externo a écrit : 21 sept. 2024, 01:02
Je ne sais pas pour le moment si ce que tu dis être la géométrie de Minkowski est la géométrie de Minkowski, mais déjà le fait que tu exclues la simultanéité me rend la chose louche, car sans simultanéité, tu n'expliques pas la contraction des longueurs d'après Einstein donc tu n'expliques pas la relativité d'Einstein. Ta géométrie de Minkowski purement mathématique n'explique pas la relativité d'Einstein. La relativité d'Einstein ne peut être expliquée que par une géométrie de Minkowski physique avec simultanéité relative intégrée expliquant la contraction. Et l'accélération n'y est plus source de mouvement absolu mais seulement relatif, et ceci est (soi disant) obtenu par la relativité générale.
Allons plus loin dans les mesures de distances dans le cadre de la géométrie de Minkowski (ou en tout cas, ce que je prétends être la géométrie de Minkowski).
D'abord on introduit des propriétés et des définitions dans le cadre de cette géométrie.
On va considérer la signature -+++, qui signifie formellement que si on choisi une famille libre de 4 vecteurs de carré scalaire non nuls et tous orthogonaux entre-eux, alors l'un des 3 possède un carré scalaire négatif et les 3 autres un carré scalaire positif.
Avec cette signature -+++, on parle de :
-genre temps quand le carré scalaire est négatif,
-genre nul quand le carré scalaire est nul,
-de genre espace quand le carré scalaire est positif,
Ce sont des définitions purement mathématiques, mais le choix des mots n'est pas innocent car quand on fait le lien entre la structure mathématique et les observables, la norme d'un vecteur de genre temps est liée à une durée, et la norme d'un vecteur de genre espace est liée à une longueur (et il nous faut voir pourquoi). Par ailleurs le genre nul, qui n'est ni une durée ni une longueur (ou alors une durée ou une longueur nulle, si on veut, mais aucun intérêt), correspond à la vitesse limite, et il est également appelé genre lumière car la lumière est réputée se déplacer dans le vide à cette vitesse limite (attention pas d'hypothèse sur sa valeur et si cette valeur dépend de l'orientation, c'est juste que si un "truc" va dans une direction avec la vitesse limite, alors aucun autre "truc" ne peut le rattrapper en le suivant dans la même direction).
Nous allons maintenant construire les choses petit à petit, en commençant par considérer un vecteur
\(\vec{u}\) de genre temps, donc de carré scalaire négatif. Ce vecteur
\(\vec{u}\) génère un ensemble de vecteurs
\(k\vec{u}\) (avec k réel) qui sont tous de genre temps (sauf si k=0), un sous espace-vectoriel de dimension 1. Notons le U. Par définition de la signature -+++, tous les vecteurs
\(\vec{v}\) orthogonaux à ce vecteur
\(\vec{u}\) (tels que
\(\vec{u}.\vec{v}=0\), par définition de l'orthogonalité) sont de carré scalaire positif, donc de genre espace. L'ensemble des vecteurs
\(\vec{v}\) de genre espace orthogonaux à U (orthogonaux à
\(\vec{u}\) et donc à tous les vecteurs
\(k\vec{u}\)) est un sous-espace vectoriel de dimension 3, dont on peut montrer qu'il est de signature +++, c'est à dire que c'est un espace vectoriel euclidien 3D (au sens mathématique : quelque chose d'isomorphe à R3, équipé d'une forme bilinéaire symétrie définie positive). Cet ensemble, qu'on notera V, est l'orthogonal de U.
le vecteur
\(\vec{u}+\vec{v}\), somme d'un vecteur
\(\vec{u}\) de U et d'un des vecteurs
\(\vec{v}\) de V, aura pour carré scalaire :
\((\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2 = \vec{u}^2 +\vec{v}^2\)
On a
\(\vec{u}^2<0\) et
\(\vec{v}^2>0\), donc
\((\vec{u}+\vec{v})^2\) peut être négatif ou positif, mais il peut aussi être nul. Il existe donc bien, en plus des vecteurs de genre temps et de genre espace, des vecteurs de genre nul.
On note que par ailleurs, si
\((\vec{u}+\vec{v})^2<0\),
\(\vec{u}+\vec{v}\) est de genre temps sans pour autant être colinéaire à
\(\vec{u}\) : les vecteurs de carré scalaire négatifs ne sont pas cantonnés à U. Ainsi, on peut prendre un vecteur
\(\vec{u}\)' de genre temps non colinéaire à
\(\vec{u}\), qui génère un sous-espace de dimension 1 U' différent de U et qui possède un orthogonal V' de dimension 3 contenant uniquement des vecteur de genre espace différent de V.
Venons-en maintenant au losange de genre nul qui permet de montrer la relation entre mesure de longueur et norme de vecteur de genre espace, à partir des hypothèse que la norme d'un vecteur de genre temps est une durée et que les ondes électromagnétique ont des lignes d'univers de genre nul.
