Le paradoxe des deux enfants et Wikipedia

[PhilippeL]

J'ai récemment lu un article de wikipedia sur le paradoxe des deux enfants. En résumer, la problème se formule ainsi : Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ?

Sans mêler à tout ça les questions de statistiques obstétriques et en posant qu'il y a exactement une chance sur deux qu'un enfant soit une fille (ou un gars), on retient 2 raisonnements qui sont principalement traités dans l'article de wikipedia.

Le premier est celui du "professeur" :

Le bon sens de l'élève tendrait à répondre 50%, à tort, selon le professeur de mathématiques. En effet, quatre combinaisons de probabilité égale sont possibles :

1.Fille Fille
2.Garçon Garçon
3.Fille Garçon
4.Garçon Fille
Le fait qu'on sache qu'il y a au moins un garçon élimine la première possibilité, et la probabilité d'avoir deux garçons sachant que l'un des deux enfants est un garçon n'est que de 1/3.

et celui de l'élève :

L'élève rétorquera au professeur : « Mais enfin, pourquoi le fait de savoir qu'un des deux enfants est un garçon influe-t-il sur le sexe de l'autre ? ».

Pour l'élève, l'information « l'un d'eux est un garçon » n'est qu'une remarque qui ne concerne que le premier enfant (l'un). Mais puisque la réponse porte sur l'autre, la réponse est évidemment 1/2 (en supposant, comme le fait le professeur, qu'il n'y a pas de corrélation entre le sexe des deux enfants).

Et finalement, voici la conclusion de wikipedia :

La réponse dépend du contexte dans lequel est posée la question. Par exemple, dans un institut obstétrique ou de statistique, il faudra prendre en compte les données empiriques et préférer la quatrième réponse, alors qu'ailleurs la situation sera modélisée. Mais surtout dans le contexte d'une salle de classe ou d'examen en mathématiques, le terme sachant que renvoie automatiquement à l'usage de probabilités conditionnelles, alors que ce n'est pas le cas lorsque la question est posée à l'homme de la rue ou dans le présent article. Ici, il faut appréhender sachant que comme un terme du langage courant et non comme un jargon mathématique.

En conclusion, la question est trop imprécise pour qu'une réponse unique puisse être avancée. Mais, sommé de répondre, il faut admettre que la réponse 1/2 est la plus fréquente ; et puisque qu'en matière de sémantique, l'usage courant fait loi, le principe de neutralité qui régie cette encyclopédie nous oblige à donner raison à l'élève. Le fait que la solution du professeur soit souvent imposée à l'homme de la rue, s'explique par l'autorité de la parole savante, comme l'a mis en évidence l'expérience de Milgram. Il faut tout de même noter que, sans doute, l'interprétation 1/2 n'est prédominante que parce que c'est la plus simple.

Je suis d'accord que, pour un institut obstétrique, la réponse sera quelque peut différente. Mais pour ce qui est de la confrontation des raisonnements "élève/prof", je trouve que la position de Wikipedia est énormément trop souple et modérée. Pour moi, c'est du "100/0", la probabilité est assurément de 1/2 et assurément pas de 1/3, alors que sur wikipedia, on pouvait aussi lire :

Le paradoxe, tel qu'il est connu, ne porte que sur la divergence de point de vue entre l'élève et le professeur. Aussi élimine-t-on de la discussion les réponses trois et quatre qui, bien que pertinentes, sont tout à fait marginales.

Cette seconde réponse de mathématicien est, tout comme la première de l'élève, contestable ; car l'on peut juger la question ambiguë.

Or, je ne vois absolument rien de contestable dans le raisonnement de l'élève alors que celui de prof l'est entièrement, puisqu'il ne met pas à jour les données du système de probabilité. C'est comme s'il prétendait que le résultat d'un lancer de pile ou face pouvait influencer le suivant.

Si j'avais eu a rédiger un article de ce genre pour wikipedia, j'aurais écrit en conclusion : le raisonnement du prof est totalement erroné et c'est l'élève qui a raison. Êtes-vous d'accord avec moi que la position de wikipedia est beaucoup trop souple~tordue?

Amicalement,
Phil

[Xenu911]

C'est bien connu que Wikipedia n'est pas une source fiable d'information. N'importe qui peut y écrire n'importe quoi. Bien sûr, parfois l'information y est excelente. Ce paradoxe est intéressant. Mais comme il est dit, la question est mal foutue. C'est facile d'arriver à toute sortes de paradoxes en jouant sur les mots.

Mais en fait, à bien y réfléchir, la réponse est indéniablement 1/2. En effet, il suffit de se demander - l'autre enfant (qui n'est pas le garçon) est-t-il plus jeune ou plus vieux? S'il est plus jeune, alors il ne reste que deux possibilités (dans l'ordre chronologique):

- Garçon-Garçon
- Garçon-Fille

est la probabilité d'avoir une fille en second est 1/2.

De même si le garçon est le plus jeune, il reste deux possibilités

- Fille-Garçon
- Garçon-Garçon

et la probabilité est encore de 1/2 pour une fille. Comme le garçon doit forcément être soit plus jeune soit plus vieux (même pour des jumeaux), alors la réponse est claire. C'est 1/2. Le facteur 1/3 n'a pas sa place dans la réalité quelle qu'elle soit. Le facteur serait de 1/3 si l'un des enfants (en fait les deux!) seraient à la fois plus jeune et plus vieux que l'autre en même temps, ce qui est impossible, sauf peut-être si ce sont des enfants quantiques!

[Dirge]

Bonjour,

Je pense que Denis se fera un plaisir de vous répondre.

