Voyage au centre de la Terre – Jeu.

[Raphaël]

Combien de temps, cela demandera à votre zozo préféré pour traverser ?

Allez Mireille ! Prend une bonne respiration et va vérifier pour nous. Si tu restes coincée on peut pousser.

[Mireille]

Allo Dash, Oui tu as raison, je voulais dire traversais de bord en bord.

Je vous donnerai les réponses demain pour ceux qui ont réussis à répondre avec humour plutôt que de faire de l'humour pour cacher leur ignorance sur la quetion.

[Raphaël]

Mon ignorance me dit que le trou n'ira jamais plus loin que l'épaisseur de la croûte terrestre parce qu'en dessous c'est du magma.

[Cogite Stibon]

Salut Mireille,

Je creuse un trou qui traverse notre planète d’un côté et je jette le zozo de mon choix dedans. Ne vous bousculez pas ! Nom de d'Zeus, je sais que vous êtes pressé, mais tout de même, un peu de tenu S.V.P.

Avant de vous donner les questions, vous devez faire abstractions des problèmes techniques, supposer que la Terre est parfaitement sphérique, que les effets de sa rotation sont négligeables et qu’à l’intérieur du tunnel que nous venons de creuser il n’y ait pas de frottements : cela revient à supposer que le tunnel soit sous vide (sans air).

Voici les questions :

Combien de temps, cela demandera à votre zozo préféré pour traverser ?

Avec ton scenario, et je suppose également :
- que le trou est rectiligne et traverse la planète de part en part
- que le diamètre du trou est négligeable par rapport à la taille de la Terre
- que la Terre, en outre d'être sphérique, est parfaitement homogène
- que le zozonaute a été laché sans vitesse, et avec un scaphandre lui permettant de respirer et le protégeant de la chaleur (ce n'est pas parce que c'est une expérience de pensée qu'il faut négliger les questions éthiques)

Dans ce cas, le zozonaute n'est soumis qu'à la force de gravitation de la Terre.
Cette force est égale à la force qu'exercerait sur le zozonaute une masse ponctuelle placée au centre de la Terre, et de masse égale à la partie de la masse de la Terre se trouvant dans une sphère centrée sur le centre de la Terre et passant par les pieds du zozonaute. (La démonstration est un peu longue, mais c'est un résultat classique connu)

J'appelle
- x la distance du zozonaute au centre de la Terre (x est positif au départ, et négatif quand le zozonaute a dépassé le centre de la Terre), dans un référentiel inertiel centré sur la Terre
- t le temps écoulé depuis le laché
- mz la masse du zozonaute
- mt la masse de la portion de la Terre se trouvant dans une sphère de rayon x centré sur le centre de la Terre
- G la constante de gravitation
- a l'accélération du zozonaute
- F la force subit par le zozonaute
- d la densité de la Terre

La loi de gravitation de Newton nous dit que le zozonaute subit une force de gravitation proportionnelle au produit de la masse du zozonaute et de celle de la portion_de_la_Terre_blablabla, et inversement proportionnelle au carré de la distance du zozonaute au centre de la Terre, soit

F = - mz mt G / x²

La formule du volume d'une sphère nous dit qu'il est proportionnelle au cube de son rayon, et comme la Terre est homogène, la masse de la portion_de_la_Terre_blablabla est proportionnelle à son volume, soit

mt = 4/3 Pi x3 d

Le principe fondemental de la dynamique nous dit que l'accélération du zozonaute est proportionelle à la somme des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse, soit

a = F / mz

En combinant ces trois formules, on obtient :

a = - mz 4/3 Pi x3 d G / x² mz

soit, en simplifiant les x et les mz de chaque côté

a = - 4/3 Pi d G x

Par définition, l'accélération est la dérivée seconde de la positition par rapport au temps.
On a donc :

d²x / dt² = - 4/3 Pi d G x

si on appelle k la constante 4/3 Pi d G, on obtient :

d²x / dt² = - k x

C'est une équation différentielle bien connue en physique, celle de l'oscillateur harmonique. C'est la même équation que celle d'un poids au bout d'un ressort

Je ne sais plus la résoudre comme ça, mais je me souviens que la solution est du type :

x(t) = x0 cos( omega t + phi)

où x0 et phi dépendent des conditions initiales, et omega dépend de k.

