désaccords sur la relativité restreinte

[externo]

La vitesse de la lumière sur l'aller, on ne la connait pas, on ne sait pas la mesurer. Comme on ne la connait pas, mais qu'on en a besoin pour calculer, il faut choisir une valeur, et on peut choisir n'importe quelle valeur du moment que sur l'aller-retour ça fasse c (parce que ça par contre, c'est mesuré, et ça fait que si on choisi la valeur sur l'aller, on n'a pas le choix pour la valeur sur le retour).

Note bien que ce sont tu parles ici n'est pas la théorie d'Einstein. Dans la théorie d'Einstein la vitesse de la lumière est connue, c'est physiquement c dans les deux sens. C'est une condition sine qua non de la théorie.

[PhD Smith]

Si vous êtes fan des "Variations Goldberg", voici de quoi satisfaire l'amateur, genré neutre, de discussions absconses sur la physique théorique et mathématiques : l'émission du samedi matin "Répliques" du 26 octobre sur "la folie mathématique" : https://www.radiofrance.fr/francecultur ... ue-3543797

Le génie mathématique, entre les limites de la pensée et les délires de la raison, dans le prodigieux roman de Benjamin Labatut, MANIAC.

Avec
Etienne Klein Physicien, producteur de l'émission "La conversation scientifique" sur France Culture
Olivier Rey Mathématicien et philosophe, chercheur au CNRS, enseignant en philosophie à l’Université Paris 1, membre de l’Institut d’histoire et de philosophie des sciences et des techniques
Alain Finkielkraut reçoit Olivier Rey et Etienne Klein - le premier, mathématicien et philosophe, le second, physicien - pour nous parler du roman de Benjamin Labatut, tout récemment paru chez Grasset, MANIAC, autour notamment de la figure de John von Neumann, mathématicien et physicien américano-hongrois, né en 1903, qui posa les bases mathématiques de la mécanique quantique, inventa la théorie des jeux, créa le premier ordinateur moderne et joua un rôle clé dans le projet Manhattan ou la construction de la bombe atomique américaine.

Magnifiquement traduit de l’anglais (Chili) par David Fauquemberg, le roman est composé de trois parties. La première raconte la vie et la mort tragique du physicien autrichien, Paul Ehrenfest. La deuxième, la plus longue, se consacre à la figure du mathématicien John von Neumann, né en Hongrie en 1903 et mort aux États-Unis en 1957. La troisième partie raconte une partie de Go qui, en 2016, a opposé l'Intelligence Artificielle AlphaGo détenue par l'entreprise DeepMind, aujourd'hui propriété de Google, au champion du monde de la discipline, le Coréen, Lee Sedol. Ces histoires nous font toucher du doigt la folie et le génie mathématique qui ont profondément transformé nos existences.

Un homme au carrefour de toutes les révolutions techniques et scientifiques du XXe siècle

Etienne Klein évoque l'éducation de John von Neumann, hongrois né à Budapest en 1903, dans une famille aisée. Rapidement, on remarque que son cerveau est "une sorte de miracle profane". "Il sait lire à deux ans, il parle grec ancien avec son père à six ans, il est capable de faire des divisions mentalement de nombre de huit chiffres. Un jour, il met le feu aux cheveux de son professeur d'escrime et, pour le punir, son père l'enferme dans la bibliothèque pendant plusieurs jours. Et là, il réinvente le calcul infinitésimal et lit les 30 tomes d'une sorte d'Encyclopédie d'histoire. C'est quelqu'un qui assez vite va se passionner pour la logique. Il pense que tout est logique, la pensée elle-même, la vie même.

"Il apprend à faire du vélo et il demande comment il a pu apprendre à faire du vélo sans en passer par le raisonnement"

"Il apprend à faire du vélo et il demande comment il a pu apprendre à faire du vélo sans en passer par le raisonnement, comme si le corps était capable de penser par lui-même. Assez vite, il va s'intéresser, lors d'un séjour en Allemagne, à la physique quantique qui est en train de naître, et comme il est soucieux de clarté mathématique, il essaie de voir comment on peut formaliser cette physique de la façon la plus précise possible, En 1932, il publie un livre qui fera autorité, Les fondements mathématiques de la physique quantique." Etienne Klein

John von Neumann part pour les États-Unis, notamment à cause de la montée de l'antisémitisme, où il travaillera activement au projet Manhattan, puis sur la bombe H. Il va s'intéresser à l'ordinateur, aux machines autoréplicantes. Bref, il va devenir quelqu'un de très puissant, il va être un théoricien très zélé de la guerre froide. Einstein, qui le fréquente à Princeton, dira de lui qu'il se transforme en arme mathématique". Etienne Klein

C'est lui, lisons-nous dans MANIAC, qui a persuadé les militaires qu'il ne fallait pas déclencher Les bombes, au niveau du sol, mais plus haut dans l'atmosphère, car ainsi l'onde de choc causerait des dégâts bien plus considérables. C'est même lui qui a calculé l'altitude optimale, 600 mètres, et c'est exactement la hauteur à laquelle se trouvaient les bombes quand elles ont explosé au-dessus des toits de ces pittoresques maisons en bois à Hiroshima et à Nagasaki.

