Probabilités...

[Pancrace]

Oui il faut contextualiser - ce qu'Etienne ne fait pas ou pas assez imo. Je retire mammouth qui est effectivement un mauvais exemple, mais pas "Si tu ne prends en compte que ce qui a été un jour observé par un humain, tu plonges aussitôt en eaux troubles". En effet ce critère est par trop fluctuant (il ne sera pas le même demain qu'aujourd'hui) pour avoir une quelconque valeur.

je ne vois pas trop qu'est-ce qu'on pourrait prendre sérieusement en considération qui n'ait jamais été observé par un être humain

Ouh là, c'est pas un peu anthropocentré, ça ? Un exemple au hasard : la 20000 milliardième décimale de \(\pi\). Il y a surement des gens qui prennent ça "sérieusement en considération" puisqu'ils tentent de l'observer justement...

[Pancrace]

Une piece tombant 1000 fois de suite sur pile est a coup sur truquée.

Une piece equilibrée fait ce qu'elle veut.

Pourquoi pas alors 1000 piles de suite ?

[Jean-Francois]

je ne vois pas trop qu'est-ce qu'on pourrait prendre sérieusement en considération qui n'ait jamais été observé par un être humain

Ouh là, c'est pas un peu anthropocentré, ça ?

Est-ce négatif? Surtout, comment cela ne pourrait pas l'être puisque les calculs des décimales de Pi sont faits par des humains (aidés de machines)? On sait que pi est un nombre irrationnel et on a définit à quoi il correspond en terme de rapport. Personne n'a besoin de calculer sa "2000 milliardième décimale" - hors caractère ludique de l'"exploit" - pour utiliser pi dans les calculs.

De meilleurs exemples aurait été les trous noirs et les ondes gravitationnelles, mais pour les prendre en considération il faut avoir observé les modèles physiques qui en soutiennent la probabilité d'existence. Qui aurait sérieusement imaginé l'existence des mammouths sans observations de traces fossiles ou préhistoriques (surtout si l'absence de ses proboscidiens disparus était corrélée à l'absence d'éléphant)?

Comme autres types de contre-exemples, je verrais les dieux et autres créatures imaginaires. Mais elles aussi sont imaginés à partir d'observations.

Jean-François

[Pancrace]

Chercher à calculer une décimale non encore observée de \(\pi\) est sérieusement pris en considération par certaines personnes, et peu importe notre opinion personnelle à ce sujet – futilité ou réelle avancée scientifique.

En glissant de « observé par un être humain » à « observé les modèles physiques qui en soutiennent la probabilité d'existence » on change de cadre. Si la phrase devient « je ne vois pas trop qu'est-ce qu'on pourrait prendre sérieusement en considération qui n'ait jamais été observé imaginé/envisagé par un être humain » on entre effectivement dans une sorte de circularité – moi non plus je ne vois pas trop ce qu’on pourrait prendre en considération sans l’avoir conceptualisé avant.

Edit : du coup la formulation "Peut-on envisager qu'une pièce non truquée puisse tomber 100 fois de suite sur pile, dans notre univers réel fini ?" commence à prendre du sens...

[Jean-Francois]

En glissant de « observé par un être humain » à « observé les modèles physiques qui en soutiennent la probabilité d'existence » on change de cadre

Pas vraiment puisque ce sont les humains qui observent les modèles: la formulation devrait être « les modèles physiques qui en soutiennent la probabilité d'existence observés par les humains » (pour respecter la forme "les mammouths/vélociraptors/"éocytes" observés (ou pas) par l'humain"). C'est d'ailleurs ce qui ne me fait pas voir l'anthropocentrisme comme un problème dans ce contexte puisqu'il s'agit du point de vue de l'humain.

J'imagine que la réponse est à la question est oui. Mais, quelle est-elle, si on tourne la question d'une autre manière: est-il plausible qu'une qu'une pièce non truquée puisse tomber 100 fois de suite sur pile, dans notre univers réel fini ?

Jean-François

[Pancrace]

Encore une fois, la réponse va dépendre du sens précis qu’on donne aux mots non scientifiques. Grosso modo on peut imaginer 4 échelons de plus en plus exigeants (strictement) pour un événement donné : la possibilité théorique, la probabilité non nulle, la possibilité théorique d’observation, l’observation effective par un humain.

