Le temps sur la Lune

[Raphaël]

Si je me fie à ce qui est écrit ici, le temps s'écoulerait plus rapidement sur la Lune que sur Terre. Par contre pour le Soleil ce serait le contraire: le temps s'écoulerait plus lentement que sur Terre. Pour le Soleil ça me semble logique que le temps passe plus lentement, mais pour la Lune je suis un peu sceptique.

Est-ce que quelqu'un pourrait confirmer ces résultats ?

[Pepejul]

Sur le Soleil ce sont les journées qui sont super longues....

[ABC]

Si je me fie à ce qui est écrit ici, le temps s'écoulerait plus rapidement sur la Lune que sur Terre. Par contre pour le Soleil ce serait le contraire: le temps s'écoulerait plus lentement que sur Terre. Pour le Soleil ça me semble logique que le temps passe plus lentement, mais pour la Lune je suis un peu sceptique.

Est-ce que quelqu'un pourrait confirmer ces résultats ?

La vitesse de libération à la surface d'une planète de masse M et de rayon R c'est v = (2GM/R)^(1/2) (où G désigne la constante de gravitation universelle). Le facteur de dilatation temporelle de Lorentz (l'allongement du tic tac d'une horloge plongée dans un champ gravitationnel de vitesse de libération associée v) c'est 1/(1-v²/c²)^(1/2).

Comme la vitesse de libération v est plus grande à la surface du soleil qu'à la surface de la terre et plus grande à la surface de la terre qu'à la surface de la lune, le facteur de ralentissement du temps est donc plus important à la surface du soleil qu"à la surface de la terre et à la surface de la terre qu'à la surface de la lune.

Enfin, l'écoulement du temps le plus rapide c'est dans l'espace vide, loin de tout champ gravitationnel tendant à ralentir le tic-tac des horloges qui y sont soumises.

[Raphaël]

Le facteur de dilatation temporelle de Lorentz (l'allongement du tic tac d'une horloge plongée dans un champ gravitationnel de vitesse de libération associée v) c'est 1/(1-v²/c²)^(1/2).

OK merci. J'ai appliqué la formule et j'obtiens:

- Pour la Lune: 1.000000000032

- Pour la Terre: 1.000000000696

Pour avoir l'écoulement du temps sur la Lune par rapport à la Terre je divise l'un par l'autre j'obtiens 0.999999999336.

Est-ce que ça signifie qu'une seconde lunaire=0.999999999336 seconde terrestre ?

[ABC]

Le facteur de dilatation temporelle de Lorentz (l'allongement du tic tac d'une horloge plongée dans un champ gravitationnel de vitesse de libération associée v) c'est 1/(1-v²/c²)^(1/2).

OK merci. J'ai appliqué la formule et j'obtiens:

- Pour la Lune: 1.000000000032

- Pour la Terre: 1.000000000696

Pour avoir l'écoulement du temps sur la Lune par rapport à la Terre je divise l'un par l'autre j'obtiens 0.999999999336.

Est-ce que ça signifie qu'une seconde lunaire=0.999999999336 seconde terrestre ?

Selon wiki :
la seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux hyperfins F=3 et F=4 de l’état fondamental 6S½ de l’atome de césium 133.

La "bonne seconde" est celle que l'on obtient avec cette définition en absence d'accélération de pesanteur (je suppose). Si on applique la définition de la seconde ci-dessus à la surface de la terre et à la surface de la lune, alors on va effectivement trouver une "seconde terrestre" et une "seconde lunaire" avec le ratio que vous avez calculé indiquant le rythme plus rapide (seconde lunaire "plus courte") de tous les phénomènes à la surface de la lune qu'à la surface de la terre.

De mémoire, la vitesse de libération sur terre me semble être d'environ 11 km/s (petite vérif wiki, elle est en fait de 11.2 km/s). Cela conduit à un facteur de dilatation temporelle de Lorentz de l'ordre de 1 + 1/2(11.2/299 792)² = 1 + 6.98 10-10 à la surface de la terre (même valeur que vous)

La vitesse de libération sur la lune selon wiki est de 2.4 km/s ce qui conduit à un facteur de dilatation temporelle de Lorentz de l'ordre de 1 + 1/2(2.4/299 792)² = 1 + 0.32 10-10 à la surface de la lune (même valeur que vous)

Donc le ratio que vous cherchez vaut sensiblement (sauf erreur de ma part)
1- (6.98-0.32) 10-10 = 1- 6.66 10-10 (donc on trouve bien la même valeur)

[richard]

Doit-on aussi tenir compte des vitesses relatives?

