Relativité einsteinienne

[ABC]

On parle plutôt de durée propre, qui est la mesure de la distance entre deux événements le long de la ligne d'univers considérée.

Oui.

Je ne comprends pas ce que vient faire la notion d'invariance ici.

Il s'agit, en fait, de l'invariance (Globale en Relativité Restreinte, locale en Relativité Générale) caractéristique de la Relativité. L'invariance du temps propre dtau = ds/c séparant deux évènements c'est l'invariance de la métrique de Minkowski ds² = c²dt²- (dx²+dy²-dz²) (convention de signe la plus fréquente) vis à vis des actions du groupe de Poincaré.

Quand le ds² séparant les évènements z et z+dz est positif les évènements sont dits séparés par un intervalle de type temps (l'un des évènements est dans le cône de futur de l'autre). Tous les observateurs inertiels sont d'accord sur la valeur de la durée propre
ds/c = (dt² - (dx²+dy²+dz²)/c²)1/2 qui s'écoule entre ces deux évènements. Elle s'avère correspondre aussi à la durée mesurée par l'unique observateur inertiel (autrement dit, par définition, la ligne d'univers de type temps) qui passe à la fois par z et par z+dz.

Quand le ds² séparant les évènements z et z+dz est négatif (dans la convention de signe précisée), les évènements sont dits séparés par un intervalle de type espace. Les évènements z et z+dz sont alors causalement disjoints. Selon nos connaissances actuelles, aucune information ne peut se propager d'un évènement vers l'autre (c'est ce qui caractérise la structure causale de l'espace-temps de Minkowski).
Tous les observateurs inertiels sont d'accord sur la valeur de la distance propre dl = (-ds²)1/2 = (-c²dt² + (dx²+dy²+dz²))1/2 séparant les deux évènements z et z+dz. La distance propre séparant z de z+dz s'avère correspondre, aussi, à la distance mesurée par les observateurs de tout référentiel inertiel dans lequel les deux évènements z et z+dz sont simultanés.

(1) Le groupe de Poincaré est le groupe engendré par le groupe de Lorentz, par le groupe des translations temporelles, par le groupe des isométries de l'espace Euclidien 3D ainsi que par les symétries discrètes T d'inversion du temps et P d'inversion de l'espace.

[thewild]

Merci pour cette explication, c'est plus clair.

[richard]

5. quand le vaisseau est en voyage son temps propre reste malgré tout égal à celui de la planète X:
dtau'' = cste = dtau

En effet comme dtau'' ne dépend pas de la vitesse du vaisseau ( dtau'(v) = cste) et que dtau' = dtau quand le vaisseau est posé sur la planète X, alors dtau'(v) = cste = dtau.
La relation dtau'(v) = dtau indique que les temps propres du vaisseau et de la planète X sont bien identiques.
Ai-je fait une erreur de raisonnement?

[ABC]

La relation dtau'(v) = dtau dt indique que la durée propre,

c'est à dire :

• la durée dtau',
  • mesurée sur le vaisseau,
  • séparant deux évènements z et z+dz se produisant au même endroit sur le vaisseau,
  et
  .
• la durée impropre dt, c'est à dire la durée dt mesurée par :
  
  • deux observateurs X1 et X2 au repos par rapport à la planète X,
    .
  • ayant synchronisé leurs montres au sens de la simultanéité ayant cours dans le référentiel "inertiel" de la planète X,
    .
  • le premier observateur X1 étant :
    • immobile par rapport à la planète X,
    • localisé en x1, là où se produit l'évènement z,
  • le deuxième observateur X2 étant :
    • lui aussi immobile par rapport à la planète X,
    • localisé en x2, là où se trouve la fusée en z+dz, donc situé à distance dl = v dt = |x2-x1| du premier observateur X1,

sont bien identiques. Ai-je fait une erreur de raisonnement?

Il manque

• la conclusion : comme c²dt² - dl² = c²dtau'² (relation d'invariance de la durée propre dtau') et que tu supposes dt = dtau', tu peux en déduire dl = v dt = 0, donc v = 0. La fusée est donc immobile par rapport à la planète X.
• les précisions que j'ai apportées.

Tu oublies en effet de préciser entre quels évènements z et z+dz tu mesures les durées dtau' et dt. Bref, ton raisonnement contient l'hypothèse implicite selon laquelle il existerait un présent universel et une durée universelle séparant les évènements z et z+dz indépendante du référentiel inertiel d'observation et de la distance dl séparant (dans le référentiel inertiel considéré) les deux endroits (dans ce référentiel inertiel), où se produisent les deux évènements z et z+dz.

