Si on revenait à la RR pour changer un peu.
Je me doute que ce n'est pas la tasse de thé de tout le monde, mais pour ceux qui veulent aller plus loin,
un petit rappel mathématique des bases de la RR telles que je les ai comprises:
Matrice de Lorentz :
x = x' cosh(
\(\phi\)) + ct' sinh(
\(\phi\))
ct = x' sinh(
\(\phi\)) + ct' cosh(
\(\phi\))
on ne s'occupe pas des coordonnées y et z puiqu'elles restent inchangées.
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quand x' = 0 dans R' et x = vt dans R; même événement origine de l'espace-temps :
x' = ct sinh(
\(\phi\))
ct' = ct cosh(
\(\phi\))
équivalent de : (quand x = 0 dans R et x' = vt' dans R')
x = ct' sinh(
\(\phi\)) formule (4.2) à la page 10 Volume 2 du Landau
ct = ct' cosh(
\(\phi\))
en divisant l'un par l'autre :
x / ct = sinh(
\(\phi\)) / cosh(
\(\phi\)) = tanh(
\(\phi\)) = v/c (1)****
sachant que :
sinh(
\(\phi\)) = ( exp(+
\(\phi\)) - exp(-
\(\phi\)) ) / 2
cosh(
\(\phi\)) = ( exp(+
\(\phi\)) + exp(-
\(\phi\)) ) / 2
(2 relations bien utiles quand on n'a pas de calculette avec les hyperboliques...)
et aussi d'après les lignes trigonométriques hyperboliques usuelles:
cosh²(x) - sinh²(x) = 1
sinh(
\(\phi\)) = tanh(
\(\phi\)) / sqr(1 - tanh²(
\(\phi\)))
cosh(
\(\phi\)) = 1 / sqr(1 - tanh²(
\(\phi\)))
alors
sinh(
\(\phi\)) = (v/c) / sqr(1 - v²/c²) (3)****
cosh(
\(\phi\)) = 1 / sqr(1 - v²/c²) (2)****
en reprenant l'angle réel du triangle relativiste on arrive bien à
cosh(
\(\phi\)) = 1 / cos(
\(\theta\))
puisque v/c = sin(
\(\theta\))
Dans l'exemple du triangle relativiste où j'avais pris v/c = 0.8 soit un angle réel
\(\theta\)= 53.130102...°
l'angle hyperbolique devient phi = 1.098612289... ( aussi = ln(sqr(c+v/c-v))= ln(3) )
Pour ceux qui sont habitués aux fonctions hyperboliques,
le passage de l'angle imaginaire pur de l'espace-temps de Minkowski à l'angle réel
du triangle relativiste se fait par la relation :
\(\phi\)= ln(tan(
\(\theta\)/2 + pi/4)) où on vérifie bien que
\(\phi\)= 1.098612... = ln(tan(53.130102...°/2 + 45°)) = atanh(v/c) de la formule (1)****
ce qui est conforme à la relation cosh(
\(\phi\)) = 1 / cos(
\(\theta\)) de la formule (2)****
dans mon exemple on trouve bien E = Eo * 1.66666... selon (2)**** et
p c = po c * 1.6666 = 1.33333... selon (3)****
avec v/c = 0.8 sur la figure.
Selon les fonctions hyperboliques inverses usuelles on a bien :
sinh(
\(\phi\)) = tan(
\(\theta\)) => 1.3333 = mvc/ cos
\(\theta\) =
\(\gamma\) mvc
cosh(
\(\phi\)) = 1/cos(
\(\theta\)) => 1.6666 =
\(\gamma\) mc²
tanh(
\(\phi\)) = sin(
\(\theta\)) => 0.8 = v/c
ce qui donne bien l'invariant relativiste E² = Eo²[=(mo c²)²] + (m v c/cos(theta))² exhibé par le triangle rectangle en question.
La difference entre E et Eo donnant l'énergie cinétique du mobile.
Il faut aussi préciser que dans les cas où le mobile est animé de vitesses y et z non nulles(il part en diagonale)
les calculs sont un peu plus complexes mais les résultats restent conformes à la RR, ici, pour simplifier,
on a pris r=x au lieu de r=sqrt(x²+y²+z²), en coordonnées sphériques,
puisque ce qui nous interesse n'est pas sa vitesse apparente mais sa vitesse réelle.
References :
- The classical theory of fields, Volume 2 de Landau et Lifshitz 4eme edition, page 10.
- Relativite restreinte et structure atomique de la matière de Ch.Grossetete 12/1985, page 32.
- Memento formulaire de Y.Déplanche 1991, pages 40 et 102.
-
http://www.jczeus.com/amglaize/index.php?lang=fr (pdf à charger: Transformations de Lorentz. Principe de moindre action)
D'autre part, l'usage des fonctions hyperboliques facilitent le problème de l'addition des vitesses, en effet
si un missile de vitesse 'a' est tiré depuis une fusée de vitesse 'b' la composition annonce v/c = tanh( atanh(a) + atanh(b) )
Dans un référentiel immobile(la Terre) par rapport à la fusée, où, si par exemple a = b = 0.8c
alors v/c = 0.975 609 756, mesuré depuis le référentiel fixe, et non pas 0.8 + 0.8 fois 'c' selon la mécanique classique.
Ce qui revient aussi à poser v/c = 0.8 + 0.8 / (1 + (0.8 * 0.8 / c²))
(ce qui reste bien entendu vérifié pour des vitesses usuelles très inférieures à 'c' où on retrouve le classique.)
Ce qui impose bien une vitesse limite indépassable : 'c', indépendamment du référentiel.
Dans le monde réel, on n'a évidemment pas fait cette expérience mais
si à la place on utilise un photon tiré vers l'avant d'une particule de vitesse v très proche de c
on constate que dans le référentiel immobile le photon ne va pas deux fois plus vite pour autant.
C'est un fait expériental vérifié dans les accélérateurs de particules.
(un exemple est celui du méson Pi neutre* qui se désintègre en vol en deux photons (proba. de 98.8%),
où leurs vitesses ne s'additionnent pas à celle du pion relativiste
mais où on retrouve la totalité de l'énergie de masse du Pion(134.977 MeV + Ecin) scindée en deux parties égales.)
* lui-même créé dans le choc de deux protons, l'un super-relativiste(cosmique ou accéléré) et l'autre au repos(atmosphére ou cible).
Les pions chargés sont créés par la collision d'un gamma cosmique et d'un proton de l'atome cible atmosphérique.
(artificiellement : particule Alpha sur cible de carbone en 1948)
Le muon atmosphérique étant par ailleurs issu de la désintégration des Pions négatifs créés par le rayonnement cosmique.
un petit rappel un peu plus visuel :
Triangle0.8c.jpg
Voilà, si on n'a pas intégré ça alors ce sera difficile d'aller plus loin.
Vous ne pouvez pas consulter les pièces jointes insérées à ce message.
Le rôle de la physique mathématique est de bien poser les questions, ce n'est que l'expérience qui peut les résoudre. [Henri Poincaré]