La relativité euclidienne : dérivation des transformations euclidiennes

[ABC]

Si tu pars du principe que la distance radiale augmente, alors les mètres des observateurs de Schwarzschild augmentent aussi.

Je ne pars pas du principe que la distance radiale augmente, mais du principe qu'une mesure de distance est égale au nombre de mètres requis pour la mesurer. Cette distance augmente quand le nombre de mètres nécessaires pour la mesurer augmente. Si tu contracte en même temps la distance séparant des objets ET les mètres qui la mesurent, la distance restent invariable.

Quelques exemples
La longueur de la circonférence du cercle vaut 4pi r > 2 pi r quand les mètres tournants mesurant cette circonférence sont contractés d'un facteur 2 par la contraction de Lorentz.

De même :

• la distance dl séparant 2 sphères de circonférence 2pir et 2pi(r+dr),
• mesurée par des observateurs de Schwarzschild,
• atteint dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 = 2 dr > dr
• quand la vitesse v = (2GM/r)^0.5 de chute libre radiale atteint la valeur v = c(3/4)^0.5
• car alors les mètres des observateurs de Schwarzschild sont contractés radialement d'un facteur 2.

Plus en détails :

• je rajoute une masse d'eau M entre 2 ballons
• asservis, via une pression p1 à l'intérieur du 1er et p2 entre le 1er et le second à la conservation de leurs circonférences (le même nombre de mètres en direction circonférentielle)
• les mètres d'un observateur de Schwarzschild sont contractés d'un facteur 2 en direction radiale par la contraction de Lorentz quand v² atteint la valeur v² = 2GM/r = 3/4 c²
• il faut donc 2 fois plus de mètres pour mesurer la distance radiale entre les 2 sphères (que quand cette masse M est négligeable)
• la distance radiale mesurée entre les 2 sphères est donc trouvée double en passant de M proche de zéro (masse des ballons) à la masse Meau = 3r/(8Gc²)

Effet ("paradoxe")de Langevin
la durée propre séparant le départ et le retour du jumeau tournant est plus courte que celle mesurée entre ces mêmes évènements par le jumeau inertiel car les horloges tournantes battent plus lentement. Leur tic-tac est dilaté. La dilatation temporelle de Lorentz donne lieu à une réduction des durées mesurées puisqu'il faut moins de tic-tac pour mesurer la "distance temporelle" entre départ et arrivée du jumeau tournant.

L'effet Sagnac c'est l'anisotropie de la vitesse de la lumière dans le référentiel tournant
Cet effet est analogue à l'anisotropie de la vitesse de la lumière dans le référentiel de Schwarzschild. Plus précisément:

L'effet Sagnac dans le référentiel tournant, c'est le fait que mesurée avec les mètres, les durées et la simultanéité des observateurs inertiels, la vitesse de la lumière par rapport aux observateurs tournants vaut c+v dans un sens de rotation et c-v dans l'autre sens (ça devrait te plaire. On est en plein dans des effets suggérant un éther).

Tu as exactement le même phénomène dans l'espace-temps de Schwarzschild

• si tu mesures la vitesse de la lumière par rapport aux observateurs de Schwarzschild...
• ...mais avec les distances, les durées et la simultanéité des observateurs chute libre radiale partis de très haut à vitesse nulle,
• avec ces mesures, la lumière tombe à vitesse c+v et remonte à vitesse c-v.

On retrouve le fait connu que, sur la sphère de Shwarzschild, la lumière fait du surplace (c-v = 0. Elle ne peut plus remonter).

J'ai soigneusement détaillé, dans un précédent post, la comparaison entre référentiel tournant et référentiel de Schwarzschild (post en apparence inutile) après avoir soigneusement détaillé les effets dans le référntiel tournant (dans un post encore antérieur). Ce serait bien de converger en moins de 15 posts.

[externo]

Si tu pars du principe que la distance radiale augmente, alors les mètres des observateurs de Schwarzschild augmentent aussi.

Je ne pars pas du principe que la distance radiale augmente, mais du principe qu'une mesure de distance est égale au nombre de mètres requis pour la mesurer.

Et bien justement le nombre de mètres nécessaires à mesurer la distance radiale dans l'espace-temps de Schwarzschild n'augmente jamais. C'est seulement dans ton imagination qu'il augmente.
Tu fais une analogie avec un référentiel tournant, et on ne sait pourquoi tu extrapoles cette analogie à l'espace-temps de Schwarzschild comme s'il se comportait de la même façon, mais ce n'est pas le cas.

J'ai soigneusement détaillé, dans un précédent post, la comparaison entre référentiel tournant et référentiel de Schwarzschild (post en apparence inutile) après avoir soigneusement détaillé les effets dans le référntiel tournant (dans un post encore antérieur). Ce serait bien de converger en moins de 15 posts.

Ce que tu racontes du référentiel tournant est vrai, mais ce que tu racontes du référentiel de Schwarzschild ne l'est pas.

De même :

• la distance dl séparant 2 sphères de circonférence 2pir et 2pi(r+dr),
• mesurée par des observateurs de Schwarzschild,
• atteint dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 = 2 dr > dr
• quand la vitesse v = (2GM/r)^0.5 de chute libre radiale atteint la valeur v = c(3/4)^0.5
• car alors les mètres des observateurs de Schwarzschild sont contractés radialement d'un facteur 2.

La longueur propre du mètre étalon de l'observateur de Schwarzschild est dl' = dr /(1-v²/c²)^0.5 > dr. Si la distance dl augmente, dl' augmente aussi.

[ABC]

Le nombre de mètres nécessaires à mesurer la distance radiale dans l'espace-temps de Schwarzschild n'augmente jamais.

Donc la distance dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 entre deux sphères de circonférence 2pi r et 2pi (r+dr), cad le nombre de mètres en direction radiale la mesurant, n'augmente pas. La distance dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 reste égale à dr quand 1/(1-v²/c²) vaut 2. Mmmm...

Ce que tu racontes du référentiel tournant est vrai, mais ce que tu racontes du référentiel de Schwarzschild ne l'est pas.