En Relativité Restreinte, une durée ne sépare par deux "instants universels", elle sépare deux évènements avec une valeur dépendant du référentiel inertiel d'observation.

[richard]

dtau' désigne effectivement une durée séparant deux événements se produisant au même endroit dans le vaisseau, comme dtau désigne celle qui sépare deux événements qui ont lieu au même endroit sur la planète X. D'une manière plus mathématique, on peut écrire:
3. dtau'(v) = cste et 4.dtau'(0) = dtau => 5. dtau'(v) = dtau.
Peut-être serais-je entendu ainsi.

[Schtoiing]

dtau' désigne effectivement une durée séparant deux événements se produisant au même endroit dans le vaisseau, comme dtau désigne celle qui sépare deux événements qui ont lieu au même endroit sur la planète X. D'une manière plus mathématique, on peut écrire:
3. dtau'(v) = cste et 4.dtau'(0) = dtau => 5. dtau'(v) = dtau.
Peut-être serais-je entendu ainsi.

La relativité restreinte est-elle accessible à un cerveau restreint ?

[Raphaël]

La relativité restreinte est-elle accessible à un cerveau restreint ?

J'oublierais ça à ta place ...

[thewild]

3. dtau'(v) = cste et 4.dtau'(0) = dtau => 5. dtau'(v) = dtau.

Qu'est-ce que dtau'(v) et dtau'(0)?

[richard]

dtau est l'écoulement du temps propre, dtau(v) signifie que cet écoulement est considéré en fonction de la vitesse v* du vaisseau par rapport à la planète X. dtau(0) c'est sa valeur quand la vitesse v est nulle, donc quand il est posé sur icelle.
* comme on écrit f(x) quand f est fonction de x, a priori dtau est fonction de v d'où l'écriture dtau(v).

[ABC]

dtau' désigne effectivement une durée séparant deux événements se produisant au même endroit dans le vaisseau, comme dtau désigne celle qui sépare deux événements qui ont lieu au même endroit sur la planète X. D'une manière plus mathématique, on peut écrire:
3. dtau'(v) = cste et 4.dtau'(0) = dtau => 5. dtau'(v) = dtau.

Oui, à condition d'avoir v=0. C'est la condition pour que 2 évènements z et z+dz se produisant au même endroit sur le vaisseau se produisent aussi au même endroit sur la planète.

dtau'(0) c'est le vieillissement du cosmonaute entre z et z+dz mesuré par le cosmonaute

dtau'(v) = (dt² - dl²/c²)1/2 c'est aussi le vieillissement du cosmonaute aussi entre z et z+dz mais calculé par l'Hyxien
(en tenant compte de la durée dt et la distance dl=v dt entre z et z+dz mesurées par L'Hyxien. Pour lui, ces 2 évènements ne se produisent pas au même endroit)

dtau'(0) = dtau'(v) signifie que le cosmonaute et l'Hyxien sont d'accord sur le vieillissement du cosmonaute entre z et z+dz.

Peut-être serais-je entendu ainsi ?

[richard]

dtau'(0) c'est le vieillissement du cosmonaute entre z et z+dz mesuré par le cosmonaute

à condition d'avoir v=0.

dtau'(v) = (dt² - dl²/c²)1/2 c'est aussi le vieillissement du cosmonaute aussi entre z et z+dz mais calculé par l'Hyxien

alors quel est le "vieillissement" du cosmonaute entre z et z+dz calculé par le cosmonaute quand il a quitté la planète?

[thewild]

Je m'y risque :

dtau'(0) c'est le vieillissement du cosmonaute entre z et z+dz mesuré par le cosmonaute

à condition d'avoir v=0.

Le vieillissement du cosmonaute mesuré par le cosmonaute ne dépend pas de sa vitesse.

alors quel est le "vieillissement" du cosmonaute entre z et z+dz calculé par le cosmonaute quand il a quitté la planète?

Puisque le cosmonaute est à bord du vaisseau, et que z et z+dz se passent à bord du vaisseau, il importe peu qu'il ait quitté la planète.

Disons les choses ainsi :
z c'est un tic d'une horloge, et z+dz le tic suivant.
L'horloge se trouve à bord du vaisseau.
Le cosmonaute se trouve à bord du vaisseau.
Entre z et z+dz il vieillira d'une seconde, quelle que soit la vitesse du vaisseau.

[curieux]

à condition d'avoir v=0.

Quelle signification peut bien avoir sa propre vitesse pour celui qui est immobile par rapport à son horloge ?
Si ton horloge atomique voyage en même temps que toi, pourquoi diantre battrait-elle autrement que sur Terre ?
Ton problème tient surtout à ta compréhension de phrases de plus de dix mots.