Olivier Rey revient sur les débuts de l'informatique et de la bombe atomique et précise que "le premier usage qui a été fait des calculateurs, c'était pour mettre au point les premières bombes nucléaires. Les premiers ordinateurs qui ont été physiquement construits, c'était à Los Alamos, l'endroit où on mettait au point la bombe atomique. Les bombes atomiques n'ayant jamais explosé, la seule manière qu'on avait d'anticiper ce qui allait se passer, c'était précisément de faire des calculs qui dépassaient les capacités humaines. Et c'est pour cela qu'on a fait appel aux premiers calculateurs qui, certes, par rapport aux moyens dont on dispose aujourd'hui, peuvent nous sembler tout à fait bénins. Mais voilà quel était leur premier usage."

MANIAC : un titre de roman et le sigle de "Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer"

Olivier Rey rappelle l'importance et la tendance aux "acronymes accrocheurs" : "dans la recherche par projet, les chercheurs doivent d'abord élaborer des projets qu'ils soumettent ensuite à des instances pour avoir des financements. Et une activité importante de la recherche aujourd'hui consiste à trouver des acronymes accrocheurs pour qualifier ces projets. On peut dire que MANIAC*, de ce point de vue-là, préfigure une activité à part entière des chercheurs d'aujourd'hui".*

Pourquoi s'est-on autant intéressé à ces fondements axiomatiques des mathématiques à cette époque-là, fin XIXe, début XXe siècle ?

En fait, précise Olivier Rey, pendant très longtemps, on ne s'est pas posé la question des fondements des mathématiques parce qu'au fond, les mathématiques reposaient sur des idées claires et distinctes. "Et puis, au fil des développements mathématiques au XIXe siècle, apparaissent en mathématiques des objets qui s'éloignent de plus en plus de l'intuition commune, voire qui sont en opposition avec l'intuition, et là se pose la question : mais finalement, cet édifice, sur quoi tient-il ? Sur quoi sont ses fondations, puisqu'on ne peut plus le raccorder à notre intuition" ?

Il cite à un moment donné Cantor, qui a fait une démonstration, et il dit « Je le vois, mais je ne le crois pas ». C'est-à-dire qu'il n'arrive pas à croire la vérité de ce qu'il a pourtant démontré. Et c'est là qu'on va se mettre à la recherche d'un fondement axiomatique, un ensemble d'axiomes qui sont non démontrés, qu'on choisit comme point de départ des raisonnements, et puis on va essayer de reconstruire toutes les mathématiques à partir de ces axiomes. Mais ce dont il faut aussi se rendre compte, c'est que l'immense majorité des mathématiciens ne sont absolument jamais, au cours de leur vie, préoccupés par la question des fondements des mathématiques. Ça, c'est un truc de logicien, de philosophe, mais pas du tout de mathématicien dans la pratique.

"À partir du moment où on ne pouvait plus trouver le fondement des mathématiques dans la logique, on allait le prouver dans les performances technologiques" (O.Rey)

Et on ne comprend pas comment les mathématiques, justement, pourraient s'effondrer alors même qu'elles ont remporté tellement de succès dans les sciences mathématiques de la nature et aujourd'hui dans la technologie. Et là, c'est là que ça donne une grande cohérence finalement à ce parcours de John Von Neumann qui termine à faire une bombe. Si vous vouliez, on pourrait dire qu'il cherchait toujours le fondement des mathématiques, mais à partir du moment où on ne pouvait plus le trouver dans la logique, on allait le prouver dans les performances technologiques". Olivier Rey

On parle de ChatGPT et de son usage ici, sur ce fil. O. Rey dit que plus les utilisateurs se servent de l'IA, plus celle-ci s'abêtit dans son usage. ChatGPT devient plus stupide et invente n'importe quoi pour répondre aux questions. Un cerveau humain utilise 30 W d'énergie, l'IA en consomme beaucoup plus.

[Gwanelle]

Je suis persuadée que l'histoire avec le moyen théorème de Fermat marche parfois aussi (et de plus en plus ) avec les humains

[PhD Smith]

Ah, tu as écouté l’émission. En effet il n’y a pas de "thèorème moyen de Fermat" comme peut le répondre Chat GPT.

[PhD Smith]

Petite citation de la théorie d'Ehrenfest, en allemand, langue qu'Einstein et Lorentz se devaient de maîtriser :

Je besser man's versteht um so besser steht es dort.
(Le mieux on comprend, mieux c'est écrit là-bas, [Le commentaire d'Ehrenfest lorsqu'on a demandé par écrit à Dirac une explication de son travail, et Dirac a typiquement simplement reproduit exactement son explication précédente.]

Et cette photo d'Ehrenfest, partagé par E. Klein sur Tweeter, où on voit Paul Ehrenfest consulter son téléphone portable en 1926 : https://x.com/EtienneKlein/status/1847198969417376024

Le physicien Paul Ehrenfest, qu’on voit ici (à gauche) consultant son portable en 1926, fut très perturbé par les implications la physique quantique à propos de la réalité : « Il doit exister une section spéciale du purgatoire réservée aux professