E = Eint + Eorb; Où Eint est l'énergie interne de rotation du rotor
et Eorb, l'énergie du système en orbite.
Eint = Kint; où Kint est l'énergie cinétique interne du système.
Eorb = Korb + Ugrav ; Où Korb est l'énergie cinétique de rotation et
Ugrav l'énergie potentielle de gravitation.
Kint = 0.5(somme sur i de) mi vi^2
Korb = 0.5 M Vcm^2
Où les quantités importantes seraont définie plus loin.
Puisque l'on suppose que le satellite a une symétrie cylindrique, le centre de masse est selon l'axe de rotation du système rotor - satellite. Le centre de masse, est par définiton, la position moyenne de chaque particule de masse mi du sattelite de masse M te que
(somme sur i de) mi = M .
l'énergie potentielle interne du sattellite est de toute évidence nulle
Démontrons ici que les histoires de Gatti sont fausse, c'est-à-dire que l'énergie interne d'un système n'influence pas l'extérieur, c'est-à-dire, dans ce cas particulier qu'il ne fera pas changer l'orbite du satellite. Pour faire cette démonstration, il s'agit sinplement de démontrer que l'énergie cinétique orbital ne dépandera pas de l'énergie interne. Par conservation d'énergie, il sera donc trivial à ce moment de conclure que l'orbite pourra d'aucune façon changer à moins de faire, par exemple, une collision avec le sattelite de manière à faire varier son énergie totale.
Soit Ktot, l'énergie cinétique totale:
Ktot = (somme sur i de) 0.5 mi (Vcm + vi)^2 ; où Vcm est la vitesse du centre de masse,
c'est-à-dire celle associée au mouvement
orbital et Vi est la vitesse de la ième particule, constituant le satellite, autour du rotor.
Ktot = (somme sur i de) 0.5(mi Vcm^2 + mi vi^2) +
(sommme sur i de)(mi Vcmvi)
or (somme sur i de)(mi Vc mi Vi) = (somme sur i)(Vcm) X (somme sur i)(mi vi)
et (somme sur i)(mi vi) est la quantité de mouvement moyenne (Kilogramme mètre par seconde) des particule du satellite autour de lui même et donc égale à 0 à cause des conditions de positions moyenne définie plus haut.
donc Ktot = (somme sur i)(0.5mi Vcm^2) + (somme sur i)(0.5mi vi^2)
= 0.5 M Vcm^2 + 0.5 (somme sur i) (mi vi^2)
= Korb + Kint
Voilà L'énergie interne n'influence pas l'énergie orbitale car il s'agit de deux quantités indépendantes. Prévoyant les attaques sunvant ce message, je dirais qu'il s'agit là de la démonstration du théorème de Koenig, démontré dans tout livre de mécanique classique:
C.Kittel, W"D" Knight et M.A. Rudeman, mécanique classique, Berkeley: cours de physique, volume 1, Armand colin Paris, 1972.
D.Kleppner and R.J. Kolenkow, An introduction to mechanics, Mc-Graw-Hill, 1973.
etc...
P.S. Tout le monde aura compris (où presque) que les symboles Vcm et vi représente des vecteurs vitesses et non pas des quantités scalaires et donc que le produit (Vcm vi) sera en fait un produit scalaire, égale en général à |Vcm||vi|cos(l'angle entre les deux)
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