[ABC]

Je m'y risque. Disons les choses ainsi : z c'est un tic d'une horloge, et z+dz le tic suivant. L'horloge se trouve à bord du vaisseau. Le cosmonaute se trouve à bord du vaisseau. Entre z et z+dz il vieillira d'une seconde, quelle que soit la vitesse du vaisseau.

Oui, bien sûr. Et alors ?

[thewild]

Je m'y risque. Disons les choses ainsi : z c'est un tic d'une horloge, et z+dz le tic suivant. L'horloge se trouve à bord du vaisseau. Le cosmonaute se trouve à bord du vaisseau. Entre z et z+dz il vieillira d'une seconde, quelle que soit la vitesse du vaisseau.

Oui, bien sûr. Et alors ?

N'était-ce pas la question posée ?

alors quel est le "vieillissement" du cosmonaute entre z et z+dz calculé par le cosmonaute quand il a quitté la planète?

Réponse : 1 seconde

[ABC]

Je m'y risque. Disons les choses ainsi : z c'est un tic d'une horloge, et z+dz le tic suivant. L'horloge se trouve à bord du vaisseau. Le cosmonaute se trouve à bord du vaisseau. Entre z et z+dz il vieillira d'une seconde, quelle que soit la vitesse du vaisseau.

Oui, bien sûr. Et alors ?

N'était-ce pas la question posée ?

Pas celle d'en dessous en tout cas.

Alors quel est le "vieillissement" du cosmonaute entre z et z+dz calculé par le cosmonaute quand il a quitté la planète? Réponse : 1 seconde.

Non. Bien que ce ne soit pas dit explicitement dans la question posée (il faut le deviner au vu de la façon dont la question est posée) les deux évènements z et z+dz sont, cette fois, deux évènements se produisant au même endroit sur la planète et entre lesquels une horloge au repos sur la planète a fait un tic tac.

La durée qui s'écoule sur le vaisseau entre ce tic et ce tac est donc de delta_t' = 1 seconde/(1-v²/c²)1/2

[ABC]

alors quel est le "vieillissement" du cosmonaute entre z et z+dz calculé par le cosmonaute quand il a quitté la planète?

Je suppose que tu évoques (sans le dire) deux évènements z et z+dz qui se passent maintenant au même endroit sur la planète et que tu désignes (sans le préciser) par dtau la durée (propre de l'Hyxien) qui s'écoule entre ces deux évènements pour l'Hyxien situé à cet endroit ?

La durée dt' qui s'écoule dans le vaisseau entre les deux évènements z et z+dz est donc un temps impropre puisque z et z+dz ne se passent pas au même endroit par rapport au vaisseau. Par rapport au vaisseau les évènements z et dz se passent à une distance dl' = vdt' l'un de l'autre et on a donc :

c²dt'² -dl'² = c²dtau² soit encore dt' = dtau/(1-v²/c²)1/2

Nota : on peut bien sûr trouver un évènement z+dz' qui se passe au même endroit que z par rapport au vaisseau cette fois et tel que la durée dtau' séparant z et z+dz' et mesurée dans le vaisseau soit égale à la durée dtau séparant z et z+dz et mesurée sur la planète. Ces deux temps propres sont égaux puisqu'on a choisi les évènements z, z+dz et z+dz' exprès pour ça. Ça ne pose pas de problème particulier.

[thewild]

N'était-ce pas la question posée ?

Pas celle d'en dessous en tout cas.

Alors quel est le "vieillissement" du cosmonaute entre z et z+dz calculé par le cosmonaute quand il a quitté la planète? Réponse : 1 seconde.

Non. Bien que ce ne soit pas dit explicitement dans la question posée (il faut le deviner au vu de la façon dont la question est posée) les deux évènements z et z+dz sont, cette fois, deux évènements se produisant au même endroit sur la planète et entre lesquels une horloge au repos sur la planète a fait un tic tac.

Ah bon ? Début de la discussion ces deux événements se passent sur le vaisseau. Comment en venez vous à penser que cette fois on doit considérer qu'ils sont sur la planète ?

Si il faut deviner de quoi on parle, ça ne facilite pas les choses.
Pour que ce soit clair il ne faudrait plus de parler de dtau, de z et z+dt, de dtau' et compagnie. Il faudrait parler clairement d'horloges, de où elles sont situées, de où sont situés les observateur, des vitesses respectives de chaque chose. Ce serait beaucoup plus clair.

[Wooden Ali]

Pour que ce soit clair il ne faudrait plus de parler de dtau, de z et z+dt, de dtau' et compagnie. Il faudrait parler clairement d'horloges, de où elles sont situées, de où sont situés les observateur, des vitesses respectives de chaque chose. Ce serait beaucoup plus clair.

