La vie après Pi

[DictionnairErroné]

Je reprends ici les deux derniers posts de Pi:

Ouais, mais la question demeure, pourquoi est-il mathématiquement impossible de calculer exactement la circonférence d'un cercle? Certains disent que c'est la faute à Voltaire, d'autres à Rousseau, moi je dis que c'est la faute à Einstein! Il doit bien y avoir une autre méthode...

Existe-t-il une vie après pi?

alpha = e² / (4 Pi Epsilon Hbar c)
rien que des constantes exactes et physiquement invariables, sauf ... Pi

Dans wikipedia "constante physique", il est indiqué que \(\alpha = \frac {e^2 \mu_0 c} {2h}\), qui ne fait donc pas intervenir directement \(\pi\), et d'autre part qu'il y a effectivement une incertitude sur \(\alpha\), mais aussi sur la charge élémentaire \(e\).

Donc désolé, mais cet exemple ne montre pas qu'il soit nécessaire de parfois faire varier \(\pi\) en physique.

C'est parce que tu ne considères pas la forme de mu_0, c'est homogène à 4 Pi * 10^-7, on a bien la contribution d'une valeur qui n'a pas de rapport avec une quelconque incertitude de mesure.
La 'constante' alpha est dépendante de l'énergie qui est elle-même dépendant de la masse(de l'electron), hors, sans masse on retombe dans le cas idéal de la géométrie euclidienne.

Tu disais ne pas avoir connaissance d'une méthode physique pour déterminer la valeur de Pi (si je ne m'abuse).
Il y en a une, la simulation de monte carlo.
On tire au hasard des 'flechettes' dans un cercle inscrit dans un carré, le rapport entre ce qui tombe dans le cercle et ce qui tombe dans tout le carré est égale à Pi/4. Ce n'est pas très prècis (un million de tirages n'autorisent qu'une précision à 10^-6) mais l’intérêt se constate dans le fait qu'il faut absolument faire l'expérience dans un monde plat.

Dans un univers dont la courbure dépend de la présence de matière on ne tombera jamais sur la valeur de Pi idéale puisque le rayon est plus grand que dans un monde plat sans que la circonférence change.( la surface totale ne correspond pas à la surface idéale de S=(2 * R)² sans qu'il soit possible pour l'observateur de le savoir, donc pour lui Pi est plus petit que ce qu'on lui attribut.)

Dans un univers à courbure négative (en forme de selle de cheval) c'est le contraire, la valeur de Pi serait plus grande que ce qu'on connait.

Mais bon, on s'éloigne passablement de la RR...

Si, je connais quelques méthodes probabilistes qui convergent vers \(\pi\), comme aussi lancer des allumettes sur une bande de même largeur, et compter celles qui touchent ou pas un bord.

Dans un univers à courbure négative (en forme de selle de cheval) c'est le contraire, la valeur de Pi serait plus grande que ce qu'on connait.

Non je ne crois pas, je persiste à dire que dans ce genre de contexte on observe une valeur plus grande que \(\pi\), pas un \(\pi\) plus grand. Si tu veux me convaincre du contraire il faut trouver un article sérieux où il est explicitement indiqué que la valeur de \(\pi\) dépend du contexte (et non pas qu'un contexte différent va donner une valeur qui n'est pas exactement \(\pi\)).

Mais bon, on s'éloigne passablement de la RR...

Oui, et le distinguo au-dessus n'est pas très important, mais je pense quand même que mieux vaut pas embrouiller les esprits en disant que \(\pi\) varie selon le contexte - les choses sont déjà bien assez compliquées comme ça...

Edit : si on a une formule euclidienne X=2Y, et qu’on s’aperçoit qu’en RR on a X=2,1Y. Est-ce que tu vas dire que 2 est un chiffre variable, ou bien que le contexte de la RR donne une constante 2,1 différente de 2 ?

Je me suis dit, en toute dualité intime, l'horloge est un cercle dont l'aiguille des secondes prend toujours une minute pour tracer la circonférence complète. Pourquoi ne pas l'utiliser, je regarde la formule:

v = 2\(\pi\)r / T

Encore ce putain de \(\pi\)

Si au lieu d'utiliser un temps fixe pourquoi ne pas utiliser une vitesse fixe, disons 1 m/s. Si nous calculons le temps que prend l'aiguille à faire le tracer complet de la circonférence nous obtenons la valeur exacte de celle-ci par une simple règle de trois sans utiliser \(\pi\) et la longueur du rayon, non?