Pour votre information, en suivant un cursur un minimum scientifique, la notion de probabilités conditionnelles est étudié (je ne me rappelle plus si c'est avant ou àprès le bac (NdR : je vis en France)).

Je n'ai pas retenu grand chose sinon que l'emploi du terme "sachant que" à un sens très précis en statistiques : j'aurais donc donné la première réponse (celle du professeur).
C'est d'ailleurs la seule des 2 réponses qui prend en compte l'hypothèse initiale : 50% de filles / 50% de garçons dans l'ensemble de la population.

[Platecarpus]

Si j'avais eu a rédiger un article de ce genre pour wikipedia, j'aurais écrit en conclusion : le raisonnement du prof est totalement erroné et c'est l'élève qui a raison. Êtes-vous d'accord avec moi que la position de wikipedia est beaucoup trop souple~tordue

Oui, mais moi j'aurais écrit que la position de l'élève est totalement erronée et que c'est le prof qui a raison : si l'on ne sait pas lequel des deux enfants est le plus jeune (il suffit de le préciser dans la question si on veut lever l'ambiguïté), la réponse correcte est bien 1/3.
(Par ailleurs, le passage : "Mais, sommé de répondre, il faut admettre que la réponse 1/2 est la plus fréquente ; et puisque qu'en matière de sémantique, l'usage courant fait loi, le principe de neutralité qui régie cette encyclopédie nous oblige à donner raison à l'élève. Le fait que la solution du professeur soit souvent imposée à l'homme de la rue, s'explique par l'autorité de la parole savante, comme l'a mis en évidence l'expérience de Milgram." me semble relever du relativisme le plus douteux, d'autant plus que la sémantique n'a en l'occurrence qu'un rapport assez lointain avec le schmilblick, sans parler de l'expérience de Milgram qui arrive un peu comme un cheveu sur la soupe.)

Si je me souviens bien, cette question avait déjà été abordée sur le forum, et on était effectivement arrivés à la conclusion que le problème n'était pas posé très clairement : si on choisit un couple au hasard parmi l'ensemble des couples ayant deux enfants dont au moins un garçon, alors il y a effectivement deux chances sur trois que l'autre enfant soit une fille. Si on considère l'ensemble des enfants de ces mêmes couples et qu'on choisit cette fois-ci un enfant au hasard, alors l'enfant a une chance sur deux d'avoir une soeur et une chance sur deux d'avoir un frère : les deux modes opératoires se ressemblent, mais ils ne sont pas identiques et ils n'aboutissent pas au même résultat. Le problème n'est pas très clair sur celui des deux qui est envisagé.
En fait, j'ai l'impression que c'est la formulation "sachant qu'un des deux..." qui donne l'impression qu'on a choisi un enfant en particulier (ce qui incite à demander, comme le fait Xenu911, s'il est l'aîné ou le cadet). En précisant "sachant qu'un au moins est un garçon", à mon avis, ça lèverait l'ambiguïté (on ne peut plus demander si ledit "enfant au moins" est plus jeune ou plus vieux que l'autre ), et la réponse serait incontestablement de 1/3 (on peut même préciser lourdement qu'on a choisi un couple au hasard, pas un enfant). Cela dit, 1) Denis est sûrement plus au fait que moi de la bonne façon de poser clairement un problème de probabilités donc il aura sans doute un avis plus éclairé 2) cela relève effectivement du jeu sur les mots.
(edit : hum, je viens de constater que ce raisonnement était déjà développé dans l'article de Wikipedia. Dans ce cas, je trouve que cet article n'est pas si mal comme ça : c'est surtout la conclusion qui obscurcit plus qu'elle n'elle l'éclaire. En réalité, l'intérêt de ce paradoxe est que, même si la question est correctement posée en précisant "au moins", on est assez tenté de répondre "1/2" ; la question de la formulation est périphérique. Un peu dommage qu'elle occupe tant de place.)

[PhilippeL]

Salut Platecarpus,

Oui, mais moi j'aurais écrit que la position de l'élève est totalement erronée et que c'est le prof qui a raison : si l'on ne sait pas lequel des deux enfants est le plus jeune (il suffit de le préciser dans la question si on veut lever l'ambiguïté), la réponse correcte est bien 1/3.

Pourtant, l'âge des enfants ne change pas les probabilités, Xenu911 a bien démontré que 2 scénarios menaient à une probabilité de 1/2. Je comprend mal ton point de vue.

[...]si on choisit un couple au hasard parmi l'ensemble des couples ayant deux enfants dont au moins un garçon, alors il y a effectivement deux chances sur trois que l'autre enfant soit une fille.

Je ne suis pas d'accord avec ce raisonnement. Faisons l'expérience "hypothétiquement" avec des pièces de 25 cents qui doivent être lancées. Posons que le couple "A" regroupe les pièces de 25 cents 1 et 2. Sachant qu'une des pièces (1 ou 2) est tombée sur "face", quelle est la probabilité que l'autre tombe aussi (ou soit tombée) sur "face"? Cette probabilité est tout-à-fait indépendante du résultat de l'autre, on est d'accord?

Donc, si on met de côté toutes les couples avec au moins une pièce "face", l'autre pièce de ces couples a autant de chance d'être "pile" que "face" soit 1 sur 2. Je ne vois pas qu'est-ce qu'il y a de mal dans ce raisonnement.

Amicalement,
Phil

[Denis]

Salut surtout à Phil,

Moi, j'ai voté "non". Je le trouve correct, cet article de Wikipedia.

Telle que posée, la question « Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? » est un peu ambiguë.

Reste à voir si c'est un gros peu ou un tipeu. Ce n'est pas une ambiguïté totale, ni une ambiguïté nulle. C'est une ambiguïté grise, ambiguë.