Si on considère l’événement « 100 piles de suite par une pièce non truquée », la probabilité est non nulle ce qui entraîne la possibilité théorique, et on peut pour le fun considérer que ça n’a jamais été observé (on ne peut pas manifestement le prouver en toute rigueur, mais c’est une hypothèse raisonnable), reste donc la possibilité théorique d’observation à examiner.

C’est ce que propose ma première question en donnant au mot « envisager » le sens « possibilité théorique d’observation ». Tu penches pour le oui, moi aussi avec néanmoins beaucoup de prudence (en incluant dans « observation » celles des quanta qui fixent des spins notamment).

Pour ta seconde question, on peut s’amuser à regarder où « plausible » s'insère dans la hiérarchie au-dessus. D’abord c’est plus exigeant que « envisageable » (quelque chose peut être envisageable sans être plausible) et moins que « réellement observé ». Donc on se situe quelque part entre l’échelon 3 où on répond oui, et l’échelon 4 où on répond non.

Bien entendu tu as choisi exprès (c’est astucieux !) ce mot « plausible » pour être à un endroit où la réponse est difficile, voire impossible sans traduire « plausible » en langage scientifique. Peut-être qu’une possibilité est un truc du genre « probabilité non nulle d’observation effective par un humain, un jour où l’autre dans le futur », qui est bien entre les échelons 3 et 4. Dans ce cas j’en sais fichtre rien, ça va dépendre de la longévité de notre espèce et des progrès dans les ordinateurs quantiques j’imagine…

[Etienne Beauman]

Tes arguments sont si mal formulés.
Une piece équilibrée peut par définition tomber 1000 fois sur pile.

La probabilité tenant compte des echelles de temps humaines est cependant si faible qu'on peut raisonnablement l'arrondir a zero.

Je me contrefous du modèle théorique.

Remplace pièce équilibrée par pièce non truquée.
Je me place dans le monde réel.

Une piece tombant 1000 fois de suite sur pile est a coup sur truquée.

Une piece equilibrée fait ce qu'elle veut.

Dans le sens où tu l'entends, une pièce équilibrée n'existe pas.
Elle n'est pas réelle. (réel = qui n'est pas un produit de la pensée).

On est donc d'accord, il n'existe pas de pièce non truquée pouvant tomber mille fois de suite sur pile ?

[Etienne Beauman]

Oui il faut contextualiser - ce qu'Etienne ne fait pas ou pas assez imo.

Quelle mauvaise foi !
Sans moi.

[spin-up]

Je me contrefous du modèle théorique.

Remplace pièce équilibrée par pièce non truquée.
Je me place dans le monde réel.

Je ne vois pas en quoi tes descriptions vagues relevent plus du réel qu'un modèle quantitatif. SI tu penses que ce n'est pas le reel, mets ce modèle en defaut avec une experience.

Dans le sens où tu l'entends, une pièce équilibrée n'existe pas.
Elle n'est pas réelle. (réel = qui n'est pas un produit de la pensée).

Le sens ou je l'entends: Une pièce qui a une chance sur deux de tomber sur pile à chaque tirage.

Prétends tu qu'un piece réelle (non truquée) se comporte différemment? Si oui, apporte des preuves.

On est donc d'accord, il n'existe pas de pièce non truquée pouvant tomber mille fois de suite sur pile ?

Formulé plus rigoureusement:
Personne ne verra de piece non truquée tomber 1000 fois de suite sur piles.
Toute personne voyant une piece tomber 1000 fois de suite sur pile ne pourra que conclure qu'elle truquée (le nombre de tirages necessaires pour qu'une telle serie soit probable etant impossible a l'echelle humaine)

[Etienne Beauman]

SI tu penses que ce n'est pas le reel, mets ce modèle en defaut avec une experience.

Quand j'appuie sur mon nez :

• des fois mes oreilles deviennent bleues.
• des fois je m’envole.
• des fois rien ne se passe.

SI tu penses que ce n'est pas le réel, mets ce modèle en défaut avec une expérience.



Le modèle théorique prévoit des cas qui n'ont jamais été observé.

Il ne faut pas confondre le modèle et le réel.

Prétends tu qu'un piece réelle (non truquée) se comporte différemment?

Evidemment que non. Je prétends que plus on lance une pièce non truquée est plus la proportion de pile se rapproche de 1/2.

