groucho_max a écrit :Jean-Francois a écrit :chapsboy a écrit :Je me cite ce que j’ai dit à un autre septique zélé, Chiwwaw
Vous ne devriez pas, ça montre à quel point vous dites n'importe quoi sans avoir pris le temps de vraiment réfléchir. Vous n'avez visiblement pas compris que le théorème de Gödel s'applique à des systèmes formels. Vous croyez, parfaitement abusivement, que ça concerne tout et n'importe quoi.
Jusqu'a present, je n'avais pas pris la peine de lire la prose de 'chapsboy': c'est long, pompeux et les premieres phrases laissent deja presager le pire. Mais voila que la remarque de Jean-Francois (quotee ci-dessus) a titille ma curiosite. Or donc:
chapsboy a écrit :Chiwaw a écrit :Votre exemple ne tiens pas du tout. Il est facile de prouver que 2+2=5 est une erreur de solution, car elle repose sur les mathématiques (dont les systèmes booléennes et logiques en informatique), seul champ de connaissance humaine où l'on connais les vérités absolus.
De prouver la non-existance de quelque chose d'abstrait et d'intangible n'a aucun sens.
Vous avez totalement tord ici. Vous semblez pas mal ignorant mon cher. Même les mathématiques ont leur faille. Étant donné ma formation, je vais vous expliquez quelque chose au sujet des propositions formellement indécidables. Ouvrez bien grande vos oreilles.
Des propositions formellement indécidables ont été expliquées par Kurt Gödel en 1931.
Elles n'ont pas ete "expliquees" par Goedel: Goedel a demontre deux theoremes concernant l'indecidabilite, donc l''incompletude' (et un autre theoreme - tout aussi important, si ce n'est plus, beaucoup plus - concernant la 'completude').
Ce dernier fit voler en éclat le système de Russell et Whitehead.
Goedel ne fit rien voler en eclat: il utilisa les 'Principia' de Russell & Whitehead comme systeme de reference dans un de ses theoremes dits d'incompletude et montra qu'un systeme formel isomorphe aux 'Principia' contenait inevitablement des indecidables. Au passage, il n'a pas non plus "mis a mal" le reve de Hilbert ou des "formalistes" car, contrairement au cliche vehicule depuis des lustres, ceux-ci etaient (et sont) infiniment moins naifs qu'on ne l'imagine.
Il révélait qu’en représentant les mêmes axiomes et la même notation des propositions contenues dans les Principia Mathematica de Russell et Whitehead, on pouvait énoncer des théorèmes manifestement vrais qu’aucune démonstration d’aucune sorte ne viendrait prouver.
Un theoreme est 'toujours' vrai et, puisqu'il s'agit d'un theoreme, est 'toujours' decidable. Ce sont certaines propositions (ou certains enonces) qui sont indecidables. En gros (*).
(*): je dis souvent 'en gros' parce que c'est dans les details que se cache le diable; mais faire dans le detail est, ici, on ne peut plus inopportun: l'approximation raisonnable (et asymptotique) est plus que suffisante.
<snip> Kurt Gödel, l’auteur de l’article, allait même plus loin, arguant que tout système de logique cohérent comportait la même faille.
Il ne s'agit pas d'une "faille" mais d'un phenomene naturel dans tout systeme formel contenant au moins l'arithmetique de Peano (ou un de ses modeles). En gros. Tres gros.
C’était comme s’il avait amadoué le formaliste logique contenu dans les Principia, jusqu’à lui faire atteindre un degré de signification auquel jamais ses auteurs auraient songés. N’est-ce pas incroyable ?
Cette phrase ne veut rien dire.
De plus, grâce à son ingénieux encodage associant les symboles logiques aux nombres mêmes qu’ils étaient censés représenter, Gödel bâtit des phrases logiques qui se référaient à elles-mêmes.
Cet 'encodage' ne permet pas de construire des phrases auto-referentes mais de traiter une proposition comme un nombre entier, i.e. il permet de se simplifier grandement la tache et la vie.
Il montra que dans n’importe quel système logique suffisamment puissant et cohérent, on pouvait toujours encoder une phrase disant : « Cette phrase est indémontrable dans le formaliste du système » et qui – étonnante conséquence de la construction –
Rien a voir avec la "construction", comme tu dis.
ne pouvait être que vraie ! Pour mieux comprendre pourquoi, il faut d’abord se rappeler que le système logique considéré ici est supposé cohérent, c’est-à-dire qu’il ne nous permet pas de démontrer des propositions fausses.
Non! 'Coherent' ne signifie absolument pas cela. 'Coherent' signifie 'non-contradictoire', i.e. l'on ne peut, dans un systeme formel de reference, demontrer a la fois quelque chose et la negation de ce quelque chose.
Supposons alors que la phrase en question soit fausse. Puisqu’elle s’affirme « indémontrable » et qu’elle est fausse, c’este donc précisément qu’elle peut être démontrée. Donc ici, c’est le système qui ne peut pas être cohérent puisqu’il nous autorise à démontrer quelque chose de faux. On le voit, la phrase en question est donc être vraie : sa démonstration dépasse de loin les capacités de notre système logique.