La peau-de-banane sémantique est mise sous la loupe ici :

La différence d'interprétation porte sur une question de précédence entre la "détermination" de l'un et l'autre et l'information « l'un est un garçon » :

* Pour l'élève, chaque enfant est d'abord désigné sous le terme l'un et l'autre ; puis, l'information « l'un est un garçon » est donnée. La précision est alors

... l'un « préalablement déterminé » ...

* Pour le professeur, l'information « l'un est un garçon » "détermine" qui sont l'un et l'autre. La précision est alors

... l'un « est choisi de sorte que : il » ...

En réalité, parler de désignation, détermination ou encore de définition est abusif dans ce cas, car l'affectation n'est pas résolue lorsque les deux enfants se trouve être deux garçons. Ainsi, outre le fait que l'interprétation de l'élève offre le calcul le plus simple, ce dernier point peut expliquer pourquoi l'interprétation 1/2 est préférée dans le langage courant.

Bien sûr, si l'un d'eux est un garçon, ça implique qu'il y a au moins un garçon. Le problème est de savoir à quel point le fait qu'il y ait au moins un garçon implique que l'un d'eux soit un garçon.

Si j'avais deux garçons et que quelqu'un, sachant que j'ai deux enfants, me demandait « l'un d'eux est-il un garçon (OUI ou NON)? », je serais bien embêté de lui répondre en un seul mot. Si j'étais forcé de répondre par un seul mot, je répondrais "OUI".

Je trouve que Phil est un peu sévère de donner du 100/0 à l'élève contre le prof. Moi, je lui donnerais plutôt un 90/10 flou.

Denis

[Platecarpus]

Je ne suis pas d'accord avec ce raisonnement. Faisons l'expérience "hypothétiquement" avec des pièces de 25 cents qui doivent être lancées. Posons que le couple "A" regroupe les pièces de 25 cents 1 et 2. Sachant qu'une des pièces (1 ou 2) est tombée sur "face", quelle est la probabilité que l'autre tombe aussi (ou soit tombée) sur "face"? Cette probabilité est tout-à-fait indépendante du résultat de l'autre, on est d'accord?

Donc, si on met de côté toutes les couples avec au moins une pièce "face", l'autre pièce de ces couples a autant de chance d'être "pile" que "face" soit 1 sur 2. Je ne vois pas qu'est-ce qu'il y a de mal dans ce raisonnement.

C'est toujours le même problème : si on considère une pièce (définie : la n°1 ou la n°2), alors la probabilité que l'autre soit tombée sur face (ou sur pile) vaut 1/2. Si on considère "une pièce au moins" (sans préciser laquelle des deux c'est), alors le résultat n'est plus le même. L'article de Wikipedia identifie en fait très bien le problème (du coup, j'ai voté "Non").

En écrivant dans l'ordre le résultat de la pièce 1 puis celui de la pièce 2, après une infinité de lancers (à coeur vaillant, rien d'impossible), on obtient 25 % des fois PP et autant de fois PF, de FP et de FF. Si on sait que la pièce n°1 est tombée sur pile, alors les possibilités PF et PP sont les deux seules qui restent possibles et elles sont équiprobables : la pièce restante a une chance sur deux d'être tombée sur face. Si, au contraire, on choisit au hasard un résultat parmi tous les résultats réalisés et qu'on sait qu'au moins une des deux pièces (de numéro indéterminé) est tombée sur pile, alors les résultats PF, FP et PP sont possibles tous les trois et restent équiprobables : il y a donc 2/3 de chances qu'une des deux pièces soit tombée sur face. Le raisonnement de Xenu911 ne s'applique pas dans ce cas : si on sait juste qu'au moins une des deux pièces est tombée sur pile, demander si c'est la n°1 ou la n°2 n'a aucun sens : dans le cas où c'est PP qui s'est produite, la seule réponse possible est "les deux"... et elle est juste 1/3 du temps. Ce n'est pas évident à expliquer mais intuitivement, sans la formule de Bayes, j'arrive à trouver ça à peu près visible.

[PhilippeL]

Salut à Platecarpus et à Denis,

C'est toujours le même problème : si on considère une pièce (définie : la n°1 ou la n°2), alors la probabilité que l'autre soit tombée sur face (ou sur pile) vaut 1/2. Si on considère "une pièce au moins" (sans préciser laquelle des deux c'est), alors le résultat n'est plus le même.

Décortiquons ce que tu viens d'écrire :

Soient deux pièces de monnaie, une jaune et une rouge.

-Situation 1 : On "flip" la jaune et elle tombe sur "face". Si on "flip" la rouge, on a une chance sur 2 qu'elle tombe aussi sur "face".
- Situation 1.1 (découlant de la situation 1) : On "flip" la rouge et elle tombe sur "face". Si on "flip" la jaune, on a une chance sur 2 qu'elle tombe aussi sur "face".

(jusqu'ici, on est en accord, mais la suite logique est pour moi ) :

-Situation 2 : On "flip" une des 2 pièces (sans préciser laquelle c'est).
-Situation 2.1 : La pièce "flippée" est la jaune --> probabilité de l'autre = 1/2 : réf. situation 1
-Situation 2.2 : La pièce "flippée" est la rouge --> probabilité de l'autre = 1/2 : réf. situation 1.1

Bref, le fait de savoir ou non quelle pièce a été "flippée" ne change absolument rien, puisque le résultat est le même pour les 2 situations.

C'est la notion de regroupement en couple qui est fautive. Si on fait 50 "pile ou face", la probabilité idéale veut qu'il y ait 25 piles et 25 faces. Or, si les 5 premiers tirages sont des "faces", la probabilité, après que les 50 tirages soient fait, est de 27.5 faces contre 22.5 piles et non plus de 25/25. Il faut mettre les données à jour. Dans le même ordre d'idées, la probabilité initiale d'avoir 2 garçons sur 2 enfants est de 1/4. Cependant, si on nous informe qu'on a un garçon assurément en banque, elle monte à 1/2.