Et c'est le même principe. Une distance en mètres, c'est le nombre de mètres requis pour la mesurer. Quand une distance passe, par exemple, de 2 m à 3 m, cela signifie qu'il faut mettre bout à bout 3 mètres au lieu de 2 pour la mesurer.

C'est bien, en tout cas, que tu aies concentré ta réponse sur un point particulier (très important d'ailleurs). Peut-être qu'on arrivera à converger plus vite de cette façon. On va voir.

[externo]

Le nombre de mètres nécessaires à mesurer la distance radiale dans l'espace-temps de Schwarzschild n'augmente jamais.

Donc la distance dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 entre deux sphères de circonférence 2pi r et 2pi (r+dr), cad le nombre de mètres en direction radiale la mesurant, n'augmente pas. La distance dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 reste égale à dr quand 1/(1-v²/c²) vaut 2. Mmmm...

La longueur des mètres augmente en même temps que la distance dl.

Ce que tu racontes du référentiel tournant est vrai, mais ce que tu racontes du référentiel de Schwarzschild ne l'est pas.

Et c'est le même principe. Une distance en mètres, c'est le nombre de mètres requis pour la mesurer. Quand une distance passe, par exemple, de 2 m à 3 m, cela signifie qu'il faut mettre bout à bout 3 mètres au lieu de 2 pour la mesurer.

Si tu pars du principe que la distance radiale augmente, alors la longueur des mètres augmente elle-aussi, c'est l'espace qui s'allonge ou se contracte et la matière subit la déformation, donc les graduations du mètre s'allongent et la mesure reste la même.

Quelle est la différence entre l'évolution de la longueur propre spatiale dl et l'évolution de la longueur propre dl' des mètres ?

On les mesure de la même manière : dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 et dl' = dr'/(1-v²/c²)^0.5
dl et dl' sont les longueurs propres
dr et dr' sont les longueurs contractées

[externo]

J'ai supprimé la "dérivation" en tête de ce fil, c'était en fait une hallucination de Gemini. Il est incapable de faire la dérivation.

Une approche simple est de la refaire comme Landau & Lifshitz

https://en.wikipedia.org/wiki/Derivatio ... z_solution

`cos²θ + sin²θ = 1`

`t² + x² = t'² + x'²`
La solution la plus générale est :
`x = x' cos θ + ct' sin θ`, `ct = - x' sin θ + ct' cos θ`

Pour trouver la valeur de `θ` dans un contexte physique, on considère la progression de l'origine du référentiel `S'`, c'est-à-dire le point `x' = 0`. Dans ce cas, on a `x = vt'` (au lieu de `x =vt`) et les équations deviennent :

`vt' = ct' sin θ`, `ct = ct' cos θ`

La première équation donne :
`v/c = sin θ = β`

`cos² θ = 1 - sin θ²` = `√(1-(v/c)²) = 1/(γ²)`
On remplace :
`x = x' cos θ + ct' sin θ`, `ct = - x' sin θ + ct' cos θ`
`x = (x') / γ + β ct'`, `ct = - β x' + ct/γ`

Pourquoi `x = vt'`
Parce que `t'` marque le temps absolu. Le temps `t` correspond au temps propre du référentiel mouvant et n'est pas pertinent pour déterminer les distances physiques car il les déforme par contraction.

[ABC]

Si distance radiale augmente, alors la longueur des mètres augmente elle-aussi.

Donc la distance n'augmente pas puisque le nombre de mètres pour la mesurer reste le même. Contradi.traction. (1)

La longueur des mètres augmente en même temps que la distance dl.
On les mesure de la même manière : dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 et dl' = dr'/(1-v²/c²)^0.5
dl et dl' sont les longueurs propres

C'est quoi dl' et dr' ???? Je n'ai pas besoin d'un deuxième couple de sphères.

• En direction circonférentielle, les circonférences 2pi r et 2pi (r+dr) restent les mêmes quand on augmente la masse M. En effet, en direction circonférentielle, les observateurs de Schwarzschild ont une vitesse nulle par rapport au référentiel privilégié des observateurs chute libre. Les mètres des observateurs de Schwarzschild ne sont donc pas contractés en direction circonférentielle. Donc la circonférence 2pi r mesurée ne change pas.
  .
• Au contraire, en direction radiale, les observateurs de Schwarzschild ont une vitesse radiale v = (2GM/r)^0.5 par rapport au référentiel privilégié des observateurs chute libre dans cette direction. A cause de leur vitesse radiale v, le mètre des observateurs de Schwarzschild est contracté d'un facteur 2 en direction radiale quand leur vitesse radiale v atteint la valeur v = c(3/4)^0.5. La distance radiale dl devient alors dl = 2 dr au lieu de dr. La distance radiale est doublée car il faut 2 fois plus de mètres contractés par la contraction de Lorentz en direction radiale pour la mesurer.

C'est l'exact analogue du référentiel tournant où il se passe la mème chose en permutant le rôle des directions radiales et circonférentielles. En effet, dans le référentiel tournant, la vitesse v des observateurs tournants est orientée dans le sens circonférentiel par rapport au référentiel inertiel (le référentiel chute libre privilégié de l'espace-temps de Minkowski où l'axe de rotation est fixe).

(1) Il n'existe pas d'observateur absolu pour mesurer la déformation d'un espace-temps 4D (et encore moins la déformation d'espace 3D propre à un référentiel). Les images de vulgarisation présentent un espace-temps objectivement courbé. Cela favorise une vision objective erronée. La courbure d'espace-temps (et plus encore d'espace 3D propre à un référentiel) est mesurée de l'intérieur de l'espace-temps par les mètres des observateurs qui s'y trouvent.

Nota : J'en suis déjà à 7 réponses détaillées concernant la contraction radiale des mètres des observateurs de Schwarzschild du fait de leur vitesse radiale v par rapport aux observateurs chute libre radiale (partis de "très haut" à vitesse nulle). Pour converger plus vite, il serait pas mal que tu prennes le temps de les lire et de les comprendre plutôt que de continuer à répondre à toute vitesse.

[externo]

dl et dl' sont les longueurs propres

C'est quoi dl' et dr' ???? Je n'ai pas besoin d'un deuxième couple de sphères.

