Probabilités...

[Pancrace]

Cette guirlande contient pas mal d’erreurs, je me propose d’en relever certaines et d’expliquer ce qui ne va pas. Souvent, mais pas toujours, l’erreur provient d’un concept utilisé non ou mal défini (pièce « suspecte » par exemple), ou encore de diverses confusions lorsqu’on fait intervenir du « psychologique » dans l’histoire (gain théorique versus « intérêt » de gagner telle ou telle somme, par exemple).

Je commence par ce qui touche au paradoxe des 2 enveloppes. Il est très intéressant, hautement non trivial (même wikipedia s’y perd, c’est pour dire !), et la solution complète n’a pas été donnée sur ce fil, bien que parfois bien approchée, notamment par Cogite Stibon et Wooden Ali.
La présentation la plus classique est la suivante :

2 enveloppes contiennent respectivement une certaine somme d’argent (inconnue du joueur) et le double de cette somme. Il tire l’une des 2 enveloppes au hasard, mais avant de l’ouvrir et d’empocher la somme, il se dit : admettons que mon enveloppe contienne X dollars, si je change mon choix, une fois sur deux je vais gagner 2X, et une fois sur deux je vais gagner X/2, donc en moyenne je vais gagner 5/4X, qui est plus grand que X, donc j’ai intérêt à changer.

Le paradoxe est ici que deux raisonnements, apparemment corrects, sont contradictoires – changer d’enveloppe n’augmente pas le gain potentiel puisque le joueur avait une chance sur deux d’avoir déjà choisi celle contenant le plus d’argent, et pourtant le calcul au-dessus montre que ce gain potentiel a bel et bien augmenté. So what ?

La réponse est la suivante : l’affirmation « une fois sur deux je vais gagner 2X, et une fois sur deux je vais gagner X/2 » n’est valable que si gagner 2X et X/2 sont équiprobables (chacun 1/2) ce qui, non seulement n’est pas spécifié dans l’énoncé, mais en plus est impossible en pratique si la valeur de X n’est pas bornée !

En effet l’organisateur du jeu a dû choisir les sommes en jeu, et un tel choix ne peut pas être équiprobable dans l’ensemble des nombres entiers positifs, puisqu’il y en a une infinité… Par contre, dès que le joueur connait la loi de probabilité dictant le choix de la somme, alors il peut calculer l’espérance de gain en changeant d’enveloppe, et donc décider en toute connaissance de cause s’il doit le faire ou pas, à la condition toutefois de connaître X (donc d’avoir ouvert son enveloppe) – le paradoxe est parfois présenté après cette étape d’ailleurs.

Donnons un exemple : l’organisateur a choisi X = 10, 20, 30, 40 ou 50 avec équiprobabilité (1 chance sur 5), le joueur (qui connait ce protocole) va donc tirer une enveloppe qui contient entre 10 et 100 dollars. S’il trouve 60 ou plus, il ne doit pas changer puisque l’autre enveloppe ne peut pas contenir le double. S’il trouve 10, 30 ou 50, il doit absolument changer puisque l’autre enveloppe contient obligatoirement 20, 60 ou 100 respectivement (5, 15 ou 25 sont de probabilité 0). S’il trouve 20 ou 40, il doit aussi changer logiquement puisqu’alors son espérance de gain augmente.

Il faut bien noter qu’il s’agit d’un problème tout à fait concret, mais comme on ne peut pas calculer s’il faut changer ou pas d’enveloppe (manque de données, comme on vient de le voir), il faut faire entrer des facteurs psychologiques. C’est très intéressant à faire avec des enfants, en les laissant voir la somme que contient leur enveloppe. J’utilise en général 10 et 20 euros, et indique au gamin, après qu’il ait trouvé mettons 10 euros, de bien réfléchir s’il change ou pas.

S’il est intelligent, il va déduire que si j’avais choisi la somme d’argent au hasard (ce qui est impossible comme déjà signalé), il a vraiment intérêt de changer, puisque dans ce cas son espérance de gain monte à 12,5 euros. S’il est encore plus intelligent il va ensuite remarquer que j’ai surement pas mis la somme au hasard (vous donneriez 1000 euros à un mioche, vous ?!), donc il va essayer de « deviner » si j’ai mis 5/10 ou 10/20. S’il estime que je suis un gros radin il gardera ses 10 euros, mais s’il estime que j’ai choisi à kif-kif bourriquot, il modifiera son choix, en pleine logique !

