Énigme 3

[Invité]

Une autre énigme. Si vous en avez assez des énigmes, faites-le moi savoir.

Il faut planter 15 sapins de manière à former 6 rangées de 5 sapins.

I.

Votre réponse sur fond blanc svp

[Denis]

Salut Invité,

Solution :

Dessinez une horloge, puis tirez des lignes du 12 au 5, du 12 au 7, du 4 au 9, du 4 au 11, puis du 8 au 1 et du 8 au 3. Les points d'intersection de deux lignes, incluant les points 12, 4 et 8, constituent les 6 rangées de 5 points.

Désolé, j'ai un tipeu copié : (http://mathcentral.uregina.ca/qq/databa ... eric1.html)

Denis

[Invité]

Désolé, j'ai un tipeu copié :
Denis

Un tipeu copié ! Tu l'as pris textuel.

Misère and a half.

I.

Il y a une solution plus élégante que celle-là.

[Denis]

Salut Invité,

À mon tour de lancer une énigme.

On a 4 pots de peinture : A1, A2, B1 et B2, et 2 grands pots vides C1 et C2.

Toutes ces peintures sont dans des teintes de gris.

Supposons que :

A1 est plus foncé que A2.
B1 est plus foncé que B2.

On verse A1 et B1 dans C1 (et on brasse) puis on verse A2 et B2 dans C2 (et on brasse aussi).

Est-il possible que C1 (qui provient des pots plus foncés) soit plus pâle que C2 (qui provient des pots plus pâles) ?

Denis

[ti-poil]

Salut Invité,

À mon tour de lancer une énigme.

On a 4 pots de peinture : A1, A2, B1 et B2, et 2 grands pots vides C1 et C2.

Toutes ces peintures sont dans des teintes de gris.

Supposons que :

A1 est plus foncé que A2.
B1 est plus foncé que B2.

On verse A1 et B1 dans C1 (et on brasse) puis on verse A2 et B2 dans C2 (et on brasse aussi).

Est-il possible que C1 (qui provient des pots plus foncés) soit plus pâle que C2 (qui provient des pots plus pâles) ?

Denis

Je m'y risque:

oui, si le recipient C1 est de couleur noir et si C2 est de couleur blanche.

[Denis]

Désolé pour l'ambiguïté. La concision me perdra.

Les couleurs se rapportent aux peintures, pas aux pots.

Pour simplifier, disons que les pots de peinture sont en verre transparent.

C'est rare, mais ça existe.

Denis

[ti-poil]

Un autre risque;

Oui, si on ferme hermétiquement le C1 et que l'on laisse sécher a l'air C2.

[Tom]

Salut Invité,

À mon tour de lancer une énigme.

On a 4 pots de peinture : A1, A2, B1 et B2, et 2 grands pots vides C1 et C2.

Toutes ces peintures sont dans des teintes de gris.

Supposons que :

A1 est plus foncé que A2.
B1 est plus foncé que B2.

On verse A1 et B1 dans C1 (et on brasse) puis on verse A2 et B2 dans C2 (et on brasse aussi).

Est-il possible que C1 (qui provient des pots plus foncés) soit plus pâle que C2 (qui provient des pots plus pâles) ?

Denis

Les pots ont-ils la même contenance? Si non, je dirais que la réponse est oui.

si 0x000 est noir et 0xfff est blanc.
Prenons
A1 = 1l de 0x111
A2 = 4l de 0x222
B1 = 4l de 0xddd
B2 = 1l de 0xeee

=> C1 = 5l de à peu prêt 0xbbb
=> C2 = 5l de à peu prêt 0x444

Tom

[ti-poil]

[Les pots ont-ils la même contenance? Si non, je dirais que la réponse est oui.

si 0x000 est noir et 0xfff est blanc.
Prenons
A1 = 1l de 0x111
A2 = 4l de 0x222
B1 = 4l de 0xddd
B2 = 1l de 0xeee

=> C1 = 5l de à peu prêt 0xbbb
=> C2 = 5l de à peu prêt 0x444

Tom

Bien Tom, advenant que A1 sont tres legerement rempli et que B1 est rempli au bord et que A2 soit rempli au bord et plus foncé que B1 et que B2 soit legerement rempli.
Est-ce cela que tu voulais exprimer?

[Denis]

Salut Tom

Tu l'as. Pour te faire plaisir, je ne dirai pas qu'elle était facile.

En effet, l'idée, c'est d'avoir :

A1 : un tout petit peu de peinture noire.
A2 : beaucoup de peinture gris très foncé.
B1 : beaucoup de peinture gris très pâle.
B2 : un toutipeu de peinture blanche.

A1+B1 donne de la peinture gris pâle et A2+B2 donne de la peinture gris foncé.

Tiens, une autre énigme contr'intuitive.