C'est la longueur d'une règle mesurée par la métrique de Schwarzschild.
Pour dt = 0 la longueur propre de la règle de longueur dr' vaut dl' = dr'/(1-v²/c²)^0.5

• En direction circonférentielle, les circonférences 2pi r et 2pi (r+dr) restent les mêmes quand on augmente la masse M. En effet, en direction circonférentielle, les observateurs de Schwarzschild ont une vitesse nulle par rapport au référentiel privilégié des observateurs chute libre. Les mètres des observateurs de Schwarzschild ne sont donc pas contractés en direction circonférentielle. Donc la circonférence 2pi r mesurée ne change pas.
  .

Les circonférences ne restent pas les mêmes, elles diminuent. C'est la force des marées. La force des marées étire radialement les objets en chute libre et les contracte orthoradialement. Elle contracte aussi orthoradialement les objets immobiles en plus de leur contraction radiale.

Prenons un cercle.
Pour ajouter la gravitation, on soustrait une tranche de gateau et on a un cercle plus petit. Voir la séquence des 5 illustrations :
https://www.relativity.li/en/epstein2/read/h0_en/h6_en
ON prend une feuille ronde, on découpe une part de gâteau. On cout les bords et on a l'espace courbe. Il est plus petit sans la part de gâteau qu'avec la part de gâteau et il n'est plus plat.

L'espace se contracte :

https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg- ... 287724f-lq
Les longueurs radiales en suivant la courbure de l'espace-temps restent les longueurs propres mais la circonférence diminue c'est à ça qu'on voit que l'espace-temps est plus dense dans un champ de gravitation. La symétrie sphérique redistribue l'augmentation de densité sur la circonférence et engendre une courbure espace-espace tout en maintenant les longueurs radiales normales mais incurvées.

Autre chose :
Dans un champ de gravitation, la vitesse de la lumière varie dans le sens circonférentiel aussi :
Vitesse de la lumière radiale sur un aller-retour `≈ c(1 - (2α)/r)`
Vitesse de la lumière circonférentielle unidirectionnelle `≈ c(1 - α/r)`
https://www.relativity.li/en/epstein2/read/g0_en/g5_en
Il n'y a pas ça avec un cercle qui tourne.

La courbure d'espace-temps (et plus encore d'espace 3D propre à un référentiel) est mesurée de l'intérieur de l'espace-temps par les mètres des observateurs qui s'y trouvent.

Les mètres des observateurs ne mesurent pas la courbure, ils la subissent.

[ABC]

Les circonférences ne restent pas les mêmes, elles diminuent.

Non. Prends en compte la partie spatiale de la métrique de Schwarzschild dλ² = dr²/(1-v²/c²) + r² dthêta² + r² cos²(thêta) dphi²

• r dthêta ne dépend pas de la masse M. r dthêta reste constant (lui) quand la masse M augmente. Par intégration de r dthêta de 0 à 2pi, les circonférences des sphères de coordonnées radiales r et r+dr gardent leurs valeurs 2pi r et 2pi (r+dr) quelle que soit M.
  .
  Au contraire, radialement
  .
• quand la masse passe de 0 à M, la distance radiale propre dl entre les 2 sphères passe de dl = dr à dl = dr/(1-2GM/(rc²))^0.5 > dr parce que la longueur impropre (mesurée dans le référentiel chute libre) des mètres qui mesurent cette distance diminue.

Again, en permutant direction radiale et direction circonférentielle, on a le même phénomène dans le référentiel tournant (que tu me semblais avoir compris).

La circonférence du cercle de rayon r, mesurée dans le référentiel tournant, augmente avec sa vitesse v = oméga r par rapport au référentiel inertiel. Pourquoi ? Parce que les mètres tournants se contractent en direction circonférentielle (leur longueur impropre mesurée dans le référentiel inertiel=chute libre dans l'ET de Minkowski, diminue) et qu'il en faut donc plus pour mesurer cette circonférence.

Le rayon reste constant lui, car la vitesse d'un mètre tournant est nulle en direction radiale par rapport au référentiel inertiel (chute libre dans l'espace-temps de Minkowski). Les mètres tournants ne se contractent donc pas en direction radiale (leur longueur impropre, mesurée dans le référentiel inertiel ne change pas). De ce fait, mesuré par les observateurs tournants, le rayon du cercle de rayon r dans le référentiel inertiel, reste constant et égal à r quand on augmente leur vitesse.

C'est similaire au cas des mètres des observateurs de Schwarzschild en direction circonférentielle. Ils ont une vitesse nulle par rapport au référentiel chute libre radiale. Cette vitesse circonférentielle reste nulle quand on augmente la masse M. Donc les mètres des observateurs de Schwarzschild ne se contractent pas en direction circonférentielle quand on augmente M. Cela explique pourquoi, dans le référentiel de Schwarzschild, la circonférence de la sphère de coordonnée radiale r garde la longueur constante 2pi r quand on augmente la masse M.

[externo]

Les circonférences ne restent pas les mêmes, elles diminuent.

Non. Prends en compte la partie spatiale de la métrique de Schwarzschild dλ² = dr²/(1-v²/c²) + r² dthêta² + r² cos²(thêta) dphi²

• r dthêta ne dépend pas de la masse M. r dthêta reste constant (lui) quand la masse M augmente. Par intégration de r dthêta de 0 à 2pi, les circonférences des sphères de coordonnées radiales r et r+dr gardent leurs valeurs 2pi r et 2pi (r+dr) quelle que soit M.

dr est la longueur radiale mesurée à vol d'oiseau.
Les circonférences sont toujours mesurées radialement suivant dr, donc il n'y a pas besoin d'appliquer de correction à la mesure de dr, cela ne veut pas dire que la circonférence d'un objet ne diminue pas. Ca veut simplement dire que r dthêta mesure longueur propre circonférentielle. On voit bien sur limage plus haut que dr est une mesure à vol d'oiseau et que les rayons des cercles sont mesurés selon dr. Ce qui ne diminue pas c'est le rayon mesuré en suivant la courbe de l'espace.