La question est de savoir comment s'assurer d'obtenir la vitesse fixe de 1 m/s sans faire intervenir l'effeuilleuse \(\pi\) qui ne se découvre jamais au complet.

[Totoche]

Sauf que quand tu construit une horloge, c'est la vitesse de l'axe que tu contrôle, donc la vitesse angulaire de la pointe de l'aiguille. Pour calculer la vitesse de rotation qu'il faut donner à l'axe pour que la pointe de l'aiguille ai la vitesse linéaire souhaitée, m'est d'avis que tu va avoir besoin de... Pi.

Bon courage.

[DictionnairErroné]

Ca me fait penser au film, Le nombre 23. Il est partout, du bégaiement de pi dans les colonnes romaines aux deux lettres TT collés.

C'est quand même intrigant que nous puissions tomber pile sur la longueur des lignes comme l’hypoténuse d'un triangle. Et tomber sur la face moqueuse de pi lorsqu'il est question de courbe. Pourtant la courbe a également une longueur bien déterminée et nous faire répondre par pi, pis après!

[Pancrace]

La longueur de l'hypoténuse est une racine, donc en général pas un nombre rationnel, donc déjà pas si simple...

En fait il existe une raison théorique de fond pour laquelle la longueur des courbes est compliquée à calculer, c’est que la formule qui la donne est une intégrale assez vache, qui ne s’exprime en général pas sous forme de fonction élémentaire (y compris lorsque cette courbe est un arc de cercle).

Si par exemple on joint les points (0,0) et (1,1) du plan euclidien par une courbe C, il n’y a essentiellement que 2 fonctions qui vont donner un calcul clean pour la longueur L de la courbe :

\(y=x\) le segment de droite, et on trouve bien sûr L = \(\sqrt 2\)

\(y=x\sqrt x\), et on trouve \( L = \frac {13\sqrt {13} – 8} {27} \sim 1,44\)

Donc il faut se faire une raison, dès qu’on cherche à calculer précisément une longueur autre que celle d’un segment de droite on entre dans le dur (et c’est souvent encore pire dans un cadre non euclidien).

[DictionnairErroné]

La longueur de l'hypoténuse est une racine, donc en général pas un nombre rationnel, donc déjà pas si simple...

Je n'y avais pas pensé à celle-là!

En fait il existe une raison théorique de fond pour laquelle la longueur des courbes est compliquée à calculer, c’est que la formule qui la donne est une intégrale assez vache, qui ne s’exprime en général pas sous forme de fonction élémentaire (y compris lorsque cette courbe est un arc de cercle).

Si par exemple on joint les points (0,0) et (1,1) du plan euclidien par une courbe C, il n’y a essentiellement que 2 fonctions qui vont donner un calcul clean pour la longueur L de la courbe :

\(y=x\) le segment de droite, et on trouve bien sûr L = \(\sqrt 2\)

\(y=x\sqrt x\), et on trouve \( L = \frac {13\sqrt {13} – 8} {27} \sim 1,44\)

Donc il faut se faire une raison, dès qu’on cherche à calculer précisément une longueur autre que celle d’un segment de droite on entre dans le dur (et c’est souvent encore pire dans un cadre non euclidien).

Au secondaire notre prof de math nous avait démontré comment calculer la circonférence avec des triangles composés de deux rayons et un angle en traçant une ligne entre les deux extrémités des rayons, calculions la longueur de cette ligne et la multiplions pour obtenir la circonférence, d'où la valeur de pi. Plus l'angle diminuait, plus nous approchions de la valeur de pi.

Pour arriver à la valeur exact de la circonférence, il aura fallu utiliser un angle de 0. Ça donnait une longueur de zéro multiplier par l'infini!

[Pancrace]

Oui, ça s'appelle la rectification d'une courbe - on l'approche par des segments de droite successifs. Et effectivement, pour "coller parfaitement à la courbe" il faut des segments de plus en plus courts, donc en nombre de plus en plus grand, et il y a un problème de passage à la limite pour obtenir la longueur réelle.