En revanche une pièce tombant encore et toujours sur la même face ne suit pas du tout ce comportement.

Formulé plus rigoureusement:
Personne ne verra de piece non truquée tomber 1000 fois de suite sur piles.
Toute personne voyant une piece tomber 1000 fois de suite sur pile ne pourra que conclure qu'elle truquée (le nombre de tirages necessaires pour qu'une telle serie soit probable etant impossible a l'echelle humaine)

En quoi est ce plus rigoureux ?

S'il existait une pièce non truquée pouvant tomber 1000 fois de suite sur pile, il serait possible d'observer cette pièce tomber 1000 fois de suite sur pile.

Une telle pièce validant ton précieux modèle n'existe pas.
Elle n’existera pas plus dans 1000, 10000, 100000, 1000000 années (il n'y aucune raison de restreindre l'étendue de son inexistence).

La capacité tomber 1000 fois de suite sur pile est purement théorique, elle n'a pas réellement de matérialisation possible.

[spin-up]

Quand j'appuie sur mon nez :
des fois mes oreilles deviennent bleues.
des fois je m’envole.
des fois rien ne se passe.
SI tu penses que ce n'est pas le réel, mets ce modèle en défaut avec une expérience.

Tu confonds modèle et predictions du modèle.

Le modèle de la piece c'est qu'elle a une chance sur deux de tomber sur pile a chaque tirage.
La prédiction c'est qu'on a 1/2^1000 chances de voir 1000 piles pour 1000 lancers.

Il ne faut pas confondre le modèle et le réel.

Encore une fois, contestes tu qu'une piece réelle a une chance sur deux de tomber sur pile a chaque tirage?

En revanche une pièce tombant encore et toujours sur la même face ne suit pas du tout ce comportement.

On peut calculer la probabilité que ca soit du au hasard. Probabilité qui décroit rapidement au cours des lancers, en effet,

En quoi est ce plus rigoureux ?

Ca n'implique pas une loi magique tirant la pièce vers face quand elle a fait trop de piles.
Ca ne suggère pas non plus qu'une piece reelle se comporte differemment du modele sans la moindre explication de comment ou pourquoi.

S'il existait une pièce non truquée pouvant tomber 1000 fois de suite sur pile, il serait possible d'observer cette pièce tomber 1000 fois de suite sur pile.

Non. Tout est une question de nombre de lancers, et de si ce nombre de lancers est realisable a l'echelle humaine ou non.

Une telle pièce validant ton précieux modèle n'existe pas.

Le précieux modèle, c'est que la pièce a une chance sur deux de tomber sur pile a chaque tirage. Rien de plus ni de moins.

[Jean-Francois]

La prédiction c'est qu'on a 1/2^1000 chances de voir 1000 piles pour 1000 lancers

Ce qui fait que si on observe une pièce faire 1000 piles d'affilée, on pourra sérieusement se questionner si c'est dû au hasard. En fait, on pourra contester que c'est dû au hasard (même si la probabilité n'est pas strictement nulle). Et une alternative fort plausible/probable/rationnelle est la triche: qui explique le comment/pourquoi la pièce ne suit pas le modèle.

Et il suffit d'analyser la pièce pour vérifier. C'est d'ailleurs l'avantage de la science empirique sur les modèles théoriques est que cette vérification se fait, peut-être pas toujours mais régulièrement. Dans ce cas-ci c'est une vérification assez triviale.

Non. Tout est une question de nombre de lancers, et de si ce nombre de lancers est realisable a l'echelle humaine ou non

Mettons un généreux 10 secondes par lancer (on automatise le tout pour accélérer les choses*), ça fait 2^1000*10 s pour vérifier qu'une telle suite n'apparait qu'une seule fois**. Même divisé par 31 557 600, cela fait un nombre assez conséquent d'années***. Les (plus) matheux (que moi) calculeront comment faire moins de tirages, mais je soupçonne qu'on restera dans des nombres qui servent plus à quantifier la durée du divin que la durée d'une civilisation humaine

Évidemment, on peut faire tirer beaucoup plus rapidement une pièce virtuelle à un ordinateur (certainement < 1ms/tirage) mais il est question ici d'une pièce réelle.