Suite au prochain épisode…

[DictionnairErroné]

J'aime bien ces challenges intellectuels, il paraît que ça aide à prévenir l’Alzheimer, une autre probabilité à vérifier prochainement!

J'avoue bien humblement que suite à une première lecture, état confusionnel pur et simple.

Lege, Lege, relege, ora, labora et inventies, sinon point de salut!

Après une première lecture, je ne sais trop pourquoi, je m'imagine cet exemple: prenons 5 cartes numérotées de 1 à 5. Les probabilités diront que jamais je n'obtiendrai le 6!

En lisant les autres exemples de l'enfilade, je trouve que les dés sont pipés pour faire mentir les probabilités. Nous interférons, l'observateur interfère avec l'observé, ce qui n'est jamais une bonne chose je crois.

[Pancrace]

Les probabilités ne mentent pas. Comme indiqué plus haut, c'est une confusion classique (un mélange des genres) entre une théorie mathématique, les probabilités (où mentir n'a pas de sens), et le ressenti qu'une probabilité peut entraîner dans la vie réelle (où mentir fait sens).

Par exemple on trouve dans cette guirlande des phrases du genre "La pièce est tombée mille fois en suivant sur pile, donc on peut dire qu'elle est truquée". Ca c'est de l'ordre du ressenti, du psychologique, du pratique. En théorie c'est absolument faux - on peut juste dire que la pièce est
très probablement truquée.

[Pancrace]

Sur le jeu de pile ou face, les erreurs proviennent principalement d’une mauvaise compréhension de l’infini (qui n’est pas facile à manier, il faut bien le reconnaître).

D’abord il faut se mettre d’accord sur le fait qu’on puisse (ou pas) jouer à pile ou face une infinité de fois. Si on ne l’accepte pas, on raisonne sur un nombre de lancés n arbitraire, et on regarde les limites lorsque n tend vers l’infini. Si on l’accepte, ce que font en général les mathématiciens, on le modélise simplement de la façon suivante :

Jouer à pile ou face une infinité de fois, c’est se donner une fonction de N* dans {p,f}, qui à un entier n (le n-ième lancé) associe p si c’est pile ou f si c’est face.

Afin d’éviter d’avoir recours aux limites, qui posent des problèmes techniques spécifiques, je garde l’option de cette modélisation qui, de toutes manières, donnera les mêmes résultats.

Question : est-il possible d’obtenir une infinité de fois pile en suivant ?

Réponse : oui, il est même possible d’obtenir toujours pile, c’est la fonction qui à chaque n associe p.

Super simple, non ? On pourrait objecter que c’est une vue de l’esprit, une théorisation outrancière qui ne prend pas en compte le « réel ». Mais en fait le danger de circularité est chez ceux qui parlent de l’infini sans l’avoir défini, et qui en déduisent à peu près n’importe quoi, sans voir les contradictions puisqu’ils ne définissent pas le contradicteur ! (une définition « propre » d’un infini qui permette de donner du sens à « lancer une pièce une infinité de fois »).

Il s’ensuit que Madluke a parfaitement raison (et donc ses contradicteurs parfaitement tort) lorsqu’il écrit :

Par exemple il est possible avec une pièce de monnaie standard de jouer une infinité de pile ou face et toujours tomber sur face, une infinité de fois d'affilé.

En ce qui concerne les liens avec le monde «réel », on trouve des objections du style (je ne cite pas l’auteur par pure charité) :

« C’est impossible qu’une pièce tombe un milliard de fois en suivant sur pile »

Le même Madluke a encore raison de souligner que si c’était vrai, ou se situerait alors la limite entre le possible et l’impossible ? à cent, mille, un million ? L’impossibilité évidente de fournir une telle borne montre clairement la voie sans issue d'une affirmation comme au-dessus.

Ta pièce ne se souvient pas des cotés sur lesquels elle est tombé: si par hasard tu fais pile 5 fois de suite, elle a toujours une chance sur 2 de tomber sur pile au 6eme lancer.
Par contre si tu continues à l'infini tes lancers tu tomberas à un moment ou à un autre sur des séries de faces qui ramèneront le compte à l’équilibre, voire même un peu beaucoup plus.