C'est ce qu'on fait habituellement et qui permet à un esprit modérément formé scientifiquement de comprendre le paradoxe des jumeaux.
... sauf pour richard qui préfère coller des formules mathématiques à des notions qu'il ne comprend manifestement pas. Son schéma, c'est :
-mon intuition plus quelques formules vont disqualifier la Théorie de la relativité.
-Oui, mais les faits ?
-Les faits ? quels faits ?
-les horloges dans les satellites, le GPS, la durée de vie des muons ...
-Vous attachez une importance aux faits, vous ? Comme c'est bizarre. Une bonne théorie n'a pas besoin de faits ... et la mienne est très bonne ! Alors, fermez-la et admirez le savant à l’œuvre.

[richard]

Salut curieux! Tu as écrit

Si ton horloge atomique voyage en même temps que toi, pourquoi diantre battrait-elle autrement que sur Terre ?

Je te remercie pour cette réponse.

[ABC]

Ah bon ? Début de la discussion ces deux événements se passent sur le vaisseau. Comment en venez vous à penser que cette fois on doit considérer qu'ils sont sur la planète ?

Si l'horloge est sur le vaisseau où est le problème ? Si elle marche bien, la durée entre un tic et un tac est de une seconde pour le cosmonaute (quelle que soit la vitesse de la fusée par rapport à telle ou telle planète) et cette durée est, pour le cosmonaute une durée propre.

Il faudrait parler clairement d'horloges, de l'endroit où elles sont situées, de l'endroit où sont situés les observateurs, des vitesses respectives de chaque chose. Ce serait beaucoup plus clair.

Oh oui ! On ne peut pas poser de bonnes questions sans préciser ce qu'on veut savoir.

Ci-dessous quelques exemples de questions (on suppose que le vaisseau voyage à vitesse v par rapport à la planète X et que l'horloge du cosmonaute marche bien et égraine la seconde entre un tic et un tac).

• Q1 : Quelle est, pour le cosmonaute, la durée d1 entre un tic et un tac de son horloge (au repos dans le vaisseau) ?
• Q2 : Quelle est, pour un Hixien, la durée propre d2 entre un tic et un tac de l'horloge du cosmonaute ?
• Q3 : Quelle est, pour un Hixien, la durée d3 entre un tic et un tac de l'horloge du cosmonaute ?
• Q4 : On suppose toujours que l'horloge du cosmonaute marche bien, mais on ne sait pas si l'horloge d'un des Hixiens marche bien. Si, du point de vue du cosmonaute, l'horloge de cet Hixien fait des tics en même temps que les tics de son horloge et des tacs en même temps que les tacs de son horloge, est-ce que l'horloge de cet Hixien marche bien, avance ou retarde ? On suppose par exemple que v = 86.6% c. Quand cet Hixien vieillit d'une seconde, quelle durée d4 s'est écoulée d'après l'horloge de cet Hixien ?
• Q5 : Quelle est, pour un Hixien, la durée d5 entre un tic et un tac d'une horloge au repos sur le vaisseau ?
• Q6 : Quelle est, pour un Hixien, la durée propre d6 entre un tic et un tac d'une horloge au repos sur le vaisseau ?
• Q7 : on suppose que, pour un Hixien, un évènement zX se produisant sur sa planète est simultané avec un évènement zV se produisant sur le vaisseau et, qu'en zV, le vaisseau s'est éloigné de la planète. Les évènements zX et zV sont ils simultanés du point de vue du cosmonaute?

Les réponses ne sont pas bien compliquées (donc je ne les donne pas), mais les questions, elles, demandent à être lues avec un peu d'attention pour être bien comprises. Pourquoi ? Parce qu'elles demandent de sortir de l'intuition non relativiste selon laquelle une durée sépare deux "instants universels".

[thewild]

Ah bon ? Début de la discussion ces deux événements se passent sur le vaisseau. Comment en venez vous à penser que cette fois on doit considérer qu'ils sont sur la planète ?

Si l'horloge est sur le vaisseau où est le problème ? Si elle marche bien, la durée entre un tic et un tac est de une seconde pour le cosmonaute (quelle que soit la vitesse de la fusée par rapport à telle ou telle planète) et cette durée est, pour le cosmonaute une durée propre.

Exactement, il n'y a pas de problème.
Il y a un problème quand on commence à écrire quelque chose comme dtau'(v), c'est pour ça que je m'étonnais de cette formulation.

Sinon, il me semble que Q2/Q3 et Q5/Q6 ce sont les mêmes questions, non ?