Jean-François

* Parce qu'avec le pouce, on risque de fatiguer.
** En espérant qu'elle apparaisse au moins une fois. Parce que même si elle n'apparait pas (ou si elle apparait un faible nombre de fois), cela ne permettrait aucune conclusion stricte... en théorie.
*** Si je n'ai pas fait d'erreur: environ 3,4*10^294 années. L'âge estimé de l'univers observable avoisine les 1,38*10^10.

[Vathar]

Évidemment, on peut faire tirer beaucoup plus rapidement une pièce virtuelle à un ordinateur (certainement < 1ms/tirage) mais il est question ici d'une pièce réelle.

Meme la simulation informatique pédalerait face à un nombre si démesuré. Un ordre de grandeur de 10^300 est juste au delà de la compréhension. Meme si tu étais capable de tester 10^50 combinaisons par seconde, ce qui est déjà absurdement irréaliste, tu te traînerais encore 10^250 secondes de test.

[thewild]

on peut faire tirer beaucoup plus rapidement une pièce virtuelle à un ordinateur (certainement < 1ms/tirage) mais il est question ici d'une pièce réelle.

Environ 1.000.000.000 (~109) de pile ou face par seconde pour les meilleurs "vrais" générateurs matériels.
Environ 100 fois plus (~1011) pour les meilleurs "pseudo" générateurs sur un processeur récent.

Ca ne reste donc réalisable qu'avec un ordinateur divin...

[spin-up]

Ce qui fait que si on observe une pièce faire 1000 piles d'affilée, on pourra sérieusement se questionner si c'est dû au hasard. En fait, on pourra contester que c'est dû au hasard (même si la probabilité n'est pas strictement nulle).

C'est ce que j'ai ecrit plusieurs fois. Je n'ai aucun probleme a conclure qu'une pièce est vraisemblabement truquée avec seulement 10 piles consecutifs. Et en fonction du nombre de piles consécutifs, le niveau de confiance dans la conclusion augmente.

Question bonus: Si on fait exactement 500 piles sur 1000 lancers, quelle est la probabilité que ce soit du au hasard?

Mettons un généreux 10 secondes par lancer (on automatise le tout pour accélérer les choses*), ça fait 2^1000*10 s pour vérifier qu'une telle suite n'apparait qu'une seule fois**. Même divisé par 31 557 600, cela fait un nombre assez conséquent d'années***. Les (plus) matheux (que moi) calculeront comment faire moins de tirages, mais je soupçonne qu'on restera dans des nombres qui servent plus à quantifier la durée du divin que la durée d'une civilisation humaine

C'est vrai.
Mais ce qui est paradoxal, c'est que si tu fais 1000 tirages, peu importe le resultat, la série que tu viens de faire n'avait aucune chance de se produire. Mais elle s'est produite quand même.

C'est pour ca que je dis qu'une piece equilibrée peut tomber 1000 fois de suites sur piles, mais qu'on ne le verra jamais.
Ou encore qu'une pièce equilibrée peut tomber 1000 fois de suites sur piles, mais qu'une piece qui tombe 1000 fois sur piles est certainement truquée.

Alors qu'Etienne semble croire en une sorte d'impossibilité physique qui tire la pièce vers face si elle fait trop de piles consécutifs.

[Pancrace]

On peut calculer la probabilité que ca soit du au hasard

C'est un abus de langage. On ne peut calculer que la probabilité d'un événement, et le hasard n'en est pas un.

Tout est une question de nombre de lancers

Plus précisément, on peut montrer que si un événement a une très faible probabilité 1/N de se réaliser (donc N très grand), et qu'on réalise N fois l'expérience, alors la probabilité que l'événement se soit réalisé en cours de route est d'environ (e-1)/e \(\sim\) 0,63 où e est la base de l'exponentielle.

En particulier cette probabilité est loin d'être nulle, et tend vers 1 lorsque le nombre de lancés tend vers l'infini. Donc quel que soit un événement de probabilité non nulle (comme faire 100 piles de suite pour une pièce non truquée), il se produira presque surement à un moment donné, il suffit d'être patient... Cela entraîne que ce que te rétorque Etienne :

Une telle pièce validant ton précieux modèle n'existe pas.
Elle n’existera pas plus dans 1000, 10000, 100000, 1000000 années (il n'y aucune raison de restreindre l'étendue de son inexistence).

est une fois de plus complètement à côté de la plaque...