[Raphaël]

Doit-on aussi tenir compte des vitesses relatives?

Tu m'as devancé: j'allais poser la même question.

[ABC]

Doit-on aussi tenir compte des vitesses relatives?

Oui, de la vitesse de l'observateur par rapport au référentiel de Schwarzschild. En effet, le cas étudié était celui d'un observateur au repos dans le référentiel de Schwarzschild (donc en mouvement ascendant à vitesse v = (2GM/R)1/2 dans le "bon" référentiel, le référentiel de Lemaître).

Si on considère maintenant un observateur soumis à un mouvement plus général dans un espace-temps (une variété (pseudo-)riemannienne) quelconque, on doit écrire la variation ds² de la métrique le long d'un "petit" incrément de chemin dx (un "petit" 4-vecteur) suivi par l'observateur dans cet espace-temps (on peut définir tout ça rigoureusement dans le cadre de la géométrie différentielle appliquée aux variétés (pseudo-)riemanniennes) :

ds² = somme des gij dxi dxj

On a alors un vieillissement dtpropre de l'observateur (une augmentation dtpropre de son temps propre si on préfère le dire comme ça) au cours de ce (4-)déplacement dx dans l'espace-temps 4D considéré caractérisé par sa métrique :

dtpropre = ds/c

Dans le cas de l'espace-temps de Schwarzschild s'appliquant à proximité d'une planète sphérique (1), la métrique de Schwarzschild s'écrit, en coordonnées sphériques autour de la singularité centrale de masse M :

ds² = (1-v²/c²)(c dt)² - dr²/(1-v²/c²) - r²(dthêta² + sin²(thêta) dphi²) (où v²/2 = GM/r)

Si la vitesse w de l'observateur par rapport au référentiel de Schwarzschild est non nulle mais petite devant v (dr/dt, r dthêta/dt et
r sin(thêta) dphi/dt petites devant v), on aura une bonne approximation de dtpropre en considérant un facteur de dilatation temporelle de Lorentz applicable à dt (allongeant la seconde battue par une light clock donc diminuant la durée qu'elle mesure entre deux évènements) selon le facteur 1/(1-v²/c²)1/2 où v = (2GM/r)1/2, r étant actualisé quand cette altitude change "lentement".

Si au contraire, par rapport au référentiel de Schwarzchild, la vitesse de l'observateur n'est pas négligeable devant v, alors en posant :

w² = (dr/dt)²/(1-v²/c²) + (r dthêta/dt)² + (r sin(thêta) dphi/dt)²

le facteur de dilatation temporelle de Lorentz devient : 1/(1-(v²+w²)/c²)1/2

Ce facteur exprime le ralentissement du vieillissement ( dtpropre ) d'observateurs entre deux hypersurfaces de simultanéité du référentiel de Schwarzschild (deux "présents" successifs de ce référentiel) quand, par rapport au référentiel de Schwarzschild, l'observateur se déplace vite et se trouve plus bas dans le champ de pesanteur par rapport à des observateurs au contraire immobiles situés loin de la singularité centrale, vieillissant eux de dt entre ces deux mêmes feuillets 3D de "présents successifs" (des présents 3D au sens du référentiel de Schwarzschild, à ne pas confondre avec des présents 3D "plus naturels" du référentiel de Lemaître).

(1) Du moins à condition d'être en un lieu où les autres attractions sont négligeables.

[Raphaël]

w² = (dr/dt)²/(1-v²/c²) + (r dthêta/dt)² + (r sin(thêta) dphi/dt)²

Ça se complique...

Désolé mais il y a trop de choses que je ne comprends pas pour pouvoir utiliser cette formule.

[ABC]

w² = (dr/dt)²/(1-v²/c²) + (r dthêta/dt)² + (r sin(thêta) dphi/dt)²

Désolé mais il y a trop de choses que je ne comprends pas pour pouvoir utiliser cette formule.

