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PRODUIT DE DEUX VECTEURS.
En raison de l'importance du théorème des moments, nous allons le présenter sous un autre aspect. L'aire du parallélogramme `abdc` peut être considérée comme engendrée par le mouvement de `ab` au-dessus du pas `ac`, ou par celui de `ac` au-dessus du pas `ab`. Il semble donc naturel de parler de cette aire comme du produit des deux pas `ab`, `ac`. Nous avons l'habitude d'identifier un rectangle avec le produit de ses deux côtés, lorsqu'on ne tient compte que de leurs longueurs ; nous allons maintenant étendre la signification du produit, tout comme nous l'avons fait précédemment pour la signification de la somme, et considérer encore le parallélogramme contenu par deux pas, `ab`, `ac`, comme leur produit, lorsque leurs directions sont prises en compte. La grandeur de ce produit est `ab.ac.sin bac` ; comme toute autre aire, il doit être considéré comme une aire dirigée, de quantité vectorielle.
Supposons, cependant, que l'un des deux pas, disons `ac`, représente une aire perpendiculaire à lui ; alors, pour multiplier ce pas par `ab`, nous devons naturellement lui faire effectuer la translation représentée par `ab`. Ce faisant, il engendrera un volume, dont la grandeur peut être considérée comme le produit de `ac` et de la projection de `ab` sur la direction de `ac`, soit `ab.cos bac` ; étant un volume, il ne peut donc avoir que la grandeur `ab.ac.cos bac` ; c'est donc une quantité scalaire.
Nous sommes ainsi conduits à deux types de produits de deux vecteurs `ab`, `ac` : un produit vectoriel, qui peut s'écrire `V.ab.ac`, et qui est l'aire du parallélogramme dont `ab` et `ac` sont les côtés, ces deux derniers étant considérés comme des pas ; et un produit scalaire, qui peut s'écrire `S.ab.ac`, et qui est le volume tracé par une aire représentée par l'un des vecteurs, lorsqu'on lui fait effectuer le pas représenté par l'autre.
Maintenant, le moment de `ab` par rapport à `o` est `V.oa.ab` ; celui de `ac` est `V.oa.ac` ; et celui de `ad` est `V.oa.ad`, qui est `V.oa.(ab + ac)`. Par conséquent, le théorème nous dit que `V.oa(ab + ac) = V.oa.ab + V.oa.ac` ; ou, pour abréger, si nous écrivons `oa = α`, `ab = β`, `ac = γ`, le théorème est :
`Vα(β + γ) = Vαβ + Vαγ`.
Nous pouvons énoncer ce théorème en ces termes : le produit vectoriel est distributif. Et sous cette forme, la proposition peut être vue immédiatement dans la figure de la page 93, si nous posons `ab = α`, `ap = β`, `pq = γ` ; elle affirme que :
aire `abqp +` aire `pqro =` aire `abro`.
Et ceci est manifestement vrai pour leurs projections sur n'importe quel plan.
Le théorème correspondant pour le produit scalaire, à savoir que `Sα(β + γ) = Sαβ + Sαγ`, est évident si nous considérons `α` comme une aire amenée à effectuer les pas `β`, `γ`.
Mais il existe une différence très importante entre un produit vectoriel et un produit de deux quantités scalaires. À savoir, le signe d'une aire dépend du sens dans lequel on la parcourt ; une aire parcourue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est positive, une aire parcourue dans le sens des aiguilles d'une montre est négative. Or, si `V.ab.ac =` aire `abdc`, nous devons avoir, par symétrie, `V.ac.ab =` aire `acdb`, et donc `V.ac.ab = -V.ab.ac`, ou `Vγβ = -Vβγ`. Par conséquent, le signe d'un produit vectoriel est changé en inversant l'ordre des termes. Il est convenu que `Vαβ` sera un vecteur faisant face au côté d'où la rotation de `α` vers `β` semble être dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
On constatera, cependant, que `Sαβ = Sβα`, de sorte que le produit scalaire de deux vecteurs ressemble à cet égard au produit de quantités scalaires.