Le zozonaute va osciller d'un bout à l'autre d'un la planête, en passant par une vitesse maximale au centre de la Terre, comme un poids au bout d'un ressort ou un enfant sur une balançoire.

Pour retrouver la période d'oscillation, qui est la réponse à ta question, j'ai besoin de consulter mes livres ou internet.

Question supplémentaire pour les plus avancés :

Ou se situe le trou le plus profond jamais creusé sur le globe et combien fait-il de profondeur ?

Je ne sais pas, mais je serais déjà surpris qu'il dépasse 10km, et je suis quasiment certain qu'il fait moins de 100km.

[Wooden Ali]

Le zozonaute va osciller d'un bout à l'autre d'un la planête, en passant par une vitesse maximale au centre de la Terre, comme un poids au bout d'un ressort ou un enfant sur une balançoire.

Si l'on considère la symétrie du système, on peut déduire qu'il oscillera indéfiniment entre les deux bords du trou par une simple considération énergétique : l'énergie cinétique acquise pendant la chute sera intégralement restituée en énergie potentielle lors de la montée et il arrivera de l'autre côté à vitesse nulle prêt à recommencer son infernal yoyo.

Comme le fait le fût du canon pour refroidir*, cette oscillation prendra ... un certain temps.
Réponse exacte mais très probablement insuffisante pour Mireille.

Si Cogite n'était pas aussi fainéant que moi, il y arriverait. Son approche est la bonne.


*Cf Fernand Raynaud

[Cogite Stibon]

Hello Wooden

Le zozonaute va osciller d'un bout à l'autre d'un la planête, en passant par une vitesse maximale au centre de la Terre, comme un poids au bout d'un ressort ou un enfant sur une balançoire.

Si l'on considère la symétrie du système, on peut déduire qu'il oscillera indéfiniment entre les deux bords du trou par une simple considération énergétique : l'énergie cinétique acquise pendant la chute sera intégralement restituée en énergie potentielle lors de la montée et il arrivera de l'autre côté à vitesse nulle prêt à recommencer son infernal yoyo.

J'avais fait le même raisonnement avant de commencer les calculs. Là où j'ai été surpris, ça a été de trouver que c'est une oscillation harmonique. Ca n'était pas évident du tout au départ.

Si Cogite n'était pas aussi fainéant que moi, il y arriverait. Son approche est la bonne.

Si j'étais moins fainéant, je retrouverais comment déduire la fréquence à partir de ma valeur 4/3 Pi G d (il doit y avoir une racine carrée dans l'affaire)

Par contre, pour arriver à la valeur numérique qu'attends Mireille, j'aurais aussi besoin G la constante de gravitation universelle, et de d la densité de la Terre. Et je ne les connais pas par coeur. Donc, je ne peux pas résoudre le problème en respectant les règles de Mireille.

[spin-up]

Si le zozo en question est un défenseur de la terre plate, comment fait on?

[LoutredeMer]

Avec ton scenario, et je suppose également :...que le zozonaute ...sur une balançoire.

Il faudra soumettre "zozonaute" à l'Académie Francaise. Je plussoie..

[Cogite Stibon]

Si le zozo en question est un défenseur de la terre plate, comment fait on?