Si j'avais deux garçons et que quelqu'un, sachant que j'ai deux enfants, me demandait « l'un d'eux est-il un garçon (OUI ou NON)? », je serais bien embêté de lui répondre en un seul mot. Si j'étais forcé de répondre par un seul mot, je répondrais "OUI".

Tout d'abord, ton exemple strawmanises énormément l'énoncé principal. Tu sembles vouloir dire que dans l'énoncé, le fait de dire que l'un des enfants est un garçon puisse laisser sous-entendre maladroitement que l'autre n'en soit pas un. Dans ton exemple, ça peut passer, mais dans l'énoncé, non :

Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ?

Ok, admettons que le prof, à la lecture de cet énoncé, se laisse flouer de la façon que ton exemple le propose. Ça voudrait dire qu'en se faisant dire "l'un des enfants est un garçon", il en déduirait maladroitement que l'autre n'en est pas un. Il devrait donc donner à "Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ?" une probabilité de 0%. Or, s'il donne plus que 0%, c'est qu'il est très bien conscient que "savoir qu'un des enfants est un garçon" ne nous donne pas plus d'infos sur le sexe de l'autre enfant. Et, comme il croit que la probabilité est de 1/3, ton exemple ne défend absolument pas du tout sa position.

Amicalement,
Phil

[Denis]

Salut Phil,

Droit au coeur du sujet.

L'énoncé du problème est :

« Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? »

Je maintiens que cet énoncé est ambigu. Il y a plusieurs contextes différents qui s'ajustent tous à l'énoncé, et qui mènent à des réponses différentes.

Contexte # 1 : Je vais visiter un vieil ami que je n'ai pas vu depuis longtemps. J'ai appris qu'il avait deux enfants. En approchant de sa maison, je vois mon ami en train de jouer avec un petit garçon qui l'appelle "papa".

Relis l'énoncé de la citation. Il colle parfaitement à ce contexte # 1 et, dans ce cas de figure, la réponse est 1/2.

Contexte # 2 : Je rencontre, par hasard, un vieil ami que je n'ai pas vu depuis longtemps. Il me dit qu'il a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon.

Relis encore l'énoncé de la citation. Il colle encore parfaitement au contexte #2 et, dans ce cas de figure, la réponse la plus naturelle est ~0. Si mon ami avait eu deux garçons, il aurait dit "j'ai deux garçons" plutôt que "l'un d'eux est un garçon" (bien que, avec des amis mathématiciens, on peut s'attendre à tout).

Contexte # 3 : Quelques jours avant Noël, je rencontre par hasard un vieil ami en train de potasser dans le rayon des jouets pour garçons d'un grand magasin. Il me dit qu'il a deux enfants et qu'il est venu leur acheter des jouets. J'en déduis qu'il a au moins un garçon. Relis l'énoncé du problème. Il s'applique encore et, cette fois, la réponse est ~1/3.

Et, en guise de cerise sur le sundae, il y a la peau-de-banane langagière qui consiste à dire "X" plutôt que "au moins X". Pour réussir tel examen, il faut avoir 60%. Pour acheter des cigarettes, il faut avoir 18 ans. Ça ne signifie pas que quelqu'un qui a 80% coule l'examen, ni qu'un type de 80 ans ne peut pas acheter de cigarettes (à moins qu'il soit trop poqué par le tabagisme pour se rendre au dépanneur).

Le problème est de savoir s'il est admissible de dire "l'un deux est un garçon" au lieu de "il a au moins un garçon". Un peu comme pour le 60% et le 80 ans.

Ça dépend du contexte et c'est justement ça qui manque, dans l'énoncé du problème. Comment a-t-on su qu'il avait au moins un garçon? Ça joue sur la réponse, comme le montrent les trois contextes que j'ai exposés.

On devrait peut-être virer ça en Redico.

Denis

[PhilippeL]

Salut Denis,

Right on the subject heart! (scusez l'anglais)

Je commence par le bas :

Et, en guise de cerise sur le sundae, il y a la peau-de-banane langagière qui consiste à dire "X" plutôt que "au moins X". Pour réussir tel examen, il faut avoir 60%. Pour acheter des cigarettes, il faut avoir 18 ans. Ça ne signifie pas que quelqu'un qui a 80% coule l'examen, ni qu'un type de 80 ans ne peut pas acheter de cigarettes (à moins qu'il soit trop poqué par le tabagisme pour se rendre au dépanneur).

Le problème est de savoir s'il est admissible de dire "l'un deux est un garçon" au lieu de "il a au moins un garçon".

Oui, ça l'est. Mais si, pour quelqu'un (ex.:le professeur) ça ne l'est pas, alors on tombe directement dans le mode de pensée contexte #2, ce que ne fait pas le prof.


Passons aux choses sérieuses maintenant :

Contexte # 3 : Quelques jours avant Noël, je rencontre par hasard un vieil ami en train de potasser dans le rayon des jouets pour garçons d'un grand magasin. Il me dit qu'il a deux enfants et qu'il est venu leur acheter des jouets. J'en déduis qu'il a au moins un garçon. Relis l'énoncé du problème. Il s'applique encore et, cette fois, la réponse est ~1/3.

Le souligné est de moi, et je suis en désaccord avec ce bout là (même si j'ai l'impression que le prof de stat va me baiser (métaphore on s'entend) avec ses probabilités). Moi, je donne une probabilité de 1/2 au contexte #3 et non 1/3. Pourquoi? Principalement parce que.

