Faux, le succès de ce théorème est du à l'approche novatrice (et effectivement subtile) de Gödel et au fait qu'il répondait à un des problèmes posés par Hilbert au début du siècle. D'où l'intérêt immédiat de la communauté mathématique. Quant à sa difficulté, elle est tout à fait exagérée, sa démonstration est compréhensible par tout étudiant en licence de maths et par quiconque a l'envie de se familiariser avec le langage et les notations rébarbatives de la logique formelle et de la théorie des ensembles.
Voir pour les courageux les grandes lignes du raisonnement :
http://www.eleves.ens.fr:8080/home/ollivier/goedel/goedel.html#tig
Sa vraie difficulté tient à son interprétation et à la tentation d'en faire un usage erroné.
Je le redis le théorème de Gödel ne s'applique qu'à des concepts mathématiques que sont les systèmes formels et il n' y a que dans ce contexte qu'il énonce qu'il existe des propositions indécidables.
Basarab Nicolescu : "Le théorème que Gödel a démontré en 1931 n'a eu pourtant qu'un très faible écho au delà d'un cercle très restreint de spécialistes. "
Difficile à admettre puisque comme le rappelle Gaël on le retrouve régulièrement assaisonné à toutes les sauces. Comme avec tout écho, le signal nous revient d'ailleurs trop souvent déformé.
Basarab Nicolescu : "La portée du théorème de Gödel a une importance considérable pour toute théorie moderne de la connaissance. "
Non, uniquement pour l'édifice mathématique dont on ne peut pas prouver la consistance. Ce qui ne veut pas pour autant dire que les connaissances mathématiques sont sujettes à caution.
Basarab Nicolescu : "Tout d'abord il ne concerne pas que le seul domaine de l'arithmétique mais aussi toute mathématique qui inclut l'arithmétique. Or, la mathématique qui est l'outil de base de la physique théorique contient, de toute évidence, l'arithmétique. Cela signifie que toute recherche d'une théorie physique complète est illusoire."
Raisonnement incorrect: la physique théorique n'utilise pas "la" mathématique, mais "des" mathématiques qui, elles, n'incluent pas nécessairement "toute" l'arithmétique (loin s'en faut d'ailleurs).
Quand bien même il se trouverait la nécessité un jour de discuter d'un énoncé indécidable dans le cadre d'une théorie physique, il suffirait de le tester expérimentalement et de l'ajouter aux axiomes de la théorie en question.
On peut en effet toujours compléter les axiomes d'un système formel consistant par tout énoncé indécidable et produire ainsi un nouveau système formel consistant.
Basarab Nicolescu : "Si cette affirmation est vraie pour les domaines les plus rigoureux de l'étude des systèmes naturels comment pourrait-on rêver d'une théorie complète dans un domaine infiniment plus complexe - celui des sciences humaines ? "
Sans commentaire, Gaël a suffisamment bien démonté cette induction logique.