C'est similaire au cas des mètres des observateurs de Schwarzschild en direction circonférentielle. Ils ont une vitesse nulle par rapport au référentiel chute libre radiale. Cette vitesse circonférentielle reste nulle quand on augmente la masse M. Donc les mètres des observateurs de Schwarzschild ne se contractent pas en direction circonférentielle quand on augmente M. Cela explique pourquoi, dans le référentiel de Schwarzschild, la circonférence de la sphère de coordonnée radiale r garde la longueur constante 2pi r quand on augmente la masse M.

Ton analogie est mal faite.
Les mètres tournant se contractent parce qu'ils tournent, les mètres de Schwarzschild parce que l'espace est courbe. Les mètres tournants se contractent/courbent tout seul, indépendamment de leur environnement, alors que les mètres de Schwarzschild se contractent/courbent avec leur environnement.
Un disque en rotation serait la bonne analogie, car alors les mètres ET le disque se déforment ensemble. C'est cette analogie que tu dois utiliser pour imager la RG.

C'est d'ailleurs là qu'on voit que l'espace-temps est euclidien. Cette contraction/courbure est identique en RR et en RG et elle est euclidienne.
Un disque tournant se contracte circonférentiellement d'après la RR. Or il se déforme également selon le changement de métrique de la RG. Ce qui prouve que la contraction des longueurs n'a pas pour origine une prétendue nouvelle ligne de simultanéité, mais qu'elle a exactement la même origine qu'en RG, c'est à dire un plongement dans une 4e dimension euclidienne scalaire.
Un objet en mouvement rectiligne est incliné dans l'espace-temps mais n'a pas de courbure intrinsèque, le temps étant le scalaire de densité spatial.
Un disque tournant a une courbure intrinsèque par symétrie sphérique de son changement de densité scalaire
L'espace autour d'un trou noir a une courbure intrinsèque par symétrie sphérique de son changement de densité scalaire.

[ABC]

r dthêta mesure une longueur propre circonférentielle.

Oui et dr/(1-v²/c²)^0.5 > dr une longueur propre radiale,
comme r dthêta/(1-v²/c²)^0.5 > r dthêta (en direction circonférentielle) dans le référentiel tournant.

dr est la longueur radiale mesurée à vol d'oiseau.

Again

• Circonférence de la sphère repérée par r : C(r) = intégrale de r dthêta de 0 à 2pi = 2pi r
• dr = dC/(2pi) est la différence de circonférence entre 2 sphères voisines divisée par 2pi
• dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 est la distance radiale entre ces 2 sphères mesurée par un observateur de Schwarzschild

Les mètres tournant se contractent parce qu'ils tournent, les mètres de Schwarzschild parce que l'espace est courbe.

J'y répondrai quand sera réglé le point ci-dessus.

[externo]

r dthêta mesure une longueur propre circonférentielle.

Oui et dr/(1-v²/c²)^0.5 > dr une longueur propre radiale,

Radiale ET inclinée, voir l'image plus haut. dr et ds ne sont pas colinéaires.

dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 est la distance radiale entre ces 2 sphères mesurée par un observateur de Schwarzschild

Il y a deux distances radiales.
1-dr qui est une distance non physique qui est la continuation de l'orientation de l'espace à l'infini.
2-dl qui est une distance physique radiale qui descend en pente le long du paraboloide.
L'espace est courbe, mesuré à vol d'oiseau les longueur font dr.
En suivent la courbure les longueurs font dl.

Circonférence de la sphère repérée par r : C(r) = intégrale de r dthêta de 0 à 2pi = 2pi r
dr = dC/(2pi) est la différence de circonférence entre 2 sphères voisines divisée par 2pi

Oui, mais le rayon physique de la sphère n'est pas r mais r/(1-v²/c²)^0.5

[ABC]

dr qui est une distance non physique qui est la continuation de l'orientation de l'espace à l'infini.

Physiquement

• r c'est 1/(2pi) la circonférence de la sphère associée au rayon r. Elle s'obtient en intégrant r dthêta de 0 à 2pi et ça donne 2 pi r.
• dr c'est 1/(2pi) la différence de circonférence entre deux sphères associées aux rayons r et r+dr
• dr c'est aussi la distance radiale propre ente ces 2 sphères mesurée dans le référentiel chute libre
• dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 > dr est la distance radiale propre mesurée entre ces deux sphères par un observateur de Schwarzschild.
  Les mètres d'un observateur de Schwarzschild ont donc, dans le référentiel chute libre, une longueur impropre (1-v²/c²)^0.5

Le rayon physique de la sphère n'est pas r mais r/(1-v²/c²)^0.5

• Dans le référentiel de Schwarzschild, la distance radiale mesurée entre l'observateur et une sphère de rayon r tend vers plus l'infini quand r tend vers Rs (cad quand cette sphère se rapproche de la sphère de Schwarzschild).
  
  Dans le référentiel de Schwarzschild, il n'y a donc pas de rayon physique au sens distance de l'observateur à la singularité centrale, mais Il y a une circonférence physique valant 2pi r.
  .
• Par contre, dans le référentiel chute libre, il y a bien un rayon physique allant de la sphère repérée r à la singularité. Il vaut r.

[externo]

dr c'est 1/(2pi) la différence de circonférence entre deux sphères associées aux rayons r et r+dr
dr c'est aussi la distance radiale propre ente ces 2 sphères mesurée dans le référentiel chute libre
dl = dr/(1-v²/c²)^0.5 > dr est la distance radiale propre mesurée entre ces deux sphères par un observateur de Schwarzschild.
Les mètres d'un observateur de Schwarzschild ont donc, dans le référentiel chute libre, une longueur impropre (1-v²/c²)^0.5

dr est un vecteur et il a une orientation. C'est sa norme qui est la différence de circonférence.

dr c'est aussi la distance radiale propre ente ces 2 sphères mesurée dans le référentiel chute libre

C'est un peu compliqué.
D'après la métrique de Schwarzschild, un mètre mesuré à l'infini fait un mètre. Puis quand on s'approche de l'horizon sa longueur diminue. Donc le dr qui mesure une règle (mettons que ce soit une longueur) est de 1 mètre à l'infini et sera plus court plus bas.
D'après la métrique de Painlevé, un mètre mesuré à l'infini fait un mètre. Puis quand on s'approche de l'horizon il fait toujours 1 mètre, le dr mesuré vaut toujours 1 mètre. Mais cela ne dit rien sur l'orientation de la mesure. dT est peut-être nul sur cette mesure là, mais l'axe spatial de mesure en ce point est une intégration de tous les dr +vdT depuis l'infini, et ce n'est pas l'axe à t constant.