[Jean-Francois]

Alors qu'Etienne semble croire en une sorte d'impossibilité physique qui tire la pièce vers face si elle fait trop de piles consécutifs

Il me corrigera au besoin mais ce que je comprends des propos d'Étienne est qu'il dit juste que si on sort des modèles mathématiques, la réalité est que 30/100/1000 tirages de piles consécutifs pointe vers l'explication "trucage". Comme la probabilité que ça arrive dans le monde réel est trop faible, cela indique fortement qu'il y a un problème avec la pièce.

Tout le monde ici me semble d'accord avec cette idée: personne ne parierait sa maison que face sortira au 1001e lancer (même 101e) si les 1000 (100) premiers ont donné pile. Pour 30, j'imagine que ça dépendra...

Question bonus: Si on fait exactement 500 piles sur 1000 lancers, quelle est la probabilité que ce soit du au hasard?

Vu que c'est la probabilité maximale de distribution aléatoire: 100%, non?

Jean-François

[Pancrace]

ce que je comprends des propos d'Étienne est qu'il dit juste que si on sort des modèles mathématiques, la réalité est que 30/100/1000 tirages de piles consécutifs pointe vers l'explication "trucage".

Non je ne crois pas. Parce que dans ce cas la discussion serait close depuis longtemps, vu que tout le monde est d'accord avec ça... J'ai donné juste au dessus un exemple d'affirmation beaucoup plus péremptoire (et fausse) d'Etienne.

Question bonus: Si on fait exactement 500 piles sur 1000 lancers, quelle est la probabilité que ce soit du au hasard?

Il me semble que ce que spin-up tente de faire remarquer ici (il me corrigera si cette interprétation est fausse), est que la probabilité de faire 500/500 est pas tellement éloignée de la probabilité de faire 1000/0. Et donc que c'est bizarre de penser que le premier cas serait "normal" alors que le second cas serait "impossible". Comme déjà dit plusieurs fois sur ce fil avec justesse, il est tout aussi anormal d'avoir 1000 piles de suite que d'avoir n'importe quelle autre suite ordonnée de lancés.

[spin-up]

Il me corrigera au besoin mais ce que je comprends des propos d'Étienne est qu'il dit juste que si on sort des modèles mathématiques, la réalité est que 30/100/1000 tirages de piles consécutifs pointe vers l'explication "trucage". Comme la probabilité que ça arrive dans le monde réel est trop faible, cela indique fortement qu'il y a un problème avec la pièce.

Tout le monde ici me semble d'accord avec cette idée: personne ne parierait sa maison que face sortira au 1001e lancer (même 101e) si les 1000 (100) premiers ont donné pile. Pour 30, j'imagine que ça dépendra...

Je comprends pas trop l'idée de "sortir du modele mathématique" et de "monde réel" alors qu'on arrive a la même conclusion avec le modele mathematique, avec en bonus un niveau de certitude quantifié.

[Jean-Francois]

Il me semble que ce que spin-up tente de faire remarquer ici (il me corrigera si cette interprétation est fausse), est que la probabilité de faire 500/500 est pas tellement éloignée de la probabilité de faire 1000/0

Comme il n'y a pas de contrainte d'ordre dans l'énoncé de spin-up (ce n'est pas 500P suivi de 500F, c'est faire "exactement 500 piles sur 1000 lancers"), la probabilité d'obtenir 500P/500F m'apparait largement supérieure à celle de faire 1000F/0P.

Jean-François

[Pancrace]

Oui, la probabilité de faire exactement N piles sur 2N lancés se calcule facilement, et la formule de Stirling dit que c’est équivalent à
\(\frac 1 {\sqrt {\pi N}}\), donc effectivement beaucoup plus grand que la probabilité de faire toujours pile.

Mais le point important est que ces 2 probabilités tendent vers 0 quand N tend vers l’infini. Il semble donc paradoxal, pour un grand nombre de lancés, de considérer « normal » un tirage avec égalité piles/faces et « impossible » un tirage avec que des piles, alors que ce sont des phénomènes essentiellement de même nature.

Si on regarde les choses à l'envers, tout le monde est d'accord pour trouver "anormal" un tirage de 2000 piles consécutifs. Mais il est bon d'ajouter, plus une connaissance plus fine du phénomène, que plein d'autres situations ont une apparence normale, sans l'être. Par exemple un partage égal 1000/1000 va paraître normal, alors que sa probabilité est inférieure à 0,018 (en prenant N = 1000 dans l'équivalent au-dessus).