Si la Terre est un disque plat d'épaisseur e, alors 2 cas son possibles :
- Soit on a percé le trou exactement au centre du disque, et on se retrouve, par symétrie, avec un problème ressemblant à celui d'une Terre sphérique de diamètre e (on n'aura pas des oscillations harmoniques)
- Soit on a percé le trou à un autre endroit, et le zozonaute, étant attiré vers le centre du disque, s'écrase contre la paroi

C'est un des gros problèmes des théories de la Terre plate : la théorie de la gravitation prévoit que dans ce cas, tout est attiré vers le milieu de la Terre

Cogite

[Cogite Stibon]

Avec ton scenario, et je suppose également :...que le zozonaute ...sur une balançoire.

Il faudra soumettre "zozonaute" à l'Académie Francaise. Je plussoie..

Il faut dire qu'on a des zozos haut perchés...

Juste une remarque comme ça en passant, qui n'est pas immédiate en voyant les formules :
Sauf erreur de ma part, le temps passé par le zozonaute à traverser ne dépend pas du diamètre de la Terre.
C'est à dire qu'un zozonaute laché sur un trou d'un planète de même densité, mais de 10km de diamètre, mettrait exactement le même temps.

C'est beau, les oscillateurs harmoniques.

[Ethel]

Si j'étais moins fainéant, je retrouverais comment déduire la fréquence à partir de ma valeur 4/3 Pi G d (il doit y avoir une racine carrée dans l'affaire)

\(x(t)=sin(\sqrt{k}t)\) ça marche si je dit pas de bêtise. Du coup ça ferait une fréquence de \(\sqrt{k}\)

Par analyse dimensionnelle, on trouve que ça colle.

\([G]=[F] L^2 M^{-2}=M^{-1}L^3T^{-2}\) (m'en rappelais plus de tête )
\([d]=M L^{-3}\)
\([dG]=T^{-2}\)

à vérifier, je suis pas méga réveillée...

[Cogite Stibon]

Si j'étais moins fainéant, je retrouverais comment déduire la fréquence à partir de ma valeur 4/3 Pi G d (il doit y avoir une racine carrée dans l'affaire)

\(x(t)=sin(\sqrt{k}t)\) ça marche si je dit pas de bêtise. Du coup ça ferait une fréquence de \(\sqrt{k}\)

Par analyse dimensionnelle, on trouve que ça colle.

\([G]=[F] L^2 M^{-2}=M^{-1}L^3T^{-2}\) (m'en rappelais plus de tête )
\([d]=M L^{-3}\)
\([dG]=T^{-2}\)

à vérifier, je suis pas méga réveillée...

C'est ça avec sans doute un facteur 2Pi quelque part.

On doit pouvoir retrouver dG à partir du rayon de la Terre et de la valeur 9,81m/s² de l'accélération de la pesanteur à sa surface.

Mireille, on peut avoir un petit délai supplémentaire ?

Cogite

[Ethel]

On doit pouvoir retrouver dG à partir du rayon de la Terre et de la valeur 9,81m/s² de l'accélération de la pesanteur à sa surface.

Me rappelle plus du rayon de la Terre...

[spin-up]

6400km, de memoire.

[Ethel]

6400km, de memoire.

Ce qui nous ferait :

\(g=G M_t/r^2\)
\(M_t= \frac{4\pi }{3} d r^3\)
d'où
\(dG=\frac{3g}{4\pi r}\)

soit dG=3.66 10-7 s-2 et k=1.53 10-6 s-2, donc une fréquence de 1.24 10-3 Hz soit une période de 808 s ou 13 min 30s à une vache près.

Nous manque une constante quelque part peut être ? (J'adore faire de la physique à la grosse louchasse )

N'oubliez pas de vérifier, c'est rare que je fasse pas une erreur de virgule qq part.

[spin-up]

Ce qui nous ferait :

\(g=G M_t/r^2\)
\(M_t= \frac{4\pi }{3} d r^3\)
d'où
\(dG=\frac{3g}{4\pi r}\)

soit dG=3.66 10-7 s-2 et k=1.53 10-6 s-2, donc une fréquence de 1.24 10-3 Hz soit une période de 808 s ou 13 min 30s à une vache près.