Voilà une autre façon de le dire qui vaut ce qu'elle vaut (c'est Gemini)

Distance radiale "constante" : Dans les coordonnées de Painlevé, le mètre-étalon semble conserver sa longueur de 1 mètre à toutes les distances du trou noir. Cela est dû au fait que la coordonnée r dans la métrique de Painlevé ne mesure pas directement la distance radiale.
Orientation de la mesure : Vous avez raison de souligner que dr dans les coordonnées de Painlevé ne correspond pas nécessairement à une mesure purement radiale. Le vecteur (dr + √(Rs/r)dT) représente la projection d'un déplacement infinitésimal sur la direction radiale vue par un observateur en chute libre. Cet observateur "bascule" à mesure qu'il tombe, ce qui modifie l'orientation de sa "règle" par rapport à la direction radiale de Schwarzschild.
Intégration des déplacements : L'axe spatial de mesure en un point donné dans les coordonnées de Painlevé est effectivement le résultat d'une intégration de tous les déplacements (dr + √(Rs/r)dT) depuis l'infini. Cela signifie que la "règle" de l'observateur en chute libre a subi une rotation progressive par rapport à la direction radiale de Schwarzschild.

Le rayon physique de la sphère n'est pas r mais r/(1-v²/c²)^0.5

• Dans le référentiel de Schwarzschild, la distance radiale mesurée entre l'observateur et une sphère de rayon r tend vers plus l'infini quand r tend vers Rs (cad quand cette sphère se rapproche de la sphère de Schwarzschild).
  
  Dans le référentiel de Schwarzschild, il n'y a donc pas de rayon physique au sens distance de l'observateur à la singularité centrale, mais Il y a une circonférence physique valant 2pi r.

Oui.

.
[*]Par contre, dans le référentiel chute libre, il y a bien un rayon physique allant de la sphère repérée r à la singularité. Il vaut r.[/list]

Il vaut r/(1-v²/c²)^0.5
Une longueur propre est une longueur propre, elle est invariante, donc si tu trouves une longueur propre dans un système de coordonnées tu dois retrouver la même dans un autre. La longueur sera donc infinie dans les deux systèmes de coordonnées (et bien entendu l'horizon n'est pas franchissable).

Dire que le chuteur mesure un espace euclidien veut dire qu'il mesure les mètres selon leur longueur propre, sinon par définition il ne mesurerait pas un espace euclidien. En RG il n'est pas question de supposer comme tu le fais que les mètres de Schwarzschild subissent une contraction de Lorentz, ils subissent la contraction de la gravitation. Tu peux faire l'analogie entre les deux, mais un spécialiste va te dire que cette analogie est fausse et que la raison de la contraction de la gravitation est le changement de la géométrie de l'espace-temps.

[ABC]

le dr qui mesure une règle

Ce n'est pas le dr qui mesure une règle mais une règle qui mesure le dr.

Donc où vois-tu que le mètre étalon est contracté et pas l'espace ?

Tu es dans une pièce de 4 m de longueur et tu contractes la pièce et les mètres étalon qui servent à la mesurer d'un facteur 2. Quelle est la nouvelle longueur de ta nouvelle pièce mesurée avec tes nouveaux mètres étalon ?

Je n'en dis pas plus pour l'instant ça ne servirait absolument à rien. Plusieurs points ne sont pas compris du tout, du tout, du tout (dans le référentiel chute libre, quel est le rayon physique allant de la sphère de Schwarzschild à la singularité centrale par exemple ?).

[externo]

Donc où vois-tu que le mètre étalon est contracté et pas l'espace ?

Tu es dans une pièce de 4 m de longueur et tu contractes la pièce et les mètres étalon qui servent à la mesurer d'un facteur 2. Quelle est la nouvelle longueur de ta nouvelle pièce mesurée avec tes nouveaux mètres étalon ?

4 m.

Je n'en dis pas plus pour l'instant ça ne servirait absolument à rien. Plusieurs points ne sont pas compris du tout, du tout, du tout (dans le référentiel chute libre, quel est le rayon physique allant de la sphère de Schwarzschild à la singularité centrale par exemple ?).

En RG la contraction des longueurs et la dilatation du temps obéissent à une déformation euclidienne de l'espace-temps, mais la communauté scientifique le cache en prétendant que l'espace se déforme dans une dimension euclidienne w quand les équations montrent que c'est dans le temps. Elle est obligée de le cacher sous peine de reconnaître que toute son interprétation est fausse depuis la RR.

Quant à toi, je ne sais pas d'où te viennent ces histoires de mètres étalons qui se contractent et pas l'espace, alors que la modélisation de la contraction des longueurs de la RG est faite par le paraboloide de Flamm, donc par une déformation de l'espace.

[ABC]

Tu es dans une pièce de 4 m de longueur et tu contractes la pièce et les mètres étalon qui servent à la mesurer d'un facteur 2. Quelle est la nouvelle longueur de ta nouvelle pièce mesurée avec tes nouveaux mètres étalon ?

4 m.

Quant à toi, je ne sais pas d'où te viennent ces histoires de mètres étalons qui se contractent et pas l'espace.

Tu viens d'en donner la réponse ci-dessus, mais bon... ...je change de méthode pour tenter de décoincer l'échange.

• Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon radiaux d'observateurs de Schwarzschild mesurant la distance radiale entre une sphère de paramètre r1 = 100 m et une sphère de paramètre r2 = 101 m sachant que 2GM/r = (3/4) c² où r = (r1+r2)/2 ?
  .
• Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon radiaux d'observateurs chute libre radiale mesurant la distance radiale entre ces 2 sphères.
  .
• Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon circonférentiels mesurant la circonférence de la sphère de paramètre r1=100 m
  • quand il s'agit des mètre étalon des observateurs de Schwarzschild
  • quand il s'agit des mètres étalon des observateurs chute libre radiale (partis de "très haut" à vitesse nulle)

Il faut commencer par se mettre d'accord sur la réponse à ces questions toutes simples avant de chercher à répondre à des questions un peu moins simples.

[externo]

• Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon radiaux d'observateurs de Schwarzschild mesurant la distance radiale entre une sphère de paramètre r1 = 100 m et une sphère de paramètre r2 = 101 m sachant que 2GM/r = (3/4) c² où r = (r1+r2)/2 ?
  .

2

[*]Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon radiaux d'observateurs chute libre radiale mesurant la distance radiale entre ces 2 sphères.
.

1

Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon circonférentiels mesurant la circonférence de la sphère de paramètre r1=100 m
quand il s'agit des mètre étalon des observateurs de Schwarzschild

628

quand il s'agit des mètres étalon des observateurs chute libre radiale (partis de "très haut" à vitesse nulle)

1257

Ce n'est pas le dr qui mesure une règle mais une règle qui mesure le dr.

dr ne représente pas la longueur mesurée par les mètres étalons de Schwarzschild mais la longueur mesurée par le mètre étalon de l'observateur à l'infini. Son mètre à lui mesure que les mètres de Schwarzschild rétrécissent parce qu'il continue partout de les mesurer à t constant alors que l'orientation de l'espace à changé et qu'il faut les mesurer à T constant pour trouver la bonne longueur. Le chuteur fait la mesure à T constant donc trouve la bonne longueur (il n'y a pas de facteur d'échelle correctif dans sa mesure, elle donne directement la longueur propre)

[externo]

Alain Connes s'est rendu compte qu'en utilisant la géométrie non commutative des quaternions on fait émerger tout le modèle standard.

https://www.futura-sciences.com/science ... 3-3-60646/
https://forums.futura-sciences.com/phys ... onnes.html

https://arxiv.org/pdf/0706.3688
https://alainconnes.org/wp-content/uplo ... bigpdf.pdf
Et les physiciens s'en fichent.
Pourquoi ?
Ils ont peut-être compris que cela imposait un référentiel privilégié.

The idea of introducing non-commutativity in space-time (or æther, call it as you want) is not new, and it as already been deeply investigated. I can recommend the recent work of David Viennot (UTINAM institut) or the work of Alain Cones (see e.g. “Geometry and the quantum, Alain Connes, Foundations of mathematics and physics one century after Ħilbert, pp. 159–196, Springer, Cham, 2018.”)https://www.qeios.com/read/RUHA8I

**Le problème du doublement des fermions nécessite (cf. [2], [11]) de traverser le continuum 4-dimensionnel ordinaire par un espace de dimension K-théorique 6. Nous avons montré dans cet article que la classification des géométries non commutatives finies de dimension K-théorique 6 sélectionne les algèbres qui sont des formes réelles de Mk(C) ⊕ Mk(C) agissant dans l'espace de Hilbert de dimension 2k² par multiplication à gauche, ainsi qu'une isométrie anti-linéaire spécifique. Cela prédit que le nombre de fermions par génération est un carré et, sous notre hypothèse sur le rôle des quaternions, le cas le plus simple est celui où k = 4, ce qui donne la géométrie non commutative du modèle standard dans tous ses détails, y compris les représentations des fermions et des bosons et les hypercharges. Bien que nous ayons pu trouver un chemin court vers le modèle standard couplé à la gravité à partir de principes géométriques simples en utilisant la géométrie non commutative et l'action spectrale, il reste quelques bifurcations où le choix que nous avons fait nécessiterait une meilleure justification. La liste est la suivante : **

Pourquoi H : Le corps H des quaternions joue un rôle important dans notre construction, puisque nous avons supposé que la graduation et la forme réelle proviennent du caractère quaternionique de W. Cela demande une meilleure compréhension. Le rôle des quaternions dans la classification des instantons ([1]) est un point de départ possible, ainsi que le rôle des symétries discrètes (cf. [15]).
https://arxiv.org/pdf/0706.3688

[ABC]

Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon radiaux d'observateurs chute libre radiale mesurant la distance radiale entre une sphère de paramètre r1 = 100 m et une sphère de paramètre r2 = 101 m ?

1

Oui.
δr = r2 - r1 est la distance radiale entre les 2 sphères quand elle est mesurée avec les mètres étalon des observateurs chute libre.

Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon radiaux d'observateurs de Schwarzschild mesurant la distance radiale entre la sphère de paramètre r1 = 100 m et la sphère de paramètre r2 = 101 m sachant que 2GM/r = (3/4) c² où r = (r1+r2)/2 ?

2

Oui.
D'accord aussi sur cette réponse. Mesurés dans le référentiel chute libre radiale, pour une vitesse v telle que v² = 2GM/r = (3/4) c², les mètres étalon de Schwarzschild ont (dans le référentiel chute libre) une longueur impropre contractée de 50 cm en direction radiale.

Il faut donc effectivement 2 fois plus de mètres étalon de Schwarzshild pour couvrir la distance radiale de δr = 1 m entre les 2 sphères (quand cette distance radiale entre les 2 sphères est, au contraire, mesurée avec les mètres étalon des observateurs chute libre radiale).

Quel est, selon toi, le nombre de mètres étalon circonférentiels mesurant la circonférence de la sphère de paramètre r1=100 m quand il s'agit des mètres étalon des observateurs de Schwarzschild ?

628

Oui, 2pi r (résultat d'intégration de r dthêta de 0 à 2pi)

quand il s'agit des mètres étalon des observateurs chute libre radiale (partis de "très haut" à vitesse nulle)

1257

La non par contre. La métrique de l'espace 3D des observateurs chute libre est euclidienne, donc C = 2 pi r = 628 m aussi dans ce référentiel.