Mais aussi, puisque en relisant ton contexte #1, je me rend compte qu'il est presqu'identique au contexte #3. Tient, en voici un quatrième.

Contexte # 4 : Quelques jours avant Noël, je rencontre par hasard un vieil ami en train de potasser dans le rayon des jouets d'un grand magasin. Il me dit qu'il a deux enfants et qu'il est venu leur acheter des jouets. Tout à coup, jaillit du bout de la rangée un petit garçon qui appelle mon ami "papa".

J'imagines que tu donnes (comme moi) à l'autre enfant 1/2 la possibilité d'être un garçon dans ce contexte #4. Or, la seule donnée qui diffère par rapport au contexte #3 est le fait que dans la #4, on déduit que l'ami a un garçon car un petit gars l'appelle "papa" et dans la #3, on déduit que l'ami a un garçon car il magasine des jouets pour garçon. Or, ces deux déductions nous mènent à la même information : Le vieil ami a au moins un garçon, non?

Quelle information a-t-on (en plus ou en moins) du contexte #1 au #3 ?

Pour moi, a partir du moment où on sait qu'il y a 2 enfants dans une famille et que l'un est un gars, il reste 2 possibilités : soit l'autre est un gars ou une fille. Mais pour moi, le sexe de cet enfant est indépendant de celui des autres.

Si dans ton contexte #3 ton ami avait une famille du vieux temps de 15 enfants et qu'il te donnait des informations qui te mèneraient à déduire qu'au moins 14 sont des gars, pourquoi le 15 n'aurait-il pas lui non plus une chance sur 2 d'être un gars? Après tout, les 14 autres auraient bien pu être victimes d'un attentat terroristre quelques secondes avant votre discussion et l'autre, seul, aurait alors une chance sur 2 d'être un gars.

J'espère que j'ai été assez clair pour que le statisticien en toi décèle mes torsions de pseudo-statisticien d'un jour.

Amicalement,
Phil

[Denis]

Salut Phil,

Diritto nel cuore dell'argomento.
Recht im Herzen des Themas.
Derecho en el centro del tema.

Merci Babelfish.

Tu dis :

Le problème est de savoir s'il est admissible de dire "l'un d'eux est un garçon" au lieu de "il a au moins un garçon".

Oui, ça l'est. Mais si, pour quelqu'un (ex.:le professeur) ça ne l'est pas...

Au contraire, c'est précisément ce que fait le prof : il interprète le bout flou "l'un d'eux est un garçon" comme signifiant "il y a au moins un garçon". Et, à partir de là, le raisonnement menant à une réponse de 1/3 est tout à fait correct.

Le problème vient du fait que "l'un d'eux est un garçon" est flou et qu'il y a plusieurs façons de le déflouter.

Tiens, si tu prétends que "l'un des enfants est un garçon" n'est pas flou, tu devrais pouvoir en énoncer clairement sa négation.

La négation de "l'un des enfants est un garçon" est-elle :

a) L'un des enfants est une fille.
b) Il n'y a aucun garçon.
c) Autre (spécifier).

Quelle que soit ta réponse, a, b ou c, je t'attends au détour.

Contexte # 4 : Quelques jours avant Noël, je rencontre par hasard un vieil ami en train de potasser dans le rayon des jouets d'un grand magasin. Il me dit qu'il a deux enfants et qu'il est venu leur acheter des jouets. Tout à coup, jaillit du bout de la rangée un petit garçon qui appelle mon ami "papa".

J'imagines que tu donnes (comme moi) à l'autre enfant 1/2 la possibilité d'être un garçon dans ce contexte #4. Or, la seule donnée qui diffère par rapport au contexte #3 est le fait que dans la #4, on déduit que l'ami a un garçon car un petit gars l'appelle "papa" et dans la #3, on déduit que l'ami a un garçon car il magasine des jouets pour garçon. Or, ces deux déductions nous mènent à la même information : Le vieil ami a au moins un garçon, non?

Quelle information a-t-on (en plus ou en moins) du contexte #1 au #3 ?

Ton contexte 4 ressemble plus à mon contexte 1 qu'à mon contexte 3.

Dans l'absolu, il y a 4 cas de figure (a priori équiprobables) :

X1 : Aîné garçon, cadet garçon.
X2 : Aîné garçon, cadette fille.
X3 : Aînée fille, cadet garçon.
X4 : Aînée fille, cadette fille.

Dans les contextes 1 et 4, on voit un enfant appeler son père "papa". Il y a une chance sur 2 que cet enfant soit un garçon et une chance sur 2 qu'il soit une fille. Si cet enfant est un garçon (ce que racontent les contextes 1 et 4), le cas X1 est deux fois plus probable que chacun des cas X2 et X3 puisqu'il peut être réalisé de deux façons (en rouge) plutôt que d'une seule. On a donc 2 chances sur 4 d'être dans le cas X1 et seulement 1 chance sur 4 d'être dans le cas X2. 1 chance sur 4 aussi pour X3.

On a donc 2 chance sur 4 (i.e. 1/2) que l'enfant qu'on ne voit pas soit un garçon (cas X1) et 2 chances sur 4 que l'enfant qu'on ne voit pas soit une fille (cas X2 et X3 réunis).