On dispose de 4 cubes, A, B, C, et D. On en fait 4 dés en écrivant des nombres sur toutes leurs faces. Les nombres qu'on veut.

On peut alors faire des "combats" entre les dés pris deux à deux. Quand on lance simultanément deux des dés, le gagnant est celui qui sort le plus gros résultat.

Le problème est de choisir ces nombres de telle sorte que :

A bat B deux fois sur trois.
B bat C deux fois sur trois.
C bat D deux fois sur trois.
D bat A deux fois sur trois.

C'est un peu contr'intuitif. Si A est nettement plus fort que B, que B est nettement plus fort que C et que C est nettement plus fort que D, on s'attend à ce que A soit beaucoup beaucoup plus fort que D. Or c'est D qui est le plus fort des deux.

Bigre!

Denis

[ti-poil]

En effet, l'idée, c'est d'avoir :

A1 : un tout petit peu de peinture noire.
A2 : beaucoup de peinture gris très foncé.
B1 : beaucoup de peinture gris très pâle.
B2 : un toutipeu de peinture blanche.

Toutes ces peintures sont dans des teintes de gris.
Denis

Quand dis-tu si tu respectais ton enigme :

A1 : peu de gris foncé
A2 : beaucoup de gris a peine moins foncé que A1
B1 : beaucoup de gris pâle
B2 : peu de gris a peine plus pâle que B1


Faudrait t'habituer tout de suite, il n'y aura pas toujours quelqu'un pour ramasser les pots.

8)

[Denis]

Salut ti-poil,

Les teintes de gris vont du blanc au noir bornes incluses.

Autant que les opinions vont du OUI au NON bornes incluses.

Dirais tu que le OUI et le NON ne sont pas des opinions?

Pour raison de concision, je n'ai pas cru nécessaire de préciser si les bornes étaient incluses ou pas. J'aurais peut-être dû, mais ça n'aurait pas changé grand chose.

Denis

[astro11111]

Énigme des dés :


Dé A : 4 4 4 4 4 4
Dé B : 3 3 3 3 7 7
Dé C : 6 6 6 2 2 2
Dé D : 5 5 5 5 1 1

deux questions que je me demande par contre.. premièrement, est-ce possible d'y arriver avec seulement 6 nombres différents ( j'ai du utiliser le '7' ).
et si c'est possible, est-ce seulement avec des égalités? ( exemple : A bat B 2 fois sur 3, A perd contre B 1 fois sur 6, et c'est égalité 1 fois sur 6 ) ?

[Denis]

Salut astro11111,

Bravo!

Après 11 jours, je n'espérais plus...

La seule différence entre "ma" solution et la tienne est que, sur mes dés, les nombres vont de 0 à 6 plutôt que de 1 à 7. Détail esthétique tout à fait mineur.

En passant, je les ai déjà concrètement bricolés, ces 4 dés : un noir, un rouge, un jaune et un blanc. On peut galamment proposer à l'adversaire de choisir son arme le premier. Ça a l'air de l'avantager de choisir le premier... mais, quel que soit son choix, on peut le battre (2 fois sur 3) en choisissant deuxième.

À ta première question (est-ce possible d'y arriver avec seulement 6 nombres différents?) je suis pas mal certain que la réponse est NON, mais je renonce à essayer de le démontrer rigoureusement.

Pour ta seconde question, sur les égalités, j'ai le feeling que les permettre provoque une sorte de "gaspillage de masse probabiliste" qui rend plus difficile de "boucler la boucle". Par exemple, en gardant ton dé A à 444444 et en remplaçant ton dé B par B'=33334X (où X>4), on ne fait qu'affaiblir le dé B et rendre plus difficile de trouver un dé C' qui soit plus faible que B', tout en étant plus fort qu'un prochain D' qui battra le A de départ.

Ce problème est un cas particulier (avec n=4) d'un problème plus général qui consiste à trouver n variables aléatoires (indépendantes) X1, X2, X3, ... , Xn de telle sorte que soit maximisé le minimum des n probabilités suivantes :
P(X1>X2), P(X2>X3), ... , P(Xn-1>Xn), P(Xn>X1).

Pour des raisons qui se résument par un "non gaspillage de masse", la solution donnera n probabilités égales.

Si on note par f(n) ce maximum du minimum, on trouve que
f(2) = 1/2
f(3) = (sqrt(5)-1)/2 = 0.61803... (le nombre d'or)
f(4) = 2/3 (c'est notre problème des 4 dés)
...
Quand n tend vers l'infini, f(n) tend vers 3/4.

La beauté du cas n=4 est que, dans la solution, toutes les probabilités s'expriment en "sixièmes" et qu'il est donc possible de la réaliser concrètement avec des dés à 6 faces.

