Calcul d'une ellipse

[StankaB231]

Bonjour.

Je cherche à calculer le périmètre d'une ellipse. Il y a bien des calculateurs en ligne grand public, mais malheureusement aucun ne me renvoies le même résultat...

Je me demande pourquoi, et dans ce cas, à quel calculateur me fier pour être au plus précis svp ?

Merci d'avance.
Bonne soirée

[spin-up]

Il n'existe pas d'équation pour le périmètre d'une ellipse.
Son calcul nécessite une integrale, dont la solution ne s'exprime pas avec une fonction connue, il faut donc utiliser des dévellopements en séries qui donnent des approximations plus ou moins précises.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_( ... u%20cercle.

[StankaB231]

Merci pour votre réponse mais est-ce que vous savez pourquoi il faut en passer par une intégrale pour faire ce calcul, qui pourtant devrait être élémentaire du fait qu'une ellipse c'est une forme élémentaire. C'est bizarre non ?

[spin-up]

De facon générale, la longueur d'une courbe parametrique est toujours une intégrale.
Le calcul du perimetre est expliqué dans l'article wikipedia.

[Invité]

Matt Parker compare plusieurs approximations.

https://youtu.be/5nW3nJhBHL0

I.

[spin-up]

Matt Parker compare plusieurs approximations.

https://youtu.be/5nW3nJhBHL0

I.

J'adore cette chaine, je n'ai pas posté car c'est en anglais mais j'ai immédiatement pensé à cette vidéo.

[Arensor]

Hello,

Si c’est pour une application numérique concernant une ellipse dont vous connaissez l’équation cartésienne, vous pouvez toujours calculer le périmètre en discrétisant la courbe en couples de points (Xi, Yi) puis en calculant la longueur du segment entre 2 points (Xi,Yi) et (Xi+1, Yi+1), et en sommant ensuite tout ça.

En raison de la symétrie, il suffit de faire cela sur un des quarts de la courbe et multiplier par 4 ensuite.

Sur Excel, cela prend quelques minutes.

[StankaB231]

Hello,

Si c’est pour une application numérique concernant une ellipse dont vous connaissez l’équation cartésienne, vous pouvez toujours calculer le périmètre en discrétisant la courbe en couples de points (Xi, Yi) puis en calculant la longueur du segment entre 2 points (Xi,Yi) et (Xi+1, Yi+1), et en sommant ensuite tout ça.

En raison de la symétrie, il suffit de faire cela sur un des quarts de la courbe et multiplier par 4 ensuite.

Sur Excel, cela prend quelques minutes.

Merci, dans ce cas la méthode Excel que vous décrivez ressemble à celle montrée dans ces visuels pour ce qui est de faire une sommation de diagonales de rectangles, lesquelles dessinent un quart de cercle.

Du coup et n'ayant pas les connaissances suffisantes en math, la formule présentée serait aussi une intégrale ?

Parce que là aussi, plus on augmente le nombre d'itérations n, plus la précision augmente.

Mais dans cette démonstration, ce qui paraît surprenant c'est que peu importe la projection de n tendant vers l'infini, en faisant la sommation non pas des diagonales, mais de leurs surfaces rectangulaires respectives, c'est la numérique de Pi qui s'inscrit.
Ce qui signifie que la sommation des surfaces de chacune des couches n tend vers Pi et non pas Pi x D ! Il y aurait comme une décorrélation avec la notion de rayon...






équation mathématique

[spin-up]

Du coup et n'ayant pas les connaissances suffisantes en math, la formule présentée serait aussi une intégrale ?

Une intégrale c'est une somme continue avec des intervalles infiniments petits.
Toutes methodes qui additionnent des éléments finis sont des approximations d'intégrale.

[Arensor]

Merci, dans ce cas la méthode Excel que vous décrivez ressemble à celle montrée dans ces visuels pour ce qui est de faire une sommation de diagonales de rectangles, lesquelles dessinent un quart de cercle.

Bien que ce que vous montrez ici ne soit pas en rapport avec votre question initiale, il s'agit d'une méthode d'approximation par discrétisation (ici pour l'évaluation de Pi), sur le principe similaire à celle suggérée dans ma réponse.
Quand on ne peut pas appliquer le calcul infinitésimal, ou que l'on a pas l'envie / temps/ compétence pour calculer une intégrale, on biaise...

Dans le cas du calcul du périmètre d'une ellipse, c'est beaucoup plus simple que d'évaluer Pi. A titre d'exemple la circonférence d'une ellipse d'équation X2/2 + Y2 = 1 *, discrétisée à 30 points / quart donne : 7,568 (j'ai fait cela rapidement, j'espère que je ne me suis pas planté... )

(*) Question aux experts du forum: comment fait-on pour écrire les caractères sous forme d'exposant, ou indice, les symboles grecs (Pi par exemple) voire autres caractères plus ou moins scientifiques ...? Merci !

[nikola]

Soit on les a programmés sur son clavier, comme tout matheux de base, soit on les emprunte dans une table de caractères.

[Jean-Francois]

(*) Question aux experts du forum: comment fait-on pour écrire les caractères sous forme d'exposant, ou indice, les symboles grecs (Pi par exemple) voire autres caractères plus ou moins scientifiques ...? Merci !

Pour les exposants et indices, il y a les balises "sup" et "sub". Il y a(avait?) moyen d'utiliser LaTex sur le forum mais je ne sais pas comment.

Jean-François

[Arensor]

(*) Question aux experts du forum: comment fait-on pour écrire les caractères sous forme d'exposant, ou indice, les symboles grecs (Pi par exemple) voire autres caractères plus ou moins scientifiques ...? Merci !