Dans le contexte 3, c'est plus totché. J'admets que mon contexte 3 n'est pas idéal et qu'on peut argumenter que si mon ami a 2 garçons (cas X1), il restera plus longtemps à potasser dans le rayon des jouets pour garçons que s'il n'en a qu'un seul. J'aurai donc plus de chances de le rencontrer. Reste à savoir si c'est 2 fois plus de chances. J'ai négligé cet aspect du problème et j'ai fait comme si l'ami restait à peu près le même temps pour acheter deux jouets pour garçon qu'un seul. J'aurais dû préciser mon contexte 3 et dire que j'étais le seul caissier du rayon des jouets pour garçons et que je voyais tous les clients de ce rayon (et aucun client du rayon des jouets pour filles). Là, il devient plus clair que voir mon ami passer à la caisse rend les cas X1, X2 et X3 équiprobables (une chance sur 3 chacun) et que la probabilité qu'il ait 2 garçons est 1/3.

Si dans ton contexte #3 ton ami avait une famille du vieux temps de 15 enfants et qu'il te donnait des informations qui te mèneraient à déduire qu'au moins 14 sont des gars, pourquoi le 15 n'aurait-il pas lui non plus une chance sur 2 d'être un gars?

Ça dépend de quelle façon je l'apprend. Mon contexte 3 ne s'applique pas (il me permet seulement de déduire qu'il a au moins 1 garçon, rien de plus).

Si je vois 14 de ses enfants et que ce sont 14 garçons, j'admets qu'il y a une chance sur 2 que celui que je ne vois pas soit un garçon.

Mais si tout ce que je sais c'est qu'il a 15 enfants dont au moins 14 garçons, il n'y a qu'une chance sur 16 qu'il ait 15 garçons (et 15 chances sur 16 qu'il en ait 14).

Il y a 2^15 = 32768 cas possibles pour 15 enfants consécutifs (ordonnés chronologiquement de l'ainé au cadet). Savoir qu'il y a au moins 14 garçons réduit ces 32768 cas à seulement 16 :

GGGGGGGGGGGGGGG
GGGGGGGGGGGGGGF
GGGGGGGGGGGGGFG
GGGGGGGGGGGGFGG
GGGGGGGGGGGFGGG
GGGGGGGGGGFGGGG
GGGGGGGGGFGGGGG
GGGGGGGGFGGGGGG
GGGGGGGFGGGGGGG
GGGGGGFGGGGGGGG
GGGGGFGGGGGGGGG
GGGGFGGGGGGGGGG
GGGFGGGGGGGGGGG
GGFGGGGGGGGGGGG
GFGGGGGGGGGGGGG
FGGGGGGGGGGGGGG

Si mon ami qui a 15 enfants a 14 garçons ou plus, il n'y a donc qu'une chance sur 16 qu'il n'ait que des garçons.

Mais tout ça serait plus rigoureux avec des "pile ou face" consécutifs plutôt qu'avec des enfants consécutifs. Dans des ultra-grosses familles, les possibilités de jumeaux monozygotes ne sont plus tout à fait négligeables...

Admets tu que si on lance 15 pièces de monnaie et qu'on obtient 14 ou 15 faces, on a une chance sur 16 d'avoir 15 faces (et 15 chances sur 16 d'en avoir 14) ?

J'espère que j'ai été assez clair pour que le statisticien en toi décèle mes torsions de pseudo-statisticien d'un jour.

J'espère moi aussi avoir été suffisamment clair pour te faire admettre que l'expression "l'un des deux enfants est un garçon" est floue.

Je le saurai mieux quand tu m'en auras énoncé la négation.

Amicalement,

Denis

[Xenu911]

Bong sang vous m'étonnez avec ce problème tout simple! En fait, le problème est un faux problème. Les données initiales sont tout simplement fausses. En fait, il n'y a que 3 possibilités.

-Fille-Fille (F-F)
-Garçon-Garçon (G-G)
-Fille-Garçon (F-G)

C'est à dire que l'ordre chronologique (date de naissance) n'a pas à être considéré comme je l'ai déjà argumenté. À preuve, si j'interpelle toutes les familes qui ont soit un garçon et une fille (G-F) ou une fille et un garçon (F-G) sans spécifier la chronologie, et bien les mêmes familles me répondront dans les deux cas (car en fait c'est le même cas)!

Donc, à la question "si un des enfant est un garçon (G) ...", il n'y a que deux possibilités (G-G et F-G), donc 1 /2 chance d'avoir une fille.

Inversement, si un des enfants est une fille (F), alors il n'y a que deux possibilité (F-F ou F-G) et 1 /2 chance d'avoir un garçon (G).

Aucun paradoxe, aucun problème! Bref, le professeur de math est dans les patates et Wikipedia est dans les patates.

Peut-être y-a-t-il une "conspiration" qui se cache derrière Wikipedia!

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Addendum:

Tiens, je vous propose un autre paradoxe très semblable que je viens tout juste d'inventer. Le paradoxe des naissances!

-l'ovule transporte toujours le chromosome X
-le spermatozoïde transporte le chromosome X ou Y

Il y a 3 donc possibilités:

- XX
- XY
- YX

Puisque XX est la seule combinaison qui engendre une fille, il reste XY et YX pour un garçon, donc 1/3 de filles et 2/3 de garçons. Alors, pourquoi observe-t-on 50% de filles et 50% de garçon à la naissance et non pas 33% et 66%?

Peut-être devrais-je publier cela sur Wikipedia!

(mais évidemment ... c'est juste une joke! )

[Platecarpus]

Tiens, je vous propose un autre paradoxe très semblable que je viens tout juste d'inventer. Le paradoxe des naissances!

-l'ovule transporte toujours le chromosome X
-le spermatozoïde transporte le chromosome X ou Y

Il y a 3 donc possibilités:

- XX
- XY
- YX

Puisque XX est la seule combinaison qui engendre une fille, il reste XY et YX pour un garçon, donc 1/3 de filles et 2/3 de garçons. Alors, pourquoi observe-t-on 50% de filles et 50% de garçon à la naissance et non pas 33% et 66%?