Nous manque une constante quelque part peut être ? (J'adore faire de la physique à la grosse louchasse )

N'oubliez pas de vérifier, c'est rare que je fasse pas une erreur de virgule qq part.

Si c'est exact, la vitesse au passage du centre serait donnée par (par produit en croix, derivée de sin(x) en 0)
\(Vmax=\frac{6400 \pi }{404}\)

Ce qui donne 49.77 km/s (dans les 179 000 km/h).

Ou alors je me trompe completement.
Ou alors quelqu'un s'est trompé avant moi.

EDIT: Donc plutot 15.8km/s d'apres Cogite.

[Cogite Stibon]

6400km, de memoire.

Ce qui nous ferait :

\(g=G M_t/r^2\)
\(M_t= \frac{4\pi }{3} d r^3\)
d'où
\(dG=\frac{3g}{4\pi r}\)

soit dG=3.66 10-7 s-2 et k=1.53 10-6 s-2, donc une fréquence de 1.24 10-3 Hz soit une période de 808 s ou 13 min 30s à une vache près.

Nous manque une constante quelque part peut être ? (J'adore faire de la physique à la grosse louchasse )

N'oubliez pas de vérifier, c'est rare que je fasse pas une erreur de virgule qq part.

Oui, pour moi il manque un \({\pi}\), puisqu'on arrive à l'autre bout de la Terre quand ft = \({\pi}\) et non quand ft=1

Donc t = f\({\pi}\) = 2537s = 42min30, aux arrondis prêts

[Ethel]

Oui, pour moi il manque un \({\pi}\), puisqu'on arrive à l'autre bout de la Terre quand ft = \({\pi}\) et non quand ft=1

Donc t = f\({\pi}\) = 2537s = 42min30, aux arrondis prêts

Voilà

[Cogite Stibon]

Alors Mireille, on a bon ?

[thewild]

Pour le forage le plus profond, je sais qu'il est russe, et de mémoire c'est 14km.
Je pensais que c'était un peu plus mais j'ai entendu 14km hier sur France Culture (coïncidence, ou bien j'écoute les mêmes émissions que Mireille).

[spin-up]

Pour le forage le plus profond, je sais qu'il est russe, et de mémoire c'est 14km.

C'était prevu d'y mettre la démocratie je crois.

[Mireille]

Alors Mireille, on a bon ?

Désolé pour l'attente, Cogite. Voici l'article que j'ai utilisé pour copier les questions :

http://trustmyscience.com/voyage-au-centre-de-la-terre/

[Mireille]

Si le zozo en question est un défenseur de la terre plate, comment fait on?

Ce sera une bonne question à poser aux prochains défenseur qui viendra vous visiter

[Ethel]

Alors Mireille, on a bon ?

Désolé pour l'attente, Cogite. Voici l'article que j'ai utilisé pour copier les questions :

http://trustmyscience.com/voyage-au-centre-de-la-terre/

42 min 12s !! On est pas mal !

[Cogite Stibon]

Hello Mireille,

Ton article dis

Selon certains scientifiques, il en résulte 42 minutes seulement (la réponse exacte : 42 minutes et 12 secondes) ! D’autres scientifiques avancent cependant une durée légèrement différente, qui serait de 38 minutes et 11 secondes. Nous n’entrerons pas dans un débat quant au mérite scientifique de cette étude théorique.

Au lieu de cela, nous vous dévoilons une vérité surprenante concernant cette expérience de pensée : sur une autre planète de taille différente, même largement plus grande ou bien plus petite que la Terre, le temps de voyage serait exactement le même (pour autant que cette planète possède la même densité). En effet, bien que la distance à parcourir soit plus longue ou plus courte, la différence d’accélération rend le voyage plus rapide ou plus lent, ce qui compense la différence de distance.

On a bon à 18secondes près ! Et aussi sur l'absence d'influence de la taille de la planète.