Pour les exposants et indices, il y a les balises "sup" et "sub". Il y a(avait?) moyen d'utiliser LaTex sur le forum mais je ne sais pas comment.

Jean-François

Merci beaucoup !

[PhD Smith]

Ça marche avec "tex": \(\epsilon\)\(\pi\)

Code : Tout sélectionner

[tex]\epsilon[/tex][sup][tex]\pi[/tex][/sup]

[Arensor]

Ça marche avec "tex": \(\epsilon\)\(\pi\)

Code : Tout sélectionner

[tex]\epsilon[/tex][sup][tex]\pi[/tex][/sup]

Merci !

[thewild]

Ça marche avec "tex": \(\epsilon\)\(\pi\)

Code : Tout sélectionner

[tex]\epsilon[/tex][sup][tex]\pi[/tex][/sup]

Plus court : \(\epsilon^\pi\)

Code : Tout sélectionner

 [tex]\epsilon^\pi[/tex]

[Arensor]

Ça marche avec "tex": \(\epsilon\)\(\pi\)

Code : Tout sélectionner

[tex]\epsilon[/tex][sup][tex]\pi[/tex][/sup]

Plus court : \(\epsilon^\pi\)

Code : Tout sélectionner

 [tex]\epsilon^\pi[/tex]

C'est magique....
Finalement, pas besoin d'aller chercher midi à 14 h, tout se trouve dans l'utilisation de cette balise "tex"...
Thanks!

[ABC]

Soit on les a programmés sur son clavier, comme tout matheux de base, soit on les emprunte dans une table de caractères.

Je signale, pour ceux qui sont trop paresseux et pas assez puristes pour se farcir du Latex pur et dur, la possibilité de générer un fichier Latex en mode Wysiwim (donc en faisant peu d'efforts). Pour cela, on dispose de Lyx en libre accès (cf https://telecharger.tomsguide.fr/word-l ... 10661.html).

Bon, pour installer Lyx sur mon ordinateur il y a quelques années (avec la version de l'époque. Je n'y ai plus retouché depuis), j'ai eu quelques soucis liés à des petits bugs (les joies de l'open source). Toutefois après une grosse 1/2 journée d'effort pour trouver en tout et pour tout deux petites erreurs de nom de ficher qui m'empêchaient de finir l'installation de certains des fichiers, j'ai pu m'en servir (un informaticien aurait surement trouvé les bug et surmonté la difficulté en moins de 5 minutes). Toutefois, à cette époque, le téléchargement lui-même des différents fichiers requis pour l'installation prenait du temps (en tout cas il en premait sur mon ordi de l'époque).

Sinon, pour des calculs allant somme toute assez loin, je trouve Mathcad très bien. Sa (ex)version en libre accès faisait déjà énormément de choses et y écrire l'intégrale pour calculer la circonférence d'une elllipse se fait en moins d'une minute. Les équations s'y écrivent "comme elles se prononcent" ;-) et Mathcad se charge de les calculer.

Au paravant existait une version limitée de Mathcad mais pas tant que ça (Mathcad express) complètement gratuite à l'époque et définitivement disponible une fois téléchargée. Ce n'est plus le cas. On n'a plus que des versions d'évaluation de Mathcad valables 30 jours (à moins que j'ai mal cherché).

[PhD Smith]

Pour la balise tex, ça dépend du contenu php du forum, où le latex est plus implémenté avec des bibliothèques selon les fora: https://www.mathematex.fr/viewtopic.php?t=17351

[Arensor]

Je signale, pour ceux qui sont trop paresseux et pas assez puristes pour se farcir du Latex pur et dur, la possibilité de générer un fichier Latex en mode Wysiwim (donc en faisant peu d'efforts)...

Oui. Bon, en même temps, sur un forum comme ici, savoir écrire \(X^2\), ça peut être suffisant... On a moins d'opportunités de rédiger cela:
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\;dx= ???\]

[thewild]

Je signale, pour ceux qui sont trop paresseux et pas assez puristes pour se farcir du Latex pur et dur, la possibilité de générer un fichier Latex en mode Wysiwim (donc en faisant peu d'efforts)...

Oui. Bon, en même temps, sur un forum comme ici, savoir écrire \(X^2\), ça peut être suffisant... On a moins d'opportunités de rédiger cela:
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\;dx= ???\]

Peut-être pas à ce point, mais il me semble qu'on a quand même écrit des trucs un peu plus compliqués que \(x^2\) dans la discussion sur la relativité restreinte.
Beaucoup d'indices et d'exposants surtout.

[nikola]

Bon, pour installer Lyx sur mon ordinateur il y a quelques années (avec la version de l'époque. Je n'y ai plus retouché depuis), j'ai eu quelques soucis liés à des petits bugs (les joies de l'open source).

Ça n’a rien à voir avec le fait que le code source soit ouvert, mais plutôt avec le fait que LyX n’est pas à jour.

[PhD Smith]

La page Lyx est là: https://www.lyx.org/WebFr.Home

Comme le dit ABC, Lyx est un intermédiaire entre Word et un compilateur Latex pour éditer ses documents. Richard doit connaître ses maths pour écrire ses équations. Comme ABC et Richard se connaissent, je les imagine en train de boire une bière et de se mettre de grandes claques dans le dos en rigolant du bon vieux temps sur le forum.

\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\;dx= Paranormal = Latex !\)

Code : Tout sélectionner

[tex]\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\;dx= Paranormal = Latex ![/tex]

Comme on le voit on a du texte en italique car les expressions mathématiques le sont.