Peut-être devrais-je publier cela sur Wikipedia!

(mais évidemment ... c'est juste une joke! )

C'est une joke, mais le paradoxe n'est pas du tout de même nature Pas trop d'accord sur le "très semblable".

[PhilippeL]

Salut Denis,

Tiens, si tu prétends que "l'un des enfants est un garçon" n'est pas flou, tu devrais pouvoir en énoncer clairement sa négation.

La négation de "l'un des enfants est un garçon" est-elle :

a) L'un des enfants est une fille.
b) Il n'y a aucun garçon.
c) Autre (spécifier).

Je vote pour a). La négation est "l'un des enfants n'est pas un garçon", ce qui équivaut à "l'un des enfants est une fille".

On a donc 2 chance sur 4 (i.e. 1/2) que l'enfant qu'on ne voit pas soit un garçon (cas X1) et 2 chances sur 4 que l'enfant qu'on ne voit pas soit une fille (cas X2 et X3 réunis).

Ah! Ah! Je crois que tu viens de toucher un point important. Si je comprend bien, ton calcul tient compte des probabilités que l'enfant qu'on croise soit le gars ou la fille (si fille il y a) de l'ami. Et tu estimes cette probabilité à 1/2. En gros, tu te dis : "En supposant que mon ami ait un gars et une fille, estimant qu'en le voyant avec un de ses enfants j'ai une chance sur 2 qu'il soit avec l'un ou l'autre, le fait de le voir (l'ami) avec un garçon alors que j'avais autant de chance de le voir avec une fille rend ma supposition du départ aussi probable que de supposer qu'il a 2 garçons. Est-ce bien ça?

J'aurais dû préciser mon contexte 3 et dire que j'étais le seul caissier du rayon des jouets pour garçons et que je voyais tous les clients de ce rayon (et aucun client du rayon des jouets pour filles). Là, il devient plus clair que voir mon ami passer à la caisse rend les cas X1, X2 et X3 équiprobables (une chance sur 3 chacun) et que la probabilité qu'il ait 2 garçons est 1/3.

Donc, tu te dis grosso~modo : "Comme je n'avais aucune chance de tomber sur sa fille (si fille il y a), la probabilité qu'un de ses 2 enfants soit une fille ne peut être modifiée, exception faite que l'information qu'il y a un gars enlève la possibilité X4." Vu de même, tout ça fait du sens.

Si je vois 14 de ses enfants et que ce sont 14 garçons, j'admets qu'il y a une chance sur 2 que celui que je ne vois pas soit un garçon.

Mais si tout ce que je sais c'est qu'il a 15 enfants dont au moins 14 garçons, il n'y a qu'une chance sur 16 qu'il ait 15 garçons (et 15 chances sur 16 qu'il en ait 14).

Ça, c'est si on considère que dans ta situation (1), les 14 enfants qui t'ont été présenté sur les 15 ont été choisis aléatoirement, c'est ça?

Donc, pour voir la situation comme le professeur dans notre problème, il faudrait savoir si l'information "l'un d'eux est un gars" a été donnée de façon désintéressée et aléatoire, bref, qu'il avait autant de chance de dire "l'un d'eux est une fille" si on comptait 1 gars et 1 fille dans la famille. Est-ce ça où je suis dans le champ gauche?

Admets tu que si on lance 15 pièces de monnaie et qu'on obtient 14 ou 15 faces, on a une chance sur 16 d'avoir 15 faces (et 15 chances sur 16 d'en avoir 14) ?

La question est bizzarement posée. Si on lance 14 pièces et qu'elles tombent toutes sur face, en lancer une 15e ne changerait pas la probabilité de 1/2. Aussi, si on me dit : "Sur 15 pièces lancées, on a obtenu au moins 14 faces" (et que cette information a été donnée de façon désintéressée), j'aurais beaucoup de mal à "désticker" de mon 1/2. Après tout, l'autre pièce, au moment où elle a été flippée, elle s'en foutait royalement du résultat des 14 autres tirées avant ou après elles. Mais, si je faisais travailler un minimum mon cerveau (comme j'essaie de le faire présentement), j'arriverais probablement à choisir la bonne réponse, puisque, si on me dit : "Y a-t-il plus de chances qu'en tirant 15 pièces, elles tombent toutes sur faces que de chances qu'une d'elles tombent sur piles et les 14 autres sur faces?", je vais répondre qu'il y en a évidemment moins, et comme cette situation découle de la précédente, je suis forcé de te donner raison.

Bref, un mot : Misère! Ton raisonnement me semble aussi logique que celui de Xenu911, mais ils ne peuvent pas coexister. Je vais prendre le temps d'y réfléchir un peu et de lire vos commentaires.

Amicalement,
Phil

[Xenu911]

Je vais tenter de simplifier par l'image. Il faut en finir de ce faux paradoxe. En fait ce n'est pas un paradoxe mais plutôt une question piège.

Supposons 50 familles qui ont un premier enfant G et 50 familles qui ont un premier enfant F.

50 – G (50 garçons)
50 – F (50 filles)

Supposons maintenant que les 100 familles ont un deuxième enfant. En supposant une répartition égale de G et F pour le 2em enfant dans ces 100 familles (pour simplifier), on a maintenant les 100 familles réparties de la façon suivante:

25 – GG (25 Garçons + 25 Garçons)
25 – GF (25 Garçons + 25 Filles)
25 – FG (25 Filles + 25 Garçons)
25 – FF (25 Filles+ 25 Filles)

Aucun mystère, aucun paradoxe. Il y a autant de gars que de filles, soit 100 Filles et 100 Garçons répartis dans 100 familles.