Pour t'amuser, voici un autre petit "paradoxe" de même farine :

Supposons qu'on lance indéfiniment un sou qui donnera une suite de Pile ou Face (P ou F). Entre nous deux, on fait un pari. Chacun se choisit un "mot" de 3 lettres (ex. tu choisis PPP et je choisis FPP) puis on lance le sou jusqu'à ce qu'un de nos deux mots apparaisse (dans les 3 derniers lancers). Le gagnant est celui qui, le premier, a vu apparaître son mot.

Pour l'exemple donné (ton PPP contre mon FPP), j'ai 7 chances sur 8 de te battre car ta seule chance de gagner est de gagner dès le départ (i.e. avec les 3 premiers lancers). Si les trois premiers lancers ne donnent pas PPP, il est logiquement inévitable que le premier PPP ait été, un cran avant, précédé d'un FPP. J'aurai donc gagné avant toi.

Le "paradoxe" n'est pas là. Il est plutôt dans le fait que quel que soit le mot que tu choisis, je pourrai toujours en trouver un qui sera plus fort que le tien (i.e. qui aura plus qu'une chance sur deux d'apparaître avant le tien).

Par exemple, si tu choisis le FPP (qui, comme on a vu, est plus fort que PPP), j'aurai 2 chances sur 3 de te battre en choisissant FFP.

Si tu choisis ce FFP, j'aurai 3 chances sur 4 de te battre en choisissant PFF.

Si tu choisis ce PFF, j'aurai 2 chances sur 3 de te battre en choisissant PPF.

Si tu choisis ce PPF, j'aurai 3 chances sur 4 de te battre en choisissant FPP.

La boucle est bouclée. Quel que soit le mot que tu choisis, je peux toujours en trouver un qui le battra au moins 2 fois sur 3. Ça montre que l'offre galante de te proposer le premier choix est moins galante qu'il n'y paraît.

Denis

[astro11111]

Salut astro11111,

Bravo!

Après 11 jours, je n'espérais plus...

Merci, c'est mon premier post, c'est cette énigme qui m'a poussé à m'enregistrer sur le forum
Le deuxième est très intéressant aussi.. ces deux problèmes démontrent bien qu'il ne faut pas prendre les probabilités à la légère.. elles ont souvent beaucoup de surprises à nous offrir!


Deux énigmes amusantes, quoi que bien plus faciles que celles sur les dés et les lancers de pièces :

1- Trois hommes, tous grand logiciens, sont dans une pièce, et on leur met un chapeau sur la tête, vert ou blanc. Il y a en tout 3 chapeaux blancs et 2 chapeaux verts. ( donc 2 chapeaux sont inutilisés, et cachés de la vue de ces hommes). Les hommes peuvent regarder la couleur du chapeau des deux autres, mais pas le leur. Le premier à deviner la couleur de son chapeau gagne un prix. Le premier homme dit qu'il ne sait pas la couleur de son chapeau. Le deuxième dit qu'il ne la sait pas non plus. Le troisième homme déclara alors la couleur de son chapeau, et s'avancant vers les deux autres, ceux-ci s'apercurent que ce dernier était aveugle. Comment a t'il pu trouver la couleur de son chapeau?

2- Même style d'énigme que la précédente. Trois hommes, bon logiciens toujours, sont dans une pièce, mais cette fois-ci, tous sont bien voyants. Ils ont cette fois des étiquettes collées sur le front, 2 par personnes. Chaque homme peut voir les étiquettes des deux autres, mais pas les siennes. Ils y a en tout 8 étiquettes, 4 blanches et 4 vertes. (chaque homme peut avoir des étiquettes identiques ou différentes, bien entendu).. Les 2 étiquettes restantes sont cachés hors de la vue des hommes. Le premier homme déclare ne pas savoir la couleur de ses étiquettes. Le deuxième fait de même. Le troisième aussi. Alors le premier déclare encore ne pas savoir. Et le deuxième dit de quelle couleur sont ses 2 étiquettes. Comment a-t'il su?

[Denis]

Salut astro11111,

Merci pour tes deux énigmes.

La première n'est pas très difficile. Appelons H1, H2 et H3 les trois hommes. Notons par V ou B les couleurs des chapeaux (en tout, on a 2V et 3B).

Puisque H1 n'a pas su la couleur de son chapeau, les trois logiciens savent que H2 et H3 n'ont pas deux V (sinon H1 aurait su qu'il a B).

Ensuite, puisque H2 n'a pas su la couleur de son chapeau, tout le monde en déduit que H3 n'a pas V (sinon H2 aurait su, grâce au bout gras, qu'il a B).

Puisque H3 (l'aveugle) sait (par le bout rouge) qu'il n'a pas V, c'est qu'il a B.

Ta seconde énigme me paraît pas mal plus corsée. J'y reviendrai peut-être après dîner, mais je ne promets rien.

Denis

[astro11111]

Première énigme résolue.. la deuxième est en effet un peu plus dure, mais elle se résoud à peu près de la même facon que la première