D'abord, considérons un quadrilatère ABCD d'un plan de l'espace-temps, avec A, B, C et D 4 évènements. On montre facilement que
\(2\vec{AC}.\vec{DB} = {\vec{AB}}^2-{\vec{BC}}^2+{\vec{CD}}^2-{\vec{DA}}^2\) (ce résultat est également valide en géométrie euclidienne et dans toute géométrie basé sur un espace quadratique)
c'est simple,
\(2\vec{AC}.\vec{DB} = 2\vec{AC}.\vec{DA} + \vec{AC}.\vec{AB}\)
or comme \({\vec{DC}}^2 = (\vec{DA} + \vec{AC})^2 = {\vec{DA}}^2 + 2\vec{DA}.\vec{AC} + {\vec{AC}}^2\), il vient que \(2\vec{AC}.\vec{DA} = {\vec{DC}}^2 - {\vec{DA}}^2 - {\vec{AC}}^2\)
de même comme \({\vec{BC}}^2 = (\vec{BA} + \vec{AC})^2 = {\vec{BA}}^2 + 2\vec{BA}.\vec{AC} + {\vec{AC}}^2\), il vient que \(2\vec{AC}.\vec{AB} = {\vec{AC}}^2 + {\vec{AB}}^2 - {\vec{CB}}^2\)
et donc
\(2\vec{AC}.\vec{DB} = 2\vec{AC}.\vec{DA} + \vec{AC}.\vec{AB} = {\vec{DC}}^2 - {\vec{DA}}^2 - {\vec{AC}}^2 + {\vec{AC}}^2 + {\vec{AB}}^2 - {\vec{CB}}^2 = {\vec{AB}}^2-{\vec{BC}}^2+{\vec{CD}}^2-{\vec{DA}}^2\)
Imposons que AC soit de genre temps, donc
\({\vec{AC}}^2<0\) et que les côtés du quadrilatère soient tous de genre nul, donc
\({\vec{AB}}^2={\vec{BC}}^2={\vec{CD}}^2={\vec{DA}}^2=0\). Alors nous avons automatiquement
\(\vec{AC}.\vec{DB} = 0\), ainsi DB est orthogonal à AC et forcément de genre espace.
Par ailleurs, on peut montrer que dans ce cas
\(\vec{AB}=\vec{DC}\) et
\(\vec{BC}=\vec{AD}\) (ce qui fait de ABCD un losange)
En effet, comme \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\) ne sont pas colinéaires (on a \({\vec{AC}}^2 = (\vec{AB}+\vec{BC})^2 = {\vec{AB}}^2 + 2\vec{AB}.\vec{BC} + {\vec{BC}}^2 = 2\vec{AB}.\vec{BC}\), donc si \(\vec{AB}=k\vec{BC}\), on a \({\vec{AC}}^2=0\) alors qu'on a posé \({\vec{AC}}^2<0\)), on peut écrire tout vecteur du plan comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs.
On a \(\vec{AD}=k\vec{AB}+l\vec{BC}\), avec k et l deux réels, donc \(\vec{AD}^2 = k^2{\vec{AB}}^2+2kl\vec{AB}.\vec{BC}+l^2{\vec{BC}}^2=kl{\vec{AC}}^2\), or \({\vec{AD}}^2=0\) et \({\vec{AC}}^2<0\), donc soit k=0, soit l=0. l=0 correspondant au cas exclu ou D et B sont confondus, on a donc k=0 et \(\vec{AD}=\vec{BC}\), ainsi que \(\vec{CD}=\vec{CB}+\vec{BA}+\vec{AD}=\vec{CB}+\vec{BA}+\vec{BC}=\vec{BA}\).
Ce qui permet d'arriver à la relation
\({\vec{DB}}^2=-{\vec{AC}}^2\), c'est à dire que la durée correspondant à AC est égale à la longueur correspondant à BD (au facteur c près)
En effet, \(0=(2\vec{AB})^2=(\vec{AB}+\vec{DC})^2=(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{DC}-\vec{BC})^2=(\vec{AC}+\vec{DB})^2={\vec{AC}}^2+2\vec{AC}.\vec{DB}+{\vec{DB}}^2={\vec{AC}}^2+{\vec{DB}}^2\)
Physiquement, cela correspond à l'émission de signaux lumineux en l'évènement A, leur réflexion en les évènements B et D et la réception des signaux réfléchis simultanément en l'évènement C. Expérimentalement, on peut considérer un observateur se tenant immobile sur une règle avec des miroirs à son extrémité. Il allume brièvement une lampe là où il se trouve (évènement A) et après une durée T (évènement C), il voit simultanément les reflets brefs (évènement B et D) de sa lampe allumée brièvement dans les miroirs aux extrémités. Il peut en déduire immédiatement deux choses :
il est au milieu de la règle (sinon il ne verrait pas les reflets de sa lampe sur les miroirs de manière simultanée) et la règle mesure L=cT avec c la vitesse de la lumière sur un aller-retour.
On s'occupera du cas d'une règle en mouvement par rapport à l'observateur une fois que ce premier aspect sera compris, accepté et assimilé.
m@ch3
) avec les humains