin du néant que l'est une pomme. D'une autre façon, mais aussi loin.

Pour moi, la réalité, c'est tout ce qui n'est pas le néant et où on peut découvrit plein de choses. En particulier, plein de structures intemporelles aussi raffinées que nécessaires.

Je ne suis pas certain que la position des constructivistes soit celle que tu décris.

Personnellement (et indépendamment de tout réalisme ou constructivisme) j'aurais tendance à opposer abstrait à concret[1] tous les deux appartenant à réel que j'oppose à néant.

Notre conversation, bien réelle, et quelle que soit sa représentation concrète est bien une abstraction.

-----------------------
[1] même si je peux concevoir que cette opposition ne soit pas totale et puisse représenter dans certain cas deux niveaux de conceptualisation .... de la chose .... et du cadre théorique dans laquelle elle s'exprime ... mais là j'avoue encore un certain flou

[Denis]

Salut Lulu,

Tu dis :

Personnellement (et indépendamment de tout réalisme ou constructivisme) j'aurais tendance à opposer abstrait à concret (...) tous les deux appartenant à réel que j'oppose à néant.

Nos positions sont donc pratiquement identiques.

Quand, dans l'une ou l'autre des deux composantes de la réalité (l'abstraite ou la concrète), on trouve une perle (Ex.1 - Ex.2) que personne n'avait débusquée avant nous, il est donc parfaitement légitime de parler d'une découverte.

C'est ça, le clou sous mon marteau.

Denis

[Lulu Cypher]

Salut Denis,

Personnellement (et indépendamment de tout réalisme ou constructivisme) j'aurais tendance à opposer abstrait à concret (...) tous les deux appartenant à réel que j'oppose à néant.

Nos positions sont donc pratiquement identiques.

Bien sur depuis que je me suis assuré que tu n'étais pas un "réaliste hard".

Quand, dans l'une ou l'autre des deux composantes de la réalité (l'abstraite ou la concrète), on trouve construit une perle que personne n'avait débusquée imaginé avant nous, il est donc parfaitement légitime de parler d'une découverte invention.

C'est ça, le clou sous mon marteau.

Sauf que ton clou ne valide qu'une proposition : le réalisme existe .... si on annote ton post comme ceci (en rouge) on valide avec un clou assez peur différent la proposition : le constructivisme existe (qui n'est pas la proposition inverse de la précédente) et la somme des deux forment ma position .... su'a cloture

Lulu le chipoteur (têtu) en réponse à Denis le filou

[Denis]

Salut Lulu,

En retouchant (en rouge) ma formulation originale, tu écris :

Quand, dans l'une ou l'autre des deux composantes de la réalité (l'abstraite ou la concrète), on trouve construit une perle que personne n'avait débusquée imaginé avant nous, il est donc parfaitement légitime de parler d'une découverte invention.

Ça me fait me demander si tu ne serais pas un constructiviste hard déguisé en clôturiste.

Je fais même plus que me le demander, je te le demande.

Le filou démasqué

[Lulu Cypher]

Je fais même plus que me le demander, je te le demande.

Non non absolument pas je suis en accord fort avec toi ... tant que tu ouvres les 2 yeux celui du réalisme ET celui du constructivisme

(sans en privilégier aucun ... en fait je t'ai fait une tite place sur la clôture à côté de moi ... tu verras c'est cool ... on voit mieux)

[Denis]

Salut Lulu,

Tu dis :

je suis en accord fort avec toi ... tant que tu ouvres les 2 yeux celui du réalisme ET celui du constructivisme

C'est ce que je fais.

Par exemple, je considère que le télescope et le calcul différentiel sont tous les deux inventés~construits, et qu'ils ont tous les deux permis de découvrir des réalités objectives ( concrètes ou abstraites, selon le cas).

Bref, tout n'est pas découvert et tout n'est pas inventé. Je suis donc, moi aussi, passablement clôturiste.

En passant, ton timinou sur la clôture ressemble pas mal (en plus jeune) à ma chatte.

Spoiler

Afficher

Ils se ressemblent tant tellement que je suis pratiquement certains qu'ils ont des ancêtres communs.

Denis

[Raphaël]

Et je ne vois pas en quoi l'objet mathématique peut etre inventé. Peux tu me donner un exemple?.

C'est inventé dans le sens que ça n'existait pas avant qu'on le découvre. On ne peut pas découvrir une chose qui n'existe pas déjà et pourtant c'est découvert dans le sens qu'on ne peut pas vraiment inventer une chose qui découle naturellement de règles mathématiques qui ne dépendent pas de notre volonté.

Voilà. J'espère que c'est clair (quoique j'ai quelques doutes).

[Wooden Ali]

Quelques considérations qui, amha, montrent que ce débat est mal parti.
1- Le mots "découvrir", "découverte" peut vouloir dire des choses extrêmement différentes :

-Le Père Martin à découvert un artefact préhistorique en labourant son champ
-Un artefact préhistorique a été découvert dans des fouilles près de Lascaux
-Christophe Colomb a découvert l'Amérique
-Fleming a découvert la pénicilline
-On a découvert une nouvelle comète
-Penrose a découvert un pavage du plan non périodique

On va de "tomber dessus par pur hasard" à "inventer en utilisant un profond savoir". Utiliser le même mot sans éclaircir sa définition et en discuter à l'envi ne me parait pas productif.