La première assertion est trivialement vraie, la seconde est vraie aussi, mais plus troublante car contre-intuitive (Etienne Beauman est d’ailleurs aussitôt tombé dans le piège d’y voir une contradiction). En fait un assez joli théorème montre beaucoup plus que ça : tout écart (un milliard par exemple !) entre le nombre de piles et de faces sera presque surement (ce qui veut dire avec probabilité = 1) atteint, et même une infinité de fois ! On notera ici la différence marquante entre un événement certain (qui se produit toujours) et un événement presque certain (qui se produit avec probabilité = 1).

plus on fait de lancers et plus on attend un résultat ordinaire proche de 0.5

Cette phrase n’est pas assez précise pour pouvoir la contredire telle quelle, mais si l’idée est que plus on fait de lancés, plus on est sûr d'avoir quasiment la moitié de piles, ça c’est faux - la probabilité d'avoir autant de piles que de faces est équivalente à l’infini à \(\frac 1 {\sqrt {2\pi n}}\) pour 2n lancés, qui décroit vers 0 pour n de plus en plus grand. En fait c'est plutôt l'inverse qui se passe - plus le nombre de lancés grimpe et plus on a de chances de voir de grands écarts entre piles et faces (en conformité avec le théorème cité au-dessus). On peut voir ça comme une sorte de fractal - si on se donne un écart quelconque en piles et faces, il se passe ensuite pareil que si on était à l'équilibre (un choux-fleurs vu de loin, ou un morceau vu de près au microscope).

Il y a même encore plus troublant - c’est en général hyper long de revenir à l’équilibre (avoir autant de piles que de faces) dès qu’on a fait par exemple un pile au premier tirage. Dans ce cas, le nombre moyen de lancés qu’il faut effectuer pour y parvenir (donc obtenir un face de plus que de piles afin de compenser le premier lancé) est connu mais ce résultat est assez inattendu - en spoiler pour ceux qui ont envie d'essayer de deviner.

Spoiler

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\(+\infty\)

[Pancrace]

J'ai arrêté de lire la guirlande lorsque ça a dérivé sur le 1000 fois une pièce versus une fois 1000 pièces. C'était une erreur car un post de Denis dans cette nouvelle discussion recoupe le mien au-dessus - j'aurais donc dû le citer en ajoutant qu'il a 1000 fois raison.

En lisant donc le "Beauman contre le reste du monde", je me suis demandé pourquoi le premier restait crispé sur une position non seulement fausse, mais en plus rendue intenable par les bons arguments de plusieurs contradicteurs manifestement éclairés. Tentons une explication :

Une pièce lancée 1000 fois, qui tombe 1000 fois sur pile, fait dire à Etienne que la pièce est (très certainement) truquée. Déjà c'est bizarre comme conclusion, il semble préférable de dire que cette situation est suspecte - le lanceur pourrait être un habile prestidigitateur par exemple.

Lorsque 1000 pièces lancée en même temps tombent toutes sur pile, notre ami trouve ça moins étonnant car, nous dit-il, cette combinaison est comme une autre - jouer 123456 au loto donne autant de chances de gagner que n'importe quelle autre combinaison. C'est parfaitement correct, mais le point clé (déjà cité par un contradicteur), est que le fait que cette combinaison particulière tombe (celle là ou une autre d'ailleurs) est quelque part suspect, ou plus exactement sa probabilité d'occurrence est très faible.

On peut donc émettre l'hypothèse qu'Etienne a vu dans le premier cas une pièce surement truquée, et dans le second cas une équiprobabilité des tirages (et donc aucune pièce nécessairement truquée), et a donc estimé que ces cas étaient distincts. L'erreur est de n'avoir pas regardé derrière la façade, afin de voir la réelle concordance entre les 2 cas de figure, qui disent tous que la situation est suspecte, rien de plus et rien de moins. En outre cette suspicion est de même ordre dans chaque cas de figure (bien que les causes de la bizarrerie puissent être différentes), car les probabilités attachées aux occurrences sont identiques.

[Etienne Beauman]

Déjà c'est bizarre comme conclusion, il semble préférable de dire que cette situation est suspecte - le lanceur pourrait être un habile prestidigitateur par exemple.

Non. on élimine le lanceur et la magie, on teste scientifiquement une pièce, si elle tombe mille fois d'affilé sur pile elle est truquée. c'est la conclusion du test effectué pour savoir si cette pièce est truquée ou non.

C'est une décision de considérer une pièce truquée, une décision n'est pas très certainement prise, elle est prise ou pas (mode binaire).
si lors du test d'une roulette avant vente un fabriquant teste un exemplaire qui fait mille noir consécutif (il n'irait même pas jusque là), il ne mettra pas cette roulette en vente, elle a très certainement manifestement un problème.

L'erreur est de n'avoir pas regardé derrière la façade, afin de voir la réelle concordance entre les 2 cas de figure, qui disent tous que la situation est suspecte, rien de plus et rien de moins

Non l'erreur est de ne pas comprendre la différence entre un tirage suspect et une pièce truquée.

• Ce qui semble suspect c'est le résultat d'un(e succession de) tirage, le tableau, la valeur.
  (Comme déjà dit une succession de tirages avec 20 pièces (non identifiables) dont une seule est truquée ne semblera pas suspecte, pourtant cette pièce est truquée !
  pièce truquée -> tirage truqué
  tirage suspect -> rien du tout ( || ce serait bien de tester rigoureusement les pièces ayant participé à ce tirage)
  Voir des clous partout avec ton gros marteau, quand tu dois dévisser une visse est un sacré handicap.
  On est dans la logique binaire d'un test en fonction d'un seuil. C'est ce seuil qui est établit selon les lois de probabilité, pas le résultat du test.
• Ce qui est truqué c'est l'instrument testé, la pièce, la boule, etc.
  Pour savoir si une pièce est truquée il faut la tester plusieurs fois.
  Absolument personne n'a pu remettre ce fait en cause.

Il n'est pourtant pas difficile de comprendre que quand on lance mille fois une pièce, on a testé rigoureusement cette pièce, alors que quand on lance une fois mille pièces on a quasi rien fait.

Comme souvent faut sortir le nez du guidon pour comprendre de quoi je parle.

[Pancrace]

Il a été suggéré de passer en mode redico, c'est peut-être extrême, des questions/réponses fermées c'est déjà bien.

on teste scientifiquement une pièce, si elle tombe mille fois d'affilé sur pile elle est truquée.

A partir de combien de piles consécutifs ton "test scientifique" démontre que la pièce est truquée ?

Réponse fermée stp, pas de blabla du genre "dans le monde réel c'est impossible d'avoir mille fois pile d'affilé". Sinon je pose l'autre question fermée "à partir de quel N c'est impossible d'avoir N piles d'affilé dans le monde réel ?"

[Etienne Beauman]

A partir de combien de piles consécutifs ton "test scientifique" démontre que la pièce est truquée ?

A partir de quelle p-valeur un test statistique est significatif ?

Dans le monde réel on prends des décisions arbitraires pragmatiques.

[Pancrace]

C'est bien ce que je pensais - réponse blablateuse. Lorsqu'on affirme qu'on peut prouver scientifiquement qu'une pièce est truquée (ce que tu viens de prétendre) juste en la lançant un certain nombre de fois, on indique quelle méthode on utilise pour le faire. Je ne répondrai donc plus à tes messages avant que tu nous expliques cette méthode miracle, parce que je suis certain que c'est pure zozoterie.

[thewild]

Je n'avais jamais vu ce fil, et du coup je remercie Pancrace de l'avoir déterré des tréfonds du forum !

Est-ce que je peux m'y essayer, et vous me dites où j'ai faux ? Parce qu'aucune de vos solutions ne me plait, mais comme il y a quelques statisticiens et mathématiciens dans le tas c'est probablement moi qui aie tort !

On te montre deux enveloppes qui contiennent chacune un lot en argent. On t'informe qu'un de ces lots est 10 fois plus gros que l'autre, puis on t'invite à choisir une enveloppe. Si on t'offre de changer ton choix, tu n'as aucune raison de le faire puisque tu as choisi à l'aveuglette : le premier choix vaut bien le second, par symétrie.

Puis on t'invite à ouvrir l'enveloppe que tu as tirée et à observer combien elle t'a rapporté. Supposons que tu y trouves 100 €.

Le jeu n'est pas fini. On t'offre de nouveau le choix entre conserver ton enveloppe (i.e. gagner 100 €) ou prendre plutôt l'autre enveloppe.

Si tu décides de garder ton premier choix, c'est simple : tu reçois 100 € à coup sûr.

Or, puisque tu as choisi ton enveloppe à l'aveuglette, il y a une chance sur deux que tu aies tiré le petit lot (et une chance sur deux que tu aies tiré le gros). Autrement dit, il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 10 € et une chance sur deux qu'elle contienne 1000 €. En moyenne (espérance mathématique), l'autre enveloppe contient donc 505 €. Il est donc clairement préférable de changer d'enveloppe car elle vaut (en moyenne) plus de 5 fois plus que la première.