Mais maintenant, si on élimine les 25 familles qui ont deux filles (FF) en disant qu'il y a au moins un G, il ne reste que les familles suivantes:

25 – GG (25 Garçons + 25 Garçons)
25 – GF (25 Garçons + 25 Filles)
25 – FG (25 Filles + 25 Garçons)

soit 100 G et 50 F, les 50 F manquantes étant dans les familles FF. Mais il est complètement absurde de dire qu'il s'agit d'un paradoxe! Il n'y a aucun paradoxe. Seulement des jeux de mots. Par exemple, en regardant le tableau ci-haut, je pourrais très bien dire que s'il y a au moins un garçon, les chances d'avoir un garçon au deuxième enfant est plus élevée (deux G pour une F)!!! Mais la question est piégée.

Un paradoxe est lorsqu'un système logique ou une théorie mène à deux solutions contradictoires. Par exemple, le paradoxe des jumeaux en relativité restreinte est insolvable dans le cadre de cette théorie. Il s'agit d'un vrai paradoxe qui démontre que la théorie de la relativité restreinte est incomplète. Le paradoxe des jumeaux ne se résout que dans le cadre de la relativité générale.

Le paradoxe des deux enfants n'en est pas un car il n'invalide aucune théorie. Il s'agit seulement d'un question piège qui fait aussi couler beaucoup d'encre. Je crois qu'il est malhonnête de la part d'un professeur de mathématique de donner tord à des étudiants avec de telles questions à formulation variable! Je crois que cela démontre seulement que le professeur s'est fait prendre à son propre piège.

[saleblanc]

Les probabilité vont bien pour prédire un résultas (FUTUR) possible. Mais dans des cas réelle (PASSÉ) ou les évènement sont déjas arrivé comme ici ca pose certain problèmes.

Voici mon résonnement de solution:

Suposant que le premier enfant de la famille soit 1 gars.
> on élimine les posibilité numéros 1 et 3
La probabilité que le deuxième soit un garçon est donc 1/2.


Suposant que le deuxième enfant de la famille soit 1 gars.
> on élimine les posibilité numéros 1 et 4
La probabilité que le premier soit un garçon est de 1/2.


Ne pas connaitre le rang de naissance l'enfant male importe donc peut ici. Et la probalité réel que l'enfant soit un gars est de 1/2 qu'elle que soit le point de vue.

[docolemi]

C'est bien l'ambiguïté de l'énoncé qui est à l'origine de toutes ces discussions.
Je vais donc proposer une autre approche du problème qui devrait mettre d'accord le professeur, l'élève et l'homme de la rue.

"Quatre personnes suivant une formation déjeunent ensemble et font des spéculations sur le formateur. Il a dit avoir deux enfants. Sans autre information, le premier stagiaire dit :
- A voir sa tête, dit Gaston, le premier, je parie qu'il a deux garçons...
- Et bien moi, dit Goudin, le second, je parierais sur deux filles...
- Jouons de l'argent, dit le troisième bien nommé Dujardin, et je parie qu'il a les deux, un gars - une fille."

Pas besoin de faire des probabilités ou des mathématiques pour dire que Dujardin est le plus sage, il a en effet deux fois plus de chances que chacun des deux autres d'avoir raison.
Entre en scène le quatrième larron, Casper :

"- Et bien moi je ne veux pas jouer car je l'ai entendu dire qu'il a une fille qui est en médecine. J'ai donc un avantage sur vous."

Question du problème : Dujardin est-il toujours celui qui a les meilleures chances d'avoir raison ?
Le pari des stagiaires repose sur la composition, l'ordre importe peu. Il n'y a que trois possibilités de réponses, mais l'une d'elles est plus probable et c'est Dujardin qui l'a choisie.
L'information apportée par Casper met hors-jeu Gaston mais il me semble que même intuitivement la position de Dujardin reste la plus forte. Il avait de toute façon prédit cette fille.

==> Jusqu'à ce point pas besoin de mathématiques pour être convaincu, enfin j'espère.

On m'objectera peut-être que cette information renforce la position de Goudin. Mais curieusement elle renforce aussi celle de Dujardin qui aurait même intérêt à augmenter sa mise s'il était un parieur professionnel.
En effet avant l'intervention de Casper, les chances étaient les suivantes :
Gaston : 25%, Goudin : 25% et Dujardin : 50%
L'élimination de Gaston fait que ses 25% vont se répartir sur les deux autres parieurs (car à eux deux ils ont 100% de chance de gagner dirait la FDJ ).

Mais ils ne se répartissent pas équitablement, là cela devient moins intuitif, mais me semble quand même moins perturbant.

A la façon d'investisseurs qui récupèrent en dividendes le bénéfice au prorata de leurs actions, Goudin récupère 1/3 des 25% du malheureux Gaston et Dujardin 2/3 de ces 25%.

Nous arrivons donc à la position :
Goudin : 33,33% soit 1/3 et Dujardin : 66,66% soit 2/3.

===> Mais ce serait trop simple de ne pas pouvoir être perturbé
Car si Casper avait juste ajouté un petit mot dans son information : ... sa fille aînée ...
Les chances de Dujardin devenaient tout à coup les mêmes que celles de Goubin. 50/50 !
Dujardin misait en réalité sur deux possibilités, la révélation de Casper devenant trop précise fait disparaître une de ces deux chances.

[matador]

Neo?

[issigi]

et si on pose la question en utilisant les termes mâle/femelle, les probabilités s'étendent-elles tout à coup entre les deux? si oui, comment alors prétendre que ce garçon en question le soit vraiment, entièrement, absolument !?

un garçon.. tiens tiens.. mais de quelle bête s'agit-il exactement..

et nous, vous voulez savoir combien d'enfants nous avons ? deux. 2 garçons et 2 filles !