On remarque donc que la circonférence d'une sphère de paramètre r est la même dans les 2 référentiels. C'est normal. Dans le référentiel chute libre, en direction circonférentielle, les mètres étalon de Schwarzschild ont une longueur impropre de 1m puisque leur vitesse est nulle dans cette direction par rapport au référentiel chute libre radiale (pas de contraction de Lorentz des métres étalon de Schwarzschild en direction circonférentielle).

Ce n'est pas le dr qui mesure une règle mais une règle qui mesure le dr.

dr ne représente pas la longueur mesurée par les mètres étalons de Schwarzschild mais la longueur mesurée par le mètre étalon de l'observateur à l'infini.

Tu as pourtant trouvé la bonne réponse un peu plus haut. La distance δr entre les sphères de coordonnées r1 = 100 m et r2 = 102 m vaut bien δr = r2 - r1 = 1 mètre étalon des observateurs chute libre radiale.

dr est la distance radiale, mesurée avec les mètres étalon du référentiel chute libre, entre 2 sphères repérées par r et r+dr. Elles ont des circonférences 2pi r et 2pi (r+dr) (circonférences identiques dans les 2 référentiels).

On y est presque. Le reste est plus une question de goût (ou pas) pour une analogie qui, par ailleurs, marche impeccablement (1).

(1) En fait, il y a une vingtaine d'années, j'avais trouvé l'expression de la métrique de Painlevé grâce à l'analogie d'un éther en chute libre radiale (partant de très haut à vitesse nulle) avant d'apprendre, par un forumeur probablement physicien, que cette métrique existait déjà et portait ce nom.

[externo]

On y est presque. Le reste est plus une question de goût (ou pas) pour une analogie qui, par ailleurs, marche impeccablement (1).

On n'y est pas.
La réponse à la question 2 est 1 parce que le mètre étalon en chute libre est étiré par la force des marées et fait en fait 2 mètres.
La réponse à la question 4 est 1257 parce que le mètre étalon en chute libre est contracté orthoradialement par la force des marées et fait en fait 0,5 mètres.

La réponse à la question 1 est 2 parce que si r = 1 mètre la longueur propre entre les deux sphères est 2 mètres et il faut donc deux mètres de 1 mètre chacun pour la mesurer, et non parce que les mètres étalons seraient contractés de 50 cm.

Si la longueur r entre les sphères dans les coordonnées de Schwarzshild est 1 mètre cela veut dire que la longueur propre entre ces sphères est 2 mètres dans l'exemple donné. La métrique ne donne pas les longueurs mesurées localement par les mètres étalons immobiles mais celles données par un mètre étalon situé à l'infini. L'axe r est la coordonnée d'espace d'un objet situé à l'infini. C'est une règle idéale qui ne prend pas en compte la contraction.
C'est comme si tu fais passer par dessus une dépression un long mètre qui mesure les longueurs horizontales. Le mètre part d'un point éloigné où le terrain est plat et commence à mesurer. Au fur et à mesure que le terrain penche la mesure des mètres locaux qui balisent le terrain ne sera plus faite correctement par le long mètre, il continuera à mesurer des longueurs horizontales et les mètres locaux lui paraitront plus courts par perspective. Mais les mètres locaux et le terrain penché font corps, ils sont tous les deux plus longs que ce que mesure le long mètre. La contraction n'est qu'illusoire, rien ne se contracte.

Si tu n'es pas d'accord avec ma façon de voir les choses, il va falloir aller chercher dans des articles en ligne pour tirer cela au clair.

[ABC]

La réponse à la question [concernant le nombre de mètres en chute libre mesurant le périmètre d'un cerlce de paramètre r = 100 m] est 1257 parce que le mètre étalon en chute libre est contracté orthoradialement.

Non. La métrique spatiale du référentiel chute libre radiale est euclidienne.

Gullstrand Painlevé coordinates

The spatial metric (i.e. the restriction of the metric g|t = tr on the surface where tr is constant) is simply the flat metric expressed in spherical polar coordinates.

Quand tu es affirmatif sur un sujet, il te faudrait vérifier systématiquement que ce que tu écris est juste... donc cesser de faire reposer tes affirmations sur ton intime conviction. Tu as pu le constater à de nombreuses reprises, ce n'est pas ce n'est pas une méthode fiable.

• Le rayon de la sphère de paramètre r = 100 m existe et vaut r= 100 m quand il est mesuré avec des mètres étalon en chute libre radiale (et non r/(1-v²/c²)^0.5, soit + 00 sur la sphère de Schwarschild, erreur que tu as maintenant corrigée).
  .
• Comme il se doit dans un espace 3D euclidien (l'espace 3D chute libre radiale), la circonférence de la sphère vaut 2pi r = 628 m quand elle est mesurée par les mètres étalons en chute libre radiale orientés circonférentiellement

Je ne corrige pas tes autres erreurs pour l'instant.

[externo]

La réponse à la question [concernant le nombre de mètres en chute libre mesurant le périmètre d'un cerlce de paramètre r = 100 m] est 1257 parce que le mètre étalon en chute libre est contracté orthoradialement.

Non. La métrique spatiale du référentiel chute libre radiale est euclidienne.

La métrique spatiale peut être euclidienne et la règle s'allonger. Sa longueur s'allonge dans le système de coordonnées de Painlevé et reste constante dans le système de Schwarschild.
Dans le système de Painlevé la règle du chuteur a une longueur de 2 et la règle immobile en r a une longueur de 1
Dans le système de Schwarschild la règle du chuteur a une longueur de 1 et la règle immobile en r a une longueur de 0,5.
C'est cohérent.

Le rayon de la sphère de paramètre r = 100 m existe et vaut r= 100 m quand il est mesuré avec des mètres étalon en chute libre radiale

Je dirais quand il est mesuré avec l'étalon de longueur des coordonnées de Painlevé, pas avec le mètre étalon en chute libre radiale. Les coordonnées de Painlevé ont pour objectif de rendre la métrique spatiale euclidienne. Il se trouve que le temps utilisé est aussi celui du chuteur, mais rien nulle part ne dit que la mesure doit être faite avec la règle du chuteur. Cette règle subit la force des marées et je suis d'accord qu'ici il y a une question soulevée, parce que j'affirme que l'objet en chute libre et en inertie s'allonge sans effort et sans tension, ce qui n'est pas forcément ce que d'autre pourraient dire. Certains pourraient dire que la règle se rompt ou qu'elle résiste à la tension mécaniquement, alors que je prétends qu'elle est déformée par la géométrie et n'éprouve rien du tout.