C'est grosso modo pour donner un sens à cette limite, et pouvoir la calculer, que la notion d'intégrale a été inventée. Malheureusement (ou heureusement selon le point de vue), les calculs pratiques sont compliqués et font souvent intervenir des choses étranges comme \(\pi \), \(\exp\) ou \(\ln\) (sauf dans les 2 cas cités au-dessus).

Par exemple un exercice standard de première année de maths après le bac (pour les bons étudiants) est le calcul de la longueur de la parabole \(y=x^2\) entre (0,0) et (1,1). Le résultat ne fait pas intervenir \(\pi\) mais le logarithme népérien \(\ln\).

[DictionnairErroné]

Oui, ça s'appelle la rectification d'une courbe - on l'approche par des segments de droite successifs. Et effectivement, pour "coller parfaitement à la courbe" il faut des segments de plus en plus courts, donc en nombre de plus en plus grand, et il y a un problème de passage à la limite pour obtenir la longueur réelle.

C'est grosso modo pour donner un sens à cette limite, et pouvoir la calculer, que la notion d'intégrale a été inventée. Malheureusement (ou heureusement selon le point de vue), les calculs pratiques sont compliqués et font souvent intervenir des choses étranges comme \(\pi \), \(\exp\) ou \(\ln\) (sauf dans les 2 cas cités au-dessus).

Par exemple un exercice standard de première année de maths après le bac (pour les bons étudiants) est le calcul de la longueur de la parabole \(y=x^2\) entre (0,0) et (1,1). Le résultat ne fait pas intervenir \(\pi\) mais le logarithme népérien \(\ln\).

Je lisais à propos du logarithme népérien, ça provient du 17e siècle comme beaucoup d'autres découvertes mathématiques, toute une aventure intellectuelle!

Pourtant, dans l'expression mathématique, les fractions arrivent à des résultats exacts comparativement à l’incontinence des décimales qui en laisse échapper.

Une demie multiplier par deux donne un. .5 multiplier par deux donne un. Un tiers multiplier par trois donne un. Mais .333...333,,, multiplier par trois donne .999...999...

De toute évidence, il y a de quoi qui cloche.

[Pancrace]

Les choses sont bien précises en ce domaine, mais il existe pas mal de confusions, y compris sur le web... Prenons la vieille lune, déjà discutée sur ce forum - est-ce que 1 = 0,99999... ?

La réponse est oui, mais une preuve rigoureuse demande un peu de précaution. Pour cela il faut préciser ce qu'on entend par un développement décimal. La définition est \(a_{0},a_{1}a_{2}...a_{i}... = \sum_0^\infty \frac {a_k} {10^k}\), qui est une somme infinie de nombres rationnels dont on peut montrer facilement qu'elle converge toujours. La limite est le nombre correspondant à ce développement décimal. La subtilité est que différentes telles sommes (avec des \(a_i\) différents) peuvent donner la même limite, et donc le même nombre.

Elle est là l'erreur classique - croire qu'un développement décimal est un nombre, alors qu'un développement décimal est une représentation d'un nombre, donc que 2 développements distincts peuvent à priori donner le même nombre. C'est le cas de 1,000000... = 0,999999...

[DictionnairErroné]

La définition est \(a_{0},a_{1}a_{2}...a_{i}... = \sum_0^\infty \frac {a_k} {10^k}\), qui est une somme infinie de nombres rationnels dont on peut montrer facilement qu'elle converge toujours.

Elle est là l'erreur classique - croire qu'un développement décimal est un nombre, alors qu'un développement décimal est une représentation d'un nombre

Intéressant, ainsi pour faire intervenir l'infiniment petit et l'infiniment grand comme dans l'exemple que je donnais dont nous arrivions à une grandeur de zéro multiplier par l'infini ce qui ne donne aucune réponse, nous utilisons le développement décimal pour y arriver.

[DictionnairErroné]

Intéressant, ainsi pour faire intervenir l'infiniment petit et l'infiniment grand comme dans l'exemple que je donnais dont nous arrivions à une grandeur de zéro multiplier par l'infini ce qui ne donne aucune réponse, nous utilisons le développement décimal pour y arriver.

Après relecture, je renie ces propos causés par un enthousiasme exubérant dénué de sens.

[DictionnairErroné]

Oui, et le distinguo au-dessus n'est pas très important, mais je pense quand même que mieux vaut pas embrouiller les esprits en disant que \(\pi\) varie selon le contexte - les choses sont déjà bien assez compliquées comme ça...