[ABC]

• Q1 : Quelle est, pour le cosmonaute, la durée d1 entre un tic et un tac de son horloge (au repos dans le vaisseau) ?
• Q2 : Quelle est, pour un Hixien, la durée propre d2 entre un tic et un tac de l'horloge du cosmonaute ?
• Q3 : Quelle est, pour un Hixien, la durée d3 entre un tic et un tac de l'horloge du cosmonaute ?
• Q4 : On suppose toujours que l'horloge du cosmonaute marche bien, mais on ne sait pas si l'horloge d'un des Hixiens marche bien. Si, du point de vue du cosmonaute, l'horloge de cet Hixien fait des tics en même temps que les tics de son horloge et des tacs en même temps que les tacs de son horloge, est-ce que l'horloge de cet Hixien marche bien, avance ou retarde ? On suppose par exemple que v = 86.6% c. Quand cet Hixien vieillit d'une seconde, quelle durée d4 s'est écoulée d'après l'horloge de cet Hixien ?
• Q5 : Quelle est, pour un Hixien, la durée d5 entre un tic et un tac d'une horloge au repos sur le vaisseau ?
• Q6 : Quelle est, pour un Hixien, la durée propre d6 entre un tic et un tac d'une horloge au repos sur le vaisseau ?
• Q7 : on suppose que, pour un Hixien, un évènement zX se produisant sur sa planète est simultané avec un évènement zV se produisant sur le vaisseau et, qu'en zV, le vaisseau s'est éloigné de la planète. Les évènements zX et zV sont ils simultanés du point de vue du cosmonaute?

Il me semble que Q2/Q3 et Q5/Q6 ce sont les mêmes questions, non ?

Non. Pas du tout. Cette distinction est même essentielle en Relativité Restreinte.

• La durée propre séparant 2 évènements z1 et z2 (le tic et le tac d'une horloge par exemple) est indépendante du référentiel d'observation.
• La durée séparant ces deux mêmes évènements est toujours plus longue que la durée propre.

En Relativité restreinte, la durée séparant deux évènements z1 et z2 du point de vue d'un référentiel inertiel R, c'est la différence entre:

• l'indication t1 d'une horloge H1 au repos dans le référentiel R et située à l'emplacement du premier évènement z1 et
• l'indication t2 d'une horloge H2 au repos, elle aussi, dans le référentiel R et située à l'emplacement du deuxième évènement z2.

La durée propre tau1_2 c'est, au contraire, le vieillissement de l'unique observateur inertiel passant par les évènements z1 et z2.

[richard]

dtau'(0) c'est le vieillissement du cosmonaute entre z et z+dz mesuré par le cosmonaute
dtau'(v) = (dt² - dl²/c²)1/2 c'est aussi le vieillissement du cosmonaute aussi entre z et z+dz mais calculé par l'Hyxien

désolé de te contredire mais d'eau ' est le temps propre du vaisseau donc le temps du vaisseau mesuré par un cosmonaute; dtau'(v) précise simplement que tau peut être fonction de la vitesse relative, dtau'(0) est le temps propre du vaisseau* quand sa vitesse est nulle par rapport à la planète X (donc quand il est posé sur icelle), comme une fonction f(x) est fonction de x, f(0) étant alors sa valeur pour x=0.
* un temps propre étant la durée qui sépare deux événements z' et z' + dz' ayant lieu au même endroit, je ne le précise pas à chaque fois pour ne pas alourdir le texte.

[Ramzi]

Bonjour tout le monde! Vous connaissez sûrement mon intérêt pour la théorie de la relativité restreinte (RR). Je voudrais l'exposer ici en restant dans le cadre de la dite théorie (à la sauce richardienne toutefois).

Bon! alors voilà on a une planète X et un vaisseau spatial V'.
1. En préambule, on note E l'ensemble des points fixes par rapport à la planète X et E' l'ensemble des points fixes par rapport au vaisseau V'. Je dis en préambule car ça n'a aucun intérêt pour la suite.
2. On note tau le temps propre d'un hixien (un habitant de la planète X) et tau' celui d'un passager du vaisseau (ça c'est plus intéressant).
3. D'après la RR, le temps propre est invariant, ce qu'on écrit mathématiquement dtau' = cst (pour le cosmonaute son temps propre ne varie pas).
4. Quand le vaisseau est posé sur la planète X, le temps propre du cosmonaute correspond à celui d'un habitant de la planète:
d'tau' = dtau.

C'est tout pour aujourd'hui!
Si vous avez des questions n'hésitez pas à les poser.

J'ai aimé votre sujet Merci