Moi, je dis simplement que le raisonnement est faux.
Il n'y a pas une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 10€ et une chance sur deux qu'elle contienne 1000€, car le montant de base a été préalablement déterminé. Le fait de d'ouvrir l'enveloppe et d'en découvrir le contenu n'apporte pas d'information supplémentaire.
Il y avait x€ dans une enveloppe et 10x€ dans l'autre. Il y a une chance sur deux pour que j'aie ouvert celle contenant x€ et une chance sur deux pour que j'aie ouvert celle contenant 10x€.
J'ai ouvert l'enveloppe choisie, je sais donc que x vaut soit 10 si j'ai pris le gros lot, soit 100 si j'ai pris le petit lot, mais ce montant reste préalablement fixé.

J'ai une chance sur deux d'avoir pris x et une chance sur deux d'avoir pris 10x, si je change d'avis ça ne fait qu'inverser la situation et j'ai une chance sur deux de prendre 10x et une chance sur deux de prendre x. Dans les deux cas l'espérance mathématique ne change pas, 5.05x€. (x+10x)/2.

Je suis donc d'accord avec Dave qui dit que l'erreur est de dire que l'autre enveloppe contient soit x/10 soit 10x. Mon enveloppe contient soit x soit 10x, et l'autre contient donc soit 10x soit x.

C'est faux ? Ca me parait simple et intuitif en tout cas.

[Pancrace]

Je suis donc d'accord avec Dave qui dit que l'erreur est de dire que l'autre enveloppe contient soit x/10 soit 10x. Mon enveloppe contient soit x soit 10x, et l'autre contient donc soit 10x soit x.

Non, parce que les deux x n’ont pas la même signification. Le x de Dave est la somme trouvée en ouvrant l’enveloppe. Ton x à toi est défini par le fait que les enveloppes contiennent respectivement x et 10x, c’est donc pas le même !

En fait Dave a raison, mais son explication n'est pas correcte. La bonne solution est de dire qu'on a pas assez d'informations pour motiver notre choix de changer ou pas. Joue par exemple en vrai avec un de tes gosses (si t'as le bonheur d'en avoir), met 10 dollars et 100 dollars dans les enveloppes. S'il tire les 10 dollars et s'il est malin il changera d'enveloppe en se disant à juste titre qu'il a une chance sur deux de gagner 1 et une chance sur deux de gagner 100, donc 50.5 en moyenne. Et s'il tire les 100 dollars il changera probablement pas en se disant qu'il serait bien étonnant que tu ais placé 1000 dollars dans l'autre (enfin si c'est pas dans tes habitudes de filer autant d'argent à tes gosses bien sûr, sinon tu fais l'expérience avec 100 et 1000 dollars).

[thewild]

Non, parce que les deux x n’ont pas la même signification. Le x de Dave est la somme trouvée en ouvrant l’enveloppe. Ton x à toi est défini par le fait que les enveloppes contiennent respectivement x et 10x, c’est donc pas le même !

OK, j'admets ne pas avoir lu tout le fil très attentivement, il me semblait que ce que je disais était proche de ce qu'il disait.

La bonne solution est de dire [...]

Il y a plusieurs bonne solution d'après l'article Wikipédia (que j'aurais dû lire avant de poster, je bats ma coulpe très fort). Il me semble que la mienne est la première proposée dans les "solutions simples", non ?

[Pancrace]

Pour expliquer autrement, le défaut exact du raisonnement est lorsque Denis affirme :

"Autrement dit, il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 10 € et une chance sur deux qu'elle contienne 1000 €."

Cette assertion n'est vraie que si on ajoute "en supposant que les sommes aient été choisies de manière équiprobables". C'est évident qu'il faut ajouter ça, parce que si par exemple la somme max est choisie strictement plus petite que 1000, alors la probabilité de trouver 1000 devient nulle...

Et à ce stade il y a un double piège (qui fait que ce paradoxe est vraiment joli, car assez difficile à lever) :

1) Les gens supposent cette équiprobabilité de fait, puisque rien n'est dit dans l'énoncé pour les détordre à ce sujet, et là le paradoxe devient complètement insoluble, donc tout le monde nage et tourne en rond !

2) Il faut déjà certaines connaissances mathématiques pour reconnaître que cette équiprobabilité supposée est un leurre impossible à mettre en pratique (il n'existe pas de loi équiprobable sur un ensemble infini !). Par contre il existe des lois très simples sur les entiers, comme P(X=n)=1/2^n, puisque la somme infinie 1/2 + 1/4 + 1/8... converge bien vers 1 (on ajoute à chaque fois la moitié de ce qui manque, comme dans Zénon). Pour une telle loi, on peut calculer précisément, en fonction de la somme trouvée dans l'enveloppe, s'il y a intérêt à changer ou pas.