N'importe quoi! Un des points forts des theoremes de Goedel est de dissiper le malentendu 'vrai' = 'demontrable'. En d'autres termes, un des theoremes de Goedel permet de separer completement la 'verite' et la 'demontrabilite'. En outre, l'idee de base d'une des demonstrations de Goedel (le premier theoreme d'incompletude) n'est pas celle que tu decris (et qui est d'ailleurs erronnee). Il s'agit de ceci: par arithmetisation de la syntaxe (= encoder les propositions d'une theorie, i.e. transformer toute proposition de cette theorie en un nombre entier produit de nombres premiers, en gros) les proprietes 'etre demontrable' et 'etre indemontrable' peuvent etre facilement exprimees dans la theorie (= dans le systeme formel) et, par le lemme de diagonalisation (= pour toute propriete exprimee dans le langage d'une theorie 'interessante' il existe une proposition de la theorie qui affirme jouir de cette propriete, en gros), il doit exister une proposition 'egocentrique' G (arf!) qui affirme {je suis indemontrable}. Puisque G affirme sa propre indemontrabilite, une eventuelle demontration ou refutation creerait alors un paradoxe du meme ordre que l'antinomie de Russell. Si la theorie est non-contradictoire (= coherente), notre G devra alors etre un indecidable (= ni demontrable, ni refutable). En gros. Mais notre G est-elle vraie ou fausse? Puisque G affirme sa propre indemontrabilite - elle l'est effectivement (cf. ci-dessus) - et en suivant la definition tarskienne de verite, nous devons alors obligatoirement conclure que G est vraie. Mais le plus important n'est pas la. G a une signification implicite beaucoup plus importante: G affirme la non-contradictoirite de la theorie a laquelle elle appartient. C'est le deuxieme theoreme d'incompletude de Goedel. En gros. Tres gros.
De plus, le philosophe J.R Lukas
Lucas.
mit en lumière le résultat de Godël, c’est-à-dire que contrairement au cerveau humain, le système logique ne peut reconnaître la validité de la phrase.
Non. L'argument goedelien de Lucas a ete refute mille et une fois, et de mille et une facons. Pour un survol, voir le tres bon '
Le theoreme de Goedel et ses non-interpretations' d'Ollivier. Tu y trouveras d'ailleurs les idees maitresses de Goedel exprimees de facon tres abordable et avec le minimum de lourdeurs formelles. Tu sembles en avoir grandement besoin.
L’esprit humain le fait en réfléchissant à la signification de la phrase et en trouvant ses implications les plus immédiates. Donc, ici il existe des faits qui existent, mais qui ne pourront jamais être démontrés. Ce sont des problèmes indécidables.
Rien a voir avec l'indecidabilite goedelienne (voir remarque de Jean-Francois).
C’est pour cela, qu’il n’existera jamais aucun anti-virus de notre ordinateur qui pourront reconnaître tous les nouveaux virus informatiques, sans avoir fait une mise à jour au préalable.
Non. La mise a jour n'est qu'un palliatif de courte duree - et elle le restera a jamais - puisqu'il y a justement indecidabilite de l'existence d'un 'anti-virus' universel.
Car, il existe pour la machine des programmes informatiques qui sont pour elle indécidables.
Oui. Mais non. Enfin, c'est plus subtil que ca.
Plusieurs systèmes de logique et de mathématique ne pourront jamais décider ou démontrer si on peut démontrer ou non un problème.
Cette phrase ne veut rien dire. Mais si on la prend "litteralement" et qu'on l'interprete au ras des paquerettes, elle est simplement fausse: par exemple Matjasevic a demontre l'indecidabilite du 10° probleme de Hilbert, Cohen a demontre l'indecidabilite de l'hypothese du continu, Chaitin a demontre que la maximalite de la compression de l'information est un probleme indecidabilite (cette preuve a d'ailleurs permis de "generaliser" les theoremes d'incompletude de Goedel), etc.. Ce qui serait correct, c'est d'affirmer que pour tout systeme formel (= theorie) coherent un tant soit peu interessant (terme a definir rigoureusement) qui se propose de decider (= de demontrer ou de refuter) toutes les assertions de l'arithmetique (a fortiori des 'Principia'), il existe une proposition qui ne peut etre ni demontree ni refutee a l'interieur dudit systeme, i.e. il existe toujours un indecidable goedelien (donc le systeme est "incomplet") - mais il est alors possible d'ajouter un "axiome" audit systeme sans trop le perturber: cet "axiome" sera l'indecidable. De facon equivalente: il s'agit de l'indecidabilite du probleme de l'arret (cf. Church, Turing et quelques autres). De facon equivalente: il existe des nombres qui ont une complexite si elevee qu'aucun programme ne sera en mesure de les generer. De facon equivalente: il existe un programme P tel que si P est correct alors P applique a P donne une "verite" ommise par P. De facon equivalente: il existe des equations diophantiennes qui n'ont pas de solution bien qu'il n'existe aucune theorie qui puisse le demontrer (Matjasevic et Chaitin).
C’est qu’il peut exister des situations qui existent, mais qui ne pourront jamais être démontré ou prouvé, et dont pourtant on sait leur existence.
Rien a voir (voir remarque de Jean-Francois).
groucho max
Denis