Edit : Oups croisement avec le post suivant, qui dit la même chose de façon plus synthétique

[spin-up]

Comme il n'y a pas de contrainte d'ordre dans l'énoncé de spin-up (ce n'est pas 500P suivi de 500F, c'est faire "exactement 500 piles sur 1000 lancers"), la probabilité d'obtenir 500P/500F m'apparait largement supérieure à celle de faire 1000F/0P.

Jean-François

Oui, tres largement superieure. Mais ca reste assez faible.

[Jean-Francois]

Mais le point important est que ces 2 probabilités tendent vers 0 quand N tend vers l’infini

C'est peut-être important dans l'univers des mathématiques pures ou N peut tendre vers l'infini mais ce n'est pas le cadre dont il était question. Non seulement "N = 1000" dans la question de spin-up mais il est difficile de faire en sorte que N s'approche vraiment de l'infini dans le cas d'une pièce réelle tirée dans le monde réel. Donc, même si c'est une propriété intéressante en soi, je ne vois pas en quoi elle est pertinente ici.

Si vous pensez qu'elle l'est vraiment, svp, expliquez-moi comment répondre à la question de spin-up* en en tenant compte.

Par exemple un partage égal 1000/1000 va paraître normal, alors que sa probabilité est inférieure à 0,018

Ce qui s'explique, àma, par le fait que ce 0,018 est largement supérieur à la probabilité d'obtenir 2000/0. Car un tirage de 1000/1000 arrivera nettement plus souvent qu'un tirage de 2000/0... au point de paraitre normal par comparaison.

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Oui, tres largement superieure. Mais ca reste assez faible

Pour répondre à ta question, il faut bien se baser sur les valeurs relatives non les valeurs absolues. Non?

Jean-François

* "Si on fait exactement 500 piles sur 1000 lancers, quelle est la probabilité que ce soit dû au hasard?"

[Denis]

Salut Pancrace,

Tu dis :

- Est-il possible qu’une pièce non truquée retombe une infinité de fois en suivant sur pile ?

Réponse : oui.

Moi, je répondrais plutôt NON.

Pour une suite finie de piles, ça va, mais pas pour une suite infinie.

Il y a confusion entre "possible" en théorie des probabilités et "possible" en théorie des ensembles. Une sorte de peau-de-banane sémantique.

Je considère que, en probabilités, "possible" signifie simplement "de probabilité positive". Or, choisir uniformément une suite infinie de "p ou f" (ou de "0 ou 1") dans l'ensemble non dénombrable de toutes les suites possibles (en théorie des ensembles) est équivalent à observer la valeur X d'une variable aléatoire continue, de loi uniforme U(0,1). On n'a qu'à lire X en base 2 et convenir que, par exemple, 0,1011101... correspond à pfpppfp...

Il y a une différence fondamentale entre les variables aléatoires discrètes et les variables aléatoires continues. Pour les variables discrètes, on obtient toujours une valeur possible (i.e. de probabilité positive) alors que pour les v.a. continues, on obtient toujours une valeur a priori impossible (i.e. de probabilité nulle). Pour qu'il soit possible que X (continue) tombe dans un ensemble A, il est nécessaire que cet ensemble soit non dénombrable.

Tiens, je te laisse avec une petite question : d'après toi, est-il possible qu'une variable aléatoire X, de loi U(0,1), prenne une valeur rationnelle ?

Pour moi, c'est NON. Tu auras beau en observer autant que tu voudras, tu n'obtiendras que des valeurs irrationnelles. Et c'est encore plus "NON" si la cible ne contient qu'un seul point.

Denis

P.S. Misère! Dans quel engrenage diabolique viens-je encore de me mettre le doigt !

[Curieux_]

Vous êtes des dingues !

J'imaginais un simulateur de lancer de pièce.

Si on arrivait à calculer le poids de la pièce, le nombre de ses oscillations, le nombres de tours qu'elle ferait sur elle-même en étant projeté à une certaine vitesse, il serait sûrement possible de trouver un moyen qu'elle retombe toujours sur la même face ?
C'est possible ou réalisable ce genre de calculs ?