Edit : si on a une formule euclidienne X=2Y, et qu’on s’aperçoit qu’en RR on a X=2,1Y. Est-ce que tu vas dire que 2 est un chiffre variable, ou bien que le contexte de la RR donne une constante 2,1 différente de 2 ?

On va donc dire que la valeur de pi est une définition mathématique, et que la valeur la plus correcte n'est pas de mesurer physiquement le rapport entre la surface et le rayon du cercle.

[Pancrace]

Oui, notamment parce que le nombre \(\pi\) n’est pas facile à calculer théoriquement. Que ce soit via la longueur d’une courbe, l’estimation d’une intégrale ou l’exponentielle complexe, on retombe toujours, dans le meilleur des cas, sur la limite d’une somme infinie convergente*.

Donc forcément, dès qu’on cherche à estimer \(\pi\) physiquement, il y aura une marge d’erreur puisque la mesure ne peut pas être infiniment précise (sans même parler des erreurs dû au fait que notre espace de référence n'est pas euclidien)…

C’est une des grandes différences entre la théorie et la pratique physique – en théorie on sait comment se débrouiller avec l’infini, alors qu’en pratique on doit se limiter au fini. Par exemple on ne peut pas faire une expérience de durée infinie, alors qu’on peut facilement faire tendre t vers l’infini en théorie, et regarder ce que ça donne.

* Une des plus simples et élégantes est \(\pi = \sum_{n=0}^\infty \frac {8} {(4n+1)(4n+3)}\)

[DictionnairErroné]

Oui, notamment parce que le nombre \(\pi\) n’est pas facile à calculer théoriquement. Que ce soit via la longueur d’une courbe, l’estimation d’une intégrale ou l’exponentielle complexe, on retombe toujours, dans le meilleur des cas, sur la limite d’une somme infinie convergente*.

Donc forcément, dès qu’on cherche à estimer \(\pi\) physiquement, il y aura une marge d’erreur puisque la mesure ne peut pas être infiniment précise (sans même parler des erreurs dû au fait que notre espace de référence n'est pas euclidien)…

C’est une des grandes différences entre la théorie et la pratique physique – en théorie on sait comment se débrouiller avec l’infini, alors qu’en pratique on doit se limiter au fini. Par exemple on ne peut pas faire une expérience de durée infinie, alors qu’on peut facilement faire tendre t vers l’infini en théorie, et regarder ce que ça donne.

* Une des plus simples et élégantes est \(\pi = \sum_{n=0}^\infty \frac {8} {(4n+1)(4n+3)}\)

Cette formule fait-elle référence au principe de Leibniz-Gregory en faisant (4/1)-(4/3)+(4/5)-(4/7)+… que l'approximation de pi ne puisse être déterminée que par des additions successives de fractions de plus en plus petites vers l'infini. Celle de Leibniz-Gregory ressemble à un yoyo qui monte, descend et tend vers une distance précise sans la rejoindre.

Ça me fait penser à mon prof de math au secondaire qui nous avait démontré qu'il était impossible de partir du point A et se rendre au point B en divisant toujours par deux la distance restante à parcourir. Le vilain!

Je viens de lire qu'il y existe des apparitions de Pi qui n'ont aucun rapport apparent avec la circonférence:

la fréquence d’apparition de paires d’entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d’entiers comprises entre 0 et N tend vers 6/π^2, quand N tend vers l’infini.

Devient-il normal de voir apparaître pi parfois lorsqu'il est question de nombre entier puisqu'ils sont utilisés pour le calculer.

Et celui-ci

Et la méthode de Buffon: Buffon a remarqué qu’en jetant un très grand nombre d’aiguilles sur un parquet, on pouvait obtenir une approximation de π. Pour cela, il faudra utiliser des aiguilles qui ont comme longueur la largeur des lattes du parquet. La probabilité qu’une aiguille coupe le bord d’une latte serait de π.
http://www.nombrepi.com/

[Pancrace]

Cette formule fait-elle référence au principe de Leibniz-Gregory en faisant (4/1)-(4/3)+(4/5)-(4/7)+… ?