Comme il se doit dans un espace 3D euclidien (l'espace 3D chute libre radiale), la circonférence de la sphère vaut 2pi r = 628 m quand elle est mesurée par les mètres étalons en chute libre radiale orientés circonférentiellement

Quand elle est mesurée par le système de coordonnées de Painlevé, pas par la règle en chute libre qui a subi la force des marées.

[ABC]

Pourrais-tu prendre le temps de réflexion (et si besoin de consultation de références requis) pour corriger un plus grand pourcentage de tes erreurs s'il te plait, pour que l'on puisse converger en un nb d'échanges beaucoup plus raisonnable ?

La métrique spatiale peut être euclidienne et la règle s'allonger.

Dans une métrique spatiale euclidienne la circonférence d'un cercle de rayon r vaut 2pi r pas 4 pi r.

Avant de revenir sur tes autres erreur, je te laisse d'abord trouver et corriger toutes les erreurs que tu peux trouver et corriger par toi même en faisant plus attention, en faisant moins confiance à ta seule intime conviction et en utilisant plus la consultation de références reconnues, notamment quand tu ne maîtrises pas le sujet .

[externo]

J'ai regardé le papier de Flamm :
https://www.jp-petit.org/papers/cosmo/1916-Flamm-fr.pdf

Il montre qu'en géométrie sphérique, la longueur d'une circonférence est `<2πR` et qu'elle vaut `2πR sin θ`

Dans sa figure 1, R correspond à la coordonnée radiale r de Schwarzschild, R0 (mais ça il ne pouvait pas le savoir surtout en séparant la partie temporelle et la partie spatiale de la métrique) correspond à l'axe T du chuteur, l'angle `χ` est l'angle entre `dt` et `dT`, `σ``m` est la longueur propre mesurée le long de l'arc.

Il écrit la formule `dR = dσm.cos χ` qui correspond à `dr = ds.(1-(Rs)/R)` avec `ds` la longueur propre.
Et il l'écrit directement :
`dσ``m``²`` = (dR²)/(cos²χ)`
Il applique ça à la métrique de Schwarzschild
Il pose `cos²χ = 1 - (Rs)/R (= 1 - sin²χ`)
Il sépare la partie spatiale et la partie temporelle de la métrique (car le signe - lui donne l'impression qu'elles sont disjointes)
Il fait une rotation selon `z`. Et c'est physiquement ce qu'il se passe parce que la rotation selon le scalaire `t` se retrouve géométriquement dans toutes les directions spatiales. Si on prend un axe radial `r = x` vers la masse alors en effet la courbure est vue comme étant dans une dimension `z` orthogonale à `x`.

Il détermine ensuite la déflexion géométrique de la lumière et celle du périhélie.

Tout cela est causé par le changement de la géométrie spatiale. Il n'est pas question de mètres étalons qui rétrécissent dans un espace immuable... Si l'espace était immuable il n'y aurait pas d'avance du périhélie et la lumière se courberait deux fois moins.

[ABC]

Tout cela est causé par le changement de la géométrie spatiale.

Précises bien que la géométrie spatiale que tu détailles est relative au référentiel Schwarzschild. Ta réponse ne permet pas de savoir si tu l'as compris (alors que la géométrie spatio-temporelle due à la gravitation est invariante, elle, lors d'un changement de référentiel).

Je rajoute un certain nombre de points importants pour bien comprendre le sujet (ta réponse ne les signale pas explictement) :

• La métrique 3D ayant un plongement isométrique comme paraboloïde de Flamn dans un espace euclidien 4D est celle du référentiel de Schwarzschild. Tu ne signales pas le caractère relatif de cette géométrie spatiale.
  .
• La géométrie 3D du référentiel des observateurs chute libre radiale partis de très haut à vitesse nulle est au contraire euclidienne. C'était l'objet de mon précédent message et rien dans ta réponse n'indique que tu l'aurais compris.
  .
• dσm = dR/(1-v²/c²)^0.5 = dR²/cos²χ est la longueur propre mesurée entre r et R+dR par un observateur de Schwarzschild.
  .
• dR est la longueur propre mesurée entre R et R+dR par un observateur chute libre radiale.
  .
• En direction radiale, le mètre étalon du référentiel de Schwarzshild a donc, dans le référentiel chute libre, une longueur impropre contractée en (1-v²/c²)^0.5 = cos²χ. C'est le rapport des distances radiales différentes dR et dσm mesurées entre R et R+dR dans les 2 référentiels. Si, en direction radiale, les mètres étalon de Schwarzschild avaient même longueur que les mètres étalon chute libre, la distance radiale mesurée entre R et R+dR serait la même dans les 2 référentiels.
  .
• Dans le référentiel chute libre, le rayon du cercle de coordonnée radiale R existe et vaut R (et non R/(1-v²/c²)^0.5).
  .
• La circonférence d'un cerle de coordonnée radiale R vaut 2pi R dans les 2 référentiels
  (correction de ta précédente erreur à ce sujet. La métrique spatiale du référentiel chute libre est en effet euclidienne)

en géométrie sphérique, la longueur d'une circonférence est < 2πR et qu'elle vaut 2πRsinθ

Exact pour une sphère car, dans ce cas, la distance R au pôle existe. Par contre, dans le cas du référentiel de Schwarzschild, la distance à la singularité n'existe pas car la distance à une sphère de rayon r tend vers plus l'infini quand r s'approche du rayon de Schwarzschild.

Par contre, comme la sphère, la géométrie spatiale du référentiel de Schwarzschild a une courbure positive car, dans ce référentiel là, (contrairement au référentiel chute libre, euclidien lui) la différence de circonférence 2pi dR < à 2pi dσm (la distance entre R et R+dR).

Tu fais l'effort de consulter des documents et de réfléchir. Ca peut finir par marcher. Du coup, je continue à répondre.