Reprenons la question de
la relativité de la simultanéité.
Supposons que dans un référentiel deux éclairs soient déclenchés simultanément [au temps to], l'un au point A et l'autre au point B. Puisque leurs déclenchements sont simultanés dans ce référentiel, les lumières émises par chacun arriveront simultanément au point O milieu de [AB], ce que l'on voit dans le 3e dessin.
Pour atteindre le point O, temps de trajet de l’éclair A est Δt
A = AO/c, celui de B, Δt
B = BO/c,
comme AO = BO, Δt
A = Δt
B. Les éclairs provenant de A et de B arrivent respectivement en O aux temps
t
A = t
o + Δt
A et t
B = t
o + Δt
B, comme Δt
A = Δt
B, t
A = t
B, les éclairs arrivent simultanément en O.
Pour atteindre le point O’, le temps de trajet de l’éclair A est Δt’
A = AO’
r/c, celui de B, Δt’
B = BO’
r/c, (indice r pour réception), comme AO’
r= c Δt’
A= AO + OO’
r = (c + v) Δt
A, on obtient Δt’
A = (c + v) Δt
A , et Δt’
B = (c -v) Δt
B. Les éclairs provenant de A et de B arrivent respectivement en O’ aux temps
t’
A = t’
o + Δt’
A = (c + v) Δt
A et t’
B = t’
o + Δt’
B = t’
o + (c -v) Δt
B, comme Δt
A = Δt
B, t’
A > t’
B.
.
Einstein a raison les éclairs n’arrivent pas simultanément en O’. Toutefois ils partent simultanément de A et B au temps t’
o, si leurs réceptions ne sont pas simultanés, leurs émissions, par contre, le sont. C’est dire que deux événements (les émissions des éclairs) sont simultanés dans le référentiel du quai, comme dans celui du train. La simultanéité d’événements est donc conservée dans un changement de référentiel.
CQFD.