Edit : le wikipedia français n'est pas vraiment au clair avec ce problème (un des rares cas que je connaisse où wikipedia est un peu à l'ouest en maths), peut-être qu'un jour je proposerais un amendement, mais c'est beaucoup de boulot, et j'ai déjà donné... Par contre il y a un article dans American Math Monthly à ce sujet qui est vraiment très bien, la réf doit être dans wikipedia si je me souviens bien.

[unptitgab]

Eh bien je reconnais une chose aux probabilités, je n'y comprenais rien lors de ma terminale S et plus de vingt ans après cela ne s'est pas arrangé. J'en ai juste retenu peut être le plus important, un humain étant incapable d'avoir un raisonnement aléatoire, l'intuition est la pire des méthodes pour juger qu'un fait est probable ou improbable, le prétendu "bon sens" n'y a pas sa place.

[thewild]

le wikipedia français n'est pas vraiment au clair avec ce problème (un des rares cas que je connaisse où wikipedia est un peu à l'ouest en maths), peut-être qu'un jour je proposerais un amendement, mais c'est beaucoup de boulot, et j'ai déjà donné... Par contre il y a un article dans American Math Monthly à ce sujet qui est vraiment très bien, la réf doit être dans wikipedia si je me souviens bien.

Je parlais de l'article du Wikipédia anglais cité pr MadLuke en début de discussion : https://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

Pour moi ajouter "en supposant que les sommes aient été choisies de manière équiprobables" ne change rien à l'erreur, qui est d'oublier que les deux enveloppes contiennent une somme fixée à l'avance.
Donc la somme que je trouve dans l'enveloppe n'est pas "x", c'est "soit 10x soit x". Et la somme de l'autre est donc soit x soit 10x respectivement, et il n'y a pas de paradoxe.
Ce raisonnement est juste d'après le Wikipédia anglais, du coup je ne vois pas l'utilité (autre que pour l'exercice intellectuel) des raisonnements plus compliqués faisant intervenir des infinis par exemple.

[Etienne Beauman]

Lorsqu'on affirme qu'on peut prouver scientifiquement qu'une pièce est truquée (ce que tu viens de prétendre) juste en la lançant un certain nombre de fois, on indique quelle méthode on utilise pour le faire.

on teste scientifiquement une pièce, si elle tombe mille fois d'affilé sur pile elle est truquée. c'est la conclusion du test effectué pour savoir si cette pièce est truquée ou non.

qu'est ce qui ne serait pas scientifique ?
Le test suit un protocole détaillé et reproductible, la conclusion n'est pas une preuve définitive que la pièce est truquée.
C'est juste la conclusion de l'étude. Comme pour toute étude, le protocole peut être discuté, la conclusion relativisée, le seuil réévalué, l'expérience reproduite.

Mais à moins de considérer le doute probabiliste comme suffisant pour déclarer qu'une pièce puisse être truquée, cette même pièce testée par diverses équipes encore et encore tombant toujours sur pile est quoi si elle n'est pas truquée ?
N'y aurait il pas un consensus scientifique sur le fait que cette pièce tombe toujours sur pile ?
On nierait un fait expérimental reproduit des dizaines de milliers de fois au nom de quoi ?

Si tu prétends qu'une telle pièce n'est pas truquée, tu hérites de la charge de la preuve et tant que tu n'auras pas réussi à faire un seul face tu peux chercher de nouveaux arguments.

Je ne répondrai donc plus à tes messages avant que tu nous expliques cette méthode miracle, parce que je suis certain que c'est pure zozoterie.

Très bien, tu n'as de toutes façon pas amené de nouveaux arguments, et tu n'as en rien réfuté les miens.

Pour déterminer si une pièce est truquée, un seul lancer ne suffit pas.
Réponse fermée : Oui ou non ?

Prétendre qu'une pièce qui serait tombée dix mille fois sur pile d'affilé n'est pas truquée, remets en cause la notion même de pièce truquée*.
Réponse fermée : Oui ou non ?

*Un pièce truquée est une pièce qui contrairement aux pièces standard n'oscille pas "naturellement" entre pile et face, plus on la lance et plus "la face pour laquelle elle penche" devient manifeste.

