https://forum-sceptique.com/archives/13696.html#13696
Pour en savoir un tipeu* plus :
https://forum-sceptique.com/archives/13936.html#13936
*tipeu : j’emprunte ce mot à Denis (Labelle), mathématicien, ex-professeur à l’UQAM. C’est le Denis de notre enfilade.
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Cherchons à voir que infini-moins-infini ne donne pas nécessairement 1.
Il suffirait de donner un seul contre exemple, n'est-ce pas ?
Supposons deux fonctions, f et g, qui tendent toutes deux vers plus-infini (si vous ne savez pas ce que ça veut dire, j’ai un problème sur les bras).
Par exemple,
f(x)=x^2 [i.e. x au carré]
g(x)=3x.
Tracez une partie des graphiques de f et g, par exemple pour x plus grand que 3. Notre intervalle pour x sera l'ensemble des nombres réels au moins égaux à 3.
Pour des valeurs de plus en plus grandes que vous donnez à x, les valeurs prises par les fonctions f et g sont aussi très grandes, de plus en plus grandes. N'est-ce pas ?
En gros, cela revient à dire que «la limite» des fonctions f et g, quand x prend des valeurs de plus en plus grandes, est +infini, i.e. n’importe quel nombre positif aussi grand soit-il.
Mais, sur notre intervalle (x au moins égal à 3), la fonction f croît plus vite que la fonction g.
En effet, pour une même valeur de x, les points de f ne sont-ils pas au-dessus des points de g ?
Si vous prenez des valeurs de plus en plus grandes pour x, plus l’écart sera grand en f(x) et g(x). Cet écart sera toujours positif. Sur votre graphique, la distance horizontale f(x)-g(x) augmente à mesure que vous vous déplacez vers la droite, donc vers des valeurs de x de plus en plus grandes.
Bref, la différence f-g = x^2 – 3x sera de plus en plus grande, aussi grande qu'on voudra (il suffira de choisir le bon x). Bref, ici f-g tend vers plus-l'infini.
Vous n’aurez donc PAS «infini moins infini égale 1».
Faisons maintenant la différence g-f, soit 3x-x^2
Ne pensez-vous pas que pour des valeurs de plus en plus grandes de x, la différence g-f sera de plus en plus grande (mais négative), comme l’était tantôt la différence f-g (qui était positive) ?
Ainsi, «à la limite», la différence g-f donnera un nombre négatif aussi grand (en valeur absolue) qu’on voudra.
Ici, la limite g-f sera moins-l’infini, et non pas 1.
Si j'ai commis une erreur de compréhension, je compte sur Denis pour me mettre au pas ;-)
Évariste Galois-l’usurpateur-d’Identité ;-)