Je précise les notations :

• dr/dt est la vitesse radiale de l'observateur, la vitesse à laquelle il s'élève (au dessus du corps sphérique de masse M considéré).
  .
• v = (2GM/r)1/2 est la vitesse dite de libération. Par exemple, v = 2.4 km/s à la surface de la lune. Lancé à cette vitesse, un objet ne retombe jamais sur la lune. Il parvient à échapper à l'attraction lunaire. Par contre il retombe sur la lune si on le lance un peu moins vite.
  .
• r dthêta/dt est la vitesse de déplacement de l'observateur dans la direction "nord-sud". thêta est l'angle dit polaire. C'est l'inclinaison, exprimée en radians, par rapport à un axe de référence. Concernant la terre par exemple, en privilégiant le choix de l'axe de rotation de la terre comme axe de référence, cet angle est (en degrés) 0°au pôle nord, 180° au pôle sud.
  .
• r sin(thêta) dphi/dt est la vitesse de déplacement de l'observateur selon la direction ouest-est. Sur terre, phi est la longitude exprimée en radians. Selon le choix arbitraire du méridien de Paris, il est (en degrés) de 0° à Paris et de 180° de l'autre côté de la terre.

[Raphaël]

Je ne suis pas sûr qu'on se comprenne correctement.

Pourquoi parler d'observateur ? Je cherche seulement à connaître le facteur de dilatation temporelle relativiste dû au déplacement de la Lune par rapport à la Terre en les considérant comme deux points dans l'espace.

[ABC]

Je ne suis pas sûr qu'on se comprenne correctement. Pourquoi parler d'observateur ? Je cherche seulement à connaître le facteur de dilatation temporelle relativiste dû au déplacement de la Lune par rapport à la Terre en les considérant comme deux points dans l'espace.

En Relativité, un observateur désigne une ligne d'univers de type temps. Le cdg de la lune et le cdg de la terre sont bien des lignes d'univers de type temps. Au sens de la définition de ce terme en Relativité, ce sont donc des observateurs.

[Raphaël]

En Relativité, un observateur désigne une ligne d'univers de type temps. Le cdg de la lune et le cdg de la terre sont bien des lignes d'univers de type temps. Au sens de la définition de ce terme en Relativité, ce sont donc des observateurs.

Ah, OK. Je ne suis pas habitué au langage d'initiés.

Et le cdg c'est quoi ?

[Christian]

En Relativité, un observateur désigne une ligne d'univers de type temps. Le cdg de la lune et le cdg de la terre sont bien des lignes d'univers de type temps. Au sens de la définition de ce terme en Relativité, ce sont donc des observateurs.

Ah, OK. Je ne suis pas habitué au langage d'initiés.

Et le cdg c'est quoi ?

Centre de Gravité?
Charles de Gaule?

[ABC]

En Relativité, un observateur désigne une ligne d'univers de type temps. Le cdg de la lune et le cdg de la terre sont bien des lignes d'univers de type temps. Au sens de la définition de ce terme en Relativité, ce sont donc des observateurs.

Ah, OK. Je ne suis pas habitué au langage d'initiés.

Du coup, je rajoute une ou deux définitions complémentaires propres à la relativité :

• dans l'espace-temps de Minkowski, un observateur inertiel est une ligne droite de type temps,
  .
• l'instant présent associé à cet observateur est un hyperplan 3D qui lui est perpendiculaire
  (au sens de la métrique de Minkowski ds² = (c dt)² - dx² - dy² -dz²))
  .
• le référentiel inertiel de cet observateur est l'ensemble de toutes les lignes droites qui lui sont parallèles,
  .
• Dans un référentiel qui n'est pas inertiel (un corps en mouvement non inertiel dans l'espace-temps de Minkowski par exemple) les lignes d'univers qui le forment (on appelle ça un feuilletage 1D) ne sont plus des droites. Elles peuvent même ne pas être de type temps. C'est le cas par exemple des "observateurs" au repos dans le référentiel de Schwarzschild sous la surface de Schwarzschild (dans l'espace-temps de Schwarzschild). Dans ce cas, ces observateurs sont dit non physiques (ils se déplacent "trop vite". Leurs lignes d'univers sortent du cône de causalité relativiste, donc aucun objet physique ne peut suivre ces lignes d'univers).

Et le cdg c'est quoi ?

Centre de Gravité?

Oui.