[DictionnairErroné]

Je ne vois pas les paradoxes de probabilités dans les exemples cités. On ne tient pas compte de son interférence dans les probabilités. Exemple, au poker, blackjack, des cartes données au hasard, les joueurs professionnels pourront faire plus d'argent que d'autres joueurs. Pourquoi? L'interférence dans les probabilités. L'observateur a pipé l'observé (probabilité), non?

[Pancrace]

@ thewild

Une erreur à quoi exactement ? Le paradoxe pose une question, tu changes ou tu changes pas ? Il faut y répondre. Si l'erreur dont tu parles est dans le raisonnement qui montre qu'il n'est pas nécessaire de changer, alors tu ne changes donc jamais ? Si telle est ta conclusion, alors elle est fausse car il existe des cas où il faut changer.

En fait l'énoncé du problème pourrait s'arrêter à "tu changes ou tu changes pas ?" Le reste est inutile, il souligne juste qu'il existe à priori de bonnes raisons de changer et de bonnes raisons de ne pas changer, d'où le côté paradoxal.

La réponse à la question est : je ne peux pas décider faute d'informations suffisantes. Un peu comme dans la réponse d'Einstein à la question "vous croyez en Dieu ou pas ?" Commencez par définir Dieu, je répondrais ensuite.

[Pancrace]

L'observateur a pipé l'observé (probabilité), non ?

Non. Les probabilités sont un outil qui ne s'use pas, les bons joueurs de poker savent l'utiliser mieux que nous, that's all folks ! Tiens ça me fait penser :

Proposition d'ajout dans la liste des zozoteries - la poker face. Les meilleurs le restent même sur internet, et sont de toutes manières régulièrement battus par les meilleurs boots - elle est où la poker face d'un programme ? La poker face n'est rien d'autre qu'un attrape-couillons - tu connais rien aux probas, pas grave je sens que t'as le feeling, tu vas déchirer grave ! Et le brave zozo (un pigeon naturel, glou glou ) qui y crois repart en slip...

[Pancrace]

on teste scientifiquement une pièce, si elle tombe mille fois d'affilé sur pile elle est truquée. c'est la conclusion du test effectué pour savoir si cette pièce est truquée ou non.

Ok, donc maintenant tu lances 999 fois une pièce (non testée au préalable) et 999 pièces une fois. Si tu obtiens dans chaque cas 999 piles "y'a rien du tout de bizarre" pour reprendre tes mots (puisque le deuxième cas est selon toi une possibilité comme une autre, et que le premier cas ne dit pas si la pièce est truquée ou non).

Pourquoi tu ne fais aucune différence entre les 2 cas avec 999 pièces, et que soudain tu en fais une énorme avec 1000 pièce ? Un saut quantique ? Et ne réponds pas que tu fais ton "test scientifique" en lançant la pièce 999 fois, parce que sinon je déplace le problème de 999 à 998, etc.

[Etienne Beauman]

t'as du mal avec la notion de seuil arbitraire ?

Le plus gros tirage observé de pile consécutif, c'est quoi ?

Dans le genre j'ai rien trouvé de mieux sur le net qu'une grosse 20aine, placé la barre à 1000 c'est faire de l'overkill pour raisonnablement ne pas avoir de doutes, (c'est ce q'u on fait aussi en toxicologie, tu vas me dire que c'est pas de la science ?) si tu te complais dans le doute déraisonnable c'est ton droit. Pas moi.

Si tu penses qu'il est possible d'observer une pièce non truquée, tombant 1000 fois sur pile, merci de sourcer un cas réel.
Moi je suis dans l'incapacité de té démontrer l'inexistence d'une telle pièce.
Si tu penses qu'il est possible d'observer un homme courir le 100 mètres en moins de 4 secondes, merci de sourcer un cas réel.
Moi je suis dans l'incapacité de té démontrer l'inexistence d'une tel athlète.

[Vathar]

placé la barre à 1000 c'est faire de l'overkill pour raisonnablement ne pas avoir de doutes,

Un tantinet overkill, on est dans l'ordre des 1/10^300 il me semble. L'ordre de grandeur pour dénombrer les atomes dans l'univers semble taper dans les 10^75 a 10^85

Le problème que j'ai avec ceci c'est qu'au sens strict, on ne pourra jamais prouver quoi que ce soit au sujet d'une piece en se contentant de la lancer.