Il y a une école qui dit que les mathématiques sont une gigantesque tautologie. Elles déterminent un univers non réel entièrement déterminé par quelques axiomes et quelques règles. Tout l'édifice qu'elles construisent n'est que le produit de déductions. Ce qu'on y démontre sont des vérités dans la mesure où elles seront vraies éternellement tant qu'on aura pas changé ses règles. C'est un monde autonome où tout est prévisible et qui génère des vérités absolues.

Dans cette optique, on pourrait dire que dans ce monde, il n'y a que des choses à « découvrir » puisque tout ce qui peut y exister est compris dans ses règles de bases. « Faire des mathématiques » consisterait alors à se promener dans ce monde en respectant scrupuleusement ses règles.

Mais alors pourquoi, il est si difficile d'être un bon mathématicien ? Pourquoi leur attribue-t-on des qualités quasi extraterrestres d'inventivité et de créativité ?

Un élément de réponse pourrait être qu'à partir d'un nombre de règles et d'axiomes ridiculement petit se crée un monde très complexe. Pour l'explorer de façon fructueuse, il faut, en toute connaissance de sa complexité, faire preuve d'une grande créativité pour choisir les chemins et créer des concepts qui permettront d'aller plus loin.

C'est pour cela que Penrose ou René Thom sont plus honorés que le Père Martin !

Une problématique analogue peut se poser dans certaines sciences mieux encadrées que d'autres. En chimie par exemple, peut-on dire que le polyester a été découvert, inventé ou créé ? Il y a des arguments pour et contre dans les trois cas. Est-il vraiment utile d'en discuter ?

[LoutredeMer]

Et je ne vois pas en quoi l'objet mathématique peut etre inventé. Peux tu me donner un exemple?.

C'est inventé dans le sens que ça n'existait pas avant qu'on le découvre. On ne peut pas découvrir une chose qui n'existe pas déjà et pourtant c'est découvert dans le sens qu'on ne peut pas vraiment inventer une chose qui découle naturellement de règles mathématiques qui ne dépendent pas de notre volonté.

Voilà. J'espère que c'est clair (quoique j'ai quelques doutes).

Il y a une école qui dit que les mathématiques sont une gigantesque tautologie. Elles déterminent un univers non réel entièrement déterminé par quelques axiomes et quelques règles.

Salut Wooden Ali,

Pour moi il est réel, mais abstrait. Tel roc a un angle de x° entre deux cotés, l'infini est observable a travers le Grand hotel de Hilbert etc.. . (et je considère aussi le virtuel comme réel puisqu'il est observable..)

Tout l'édifice qu'elles construisent n'est que le produit de déductions

Ces déductions sont formulées pour concrétiser une progression vers cette réalité abstraite jusqu'à un résultat satisfaisant (résultat attendu ou non, mais découvert dans les deux cas). Je choisirais donc un pont par exemple, comme "édifice".

Dans cette optique, on pourrait dire que dans ce monde, il n'y a que des choses à « découvrir » puisque tout ce qui peut y exister est compris dans ses règles de bases. « Faire des mathématiques » consisterait alors à se promener dans ce monde en respectant scrupuleusement ses règles.

C'est ce que je pense aussi.

Un élément de réponse pourrait être qu'à partir d'un nombre de règles et d'axiomes ridiculement petit se crée un monde très complexe. Pour l'explorer de façon fructueuse, il faut, en toute connaissance de sa complexité, faire preuve d'une grande créativité pour choisir les chemins et créer des concepts qui permettront d'aller plus loin.

Certes. Faire preuve de créativité, d'intuition mathématique, de raisonnement logique basés sur des connaissances mathématiques, donc d'une bonne inventivité pour concrétiser cette réalité abstraite.

[LoutredeMer]

(et je considère aussi le virtuel comme réel puisqu'il est observable..)

Petite précision : le virtuel, par contre est un réel construit (inventé) et non découvert, sur la realité abstraite mathématique existante découverte.

[Raphaël]

Une problématique analogue peut se poser dans certaines sciences mieux encadrées que d'autres. En chimie par exemple, peut-on dire que le polyester a été découvert, inventé ou créé ?

Pour régler le problème je dirais qu'il a été schtroumpfé.

Il y a des arguments pour et contre dans les trois cas. Est-il vraiment utile d'en discuter ?

Ça peut être utile pour ceux qui s'intéressent au vocabulaire, ce qui semble être le cas pour LoutredeMer, mais pas beaucoup pour moi finalement.

[LoutredeMer]

Il y a des arguments pour et contre dans les trois cas. Est-il vraiment utile d'en discuter ?

Ça peut être utile pour ceux qui s'intéressent au vocabulaire, ce qui semble être le cas pour LoutredeMer, mais pas beaucoup pour moi finalement.

J'avais compris.

Moi ,interessée, par, vocabulaire, uniquement...

[richard]

En art on parle plutôt de création, en technique d'invention, en science de découverte. Il s'agit pourtant de la même chose.