Oui c'est exactement la même après avoir regroupé les termes 2 à 2 (4/5 - 4/7 = 8/(5x7) = 8/(4n+1)(4n+3) pour n = 1 par exemple). J'ignore si Leibniz a pu la démontrer rigoureusement, aujourd'hui on prendrait le développement en séries entières de la fonction Arctg x, puis x = 1, ce qui donne pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ... = somme alternée des inverses des entiers impairs.

Un exemple encore plus célèbre est la fonction zêta de Riemann, qui fait intervenir les puissances de pi pour chaque entier pair : pi^2/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... + 1/n^2 +... La preuve est plus compliquée, si je devais la refaire sur un coin de table j'utiliserais les séries de Fourier.

Ça me fait penser à mon prof de math au secondaire qui nous avait démontré qu'il était impossible de partir du point A et se rendre au point B en divisant toujours par deux la distance restante à parcourir.

Ca ressemble au paradoxe de Zénon. En fait on a 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n + ... parce qu'à chaque fois on ajoute la moitié de ce qui'l manque pour avoir 1. On a donc l'impression de ne pas pouvoir atteindre 1 puisqu'il faut une infinité d'additions. Encore une blague de notre cerveau, qui a du mal à donner du sens aux choses qui font intervenir l'infini...

[Curieux_]

Pancrace, tu as quel cursus scolaire en mathématique ?

[Pancrace]

Tu portes bien ton pseudo !

Classique - classes préparatoires puis Master 2 maths fondamentales à la fac, puis thèse, et finalement habilitation à diriger des recherches.

[DictionnairErroné]

Devient-il normal de voir apparaître pi parfois lorsqu'il est question de nombre entier puisqu'ils sont utilisés pour le calculer.

Critique de ces théories: En 1988, dans Le Pendule de Foucault, puis dans un ouvrage de 1990 intitulé Les Limites de l'Interprétation, l'écrivain Umberto Eco tourne en dérision l'interprétation à outrance des faits avérés ou légendaires de l'histoire. Il tire des dimensions d'un kiosque à journaux pris au hasard dans sa rue, le même genre d'informations et d'analyses que celles faites parfois sur la pyramide de Khéops. Il montre ainsi que lorsqu'on s'applique à essayer de trouver des nombres remarquables comme Pi, ou la distance de la Terre à la Lune, on peut les trouver facilement, même dans un objet du quotidien.

Observation mathématique de la pyramide de Khéops, pi

Finalement, c'est comme lorsqu'on s'achète une voiture, on voie soudainement le même modèle partout!

[DictionnairErroné]

Dans le yi-king l'hexagramme en forme de Pi s'appelle Po, l'Éclatement:

L'homme vulgaire et obscur ne combat pas directement l'être noble, mais il le mine progressivement par une action imperceptible

[Curieux_]

Tu portes bien ton pseudo !

Classique - classes préparatoires puis Master 2 maths fondamentales à la fac, puis thèse, et finalement habilitation à diriger des recherches.

Ah ouais, quand même !
Merci

[DictionnairErroné]

En mathématique il est important de faire intervenir l'infini qui est appelé «Infini potentiel»

La première notion d’infini est l'infini potentiel. Quand on affirme que l'ensemble des nombres entiers (1, 2, 3, etc.) est infini, on utilise cette notion : tout nombre peut être dépassé. Si je vous demande de me donner un grand nombre, je pourrai toujours en trouver un plus grand : en lui ajoutant 1 par exemple. Cette notion permet également de considérer des sommes infinies comme : S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + etc.

Par contre, est-ce que l'infini existe réellement, «Infini actuel»? Qu'arrive-t-il si nous découpions à l'infini un atome? Est-ce que l'espace est infini?

Le véritable infini, celui que refusent les physiciens, se nomme l'infini actuel. Le mot « actuel » doit ici être pris dans le sens de « effectif », comme le «actual» anglais.
https://www.futura-sciences.com/science ... t-il-9250/

Correction: Non, c'est pas bon ça:
Finalement pouvons-nous dire que l'infini n'existe pas et que nous nous en servons pour expliquer quelque chose qui existe? C'est comme dire, nous ne comprenons pas un phénomène x mais si inventons l'infini ça résout certains problèmes.

Plutôt: L'infini est l'une des nombres constantes en mathématique, pourquoi? Si l'infini est nécessaire en mathématique, il doit bien représenter quelque chose, disons une émergence du bing-bang qui n'a pas encore été comprise mais observée en mathématique.