D'un point de vue pragmatique, il est clair qu'on peut/doit s'interroger quand les probabilités sont bafouées à ce point. Si l'on était hors de l'exercice de pensée, il serait temps de jeter un œil à la piece et de la soumettre à d'autres tests pour établir pourquoi elle est truqué (densité, équilibrage ...) mais comme cette piece est tout aussi existante que la théière de Russell ou le dragon de Carl Sagan,ca va être compliqué.

C'est aussi ca le nœud du problème, comme souvent sur ce forum : la confusion entre l'exercice de pensée et l'expérimentation réelle, entre la rigueur mathématique et la vie de tous les jours.

- Montre moi une piece qui tombe 100 fois sur pile et je te dirai "il y a anguille sous roche, y'a moyen de la scanner/étudier/mesurer pour voir ce qui se passe?"
- Parle moi de la modélisation mathématique d'une piece qui donnerait 100 pile de suite et je te dirai "amusant ce modele, a t'on déjà observé un cas pratique se comportant d'une telle manière"

PS : Tu peux développer en une phrase ton allusion à la toxicologie stp?

[DictionnairErroné]

Non. Les probabilités sont un outil qui ne s'use pas, les bons joueurs de poker savent l'utiliser mieux que nous, that's all folks ! Tiens ça me fait penser :

Il est fort probable qu'il existe une contradiction dans vos propos. De toute façon, dans les exemples cités, les données changent (intervention) durant l'expérience et ne sont pas prises en considération.

[Pancrace]

@ thewild

Bon, j'ai examiné les articulations logiques dans l'article dédié sur le wikipedia anglais, c'est un peu confus je trouve :

- En préambule, la présentation du problème est correcte, elle se termine bien par la question "should you switch ?". Je préfère la présentation où on ouvre l'enveloppe avant de se poser la question du changement, mais ça ne change rien sur le fond.

- Ensuite le problème est décalé, il s'agit maintenant de trouver pourquoi le "switching argument" (qui consiste à dire qu'on y gagne en moyenne en répondant oui à la question plutôt que non), qui semble solide, ne fonctionne en fait pas.

- Une liste de points est ensuite détaillée (on peut s'arrêter au 8 : I gain on average by swapping), qui semble prouver la validité du switching argument.

- Comme en fait cet argument ne peut pas fonctionner (simple logique élémentaire), le problème est une nouvelle fois décalé et devient "quel est, parmi les 8 points, celui qui ne marche pas ?".

- Réponse : c'est le point 6 (et c'est le seul d'ailleurs).

A ce stade, probablement qu'il existe plusieurs méthodes pour motiver correctement cette réponse. J'utilise la plus parcimonieuse, qui ne nécessite aucun calcul dangereux (le piège des probabilités conditionnelles par exemple), simplement en disant que le point 6 utilise une hypothèse cachée qui n'est pas spécifiée dans l'énoncé - l'équiprobabilité (à 1/2) de A/2 et de 2A pour toute somme A trouvée dans l'enveloppe. De plus il est impossible d'ajouter cette hypothèse dans l'énoncé car elle est irréalisable. C'est pour moi le point fondamental - si on pouvait choisir la somme A de façon équiprobable, parmi mettons l'ensemble des entiers positifs, alors le switching argument deviendrait parfaitement indestructible.

Finalement, il est bon de remarquer que si on se donne une loi de probabilité P(X=A) qui décrit comment la somme A est choisie, alors le switching argument devient parfaitement cohérent - on change si et seulement si P(X=A/2).A/2 + P(X=2A).2A > A (ce qui est toujours vrai si les P valent 1/2). A noter qu'on ne peut faire ce calcul que si A est connu - c'est pour ça que je préfère la version du problème où on ouvre l'enveloppe.

[Pancrace]

C'est aussi ca le nœud du problème, comme souvent sur ce forum : la confusion entre l'exercice de pensée et l'expérimentation réelle, entre la rigueur mathématique et la vie de tous les jours.

Il y a quand même un truc qui fonctionne assez bien pour éviter ça, c'est poser des questions fermées et repérer les erreurs de logique ou factuelles. Par exemple tu remarqueras que Etienne n'a pas répondu à la question : Pourquoi tu ne fais aucune différence entre les 2 cas avec 999 pièces, et que soudain tu en fais une énorme avec 1000 pièce ? Il se contente à nouveau de noyer de poisson (blablater) avec des grands mots qui sortent de son chapeau - seuil arbitraire, overkill, doute raisonnable, etc. Bref de la bouillie pour les chats (et encore c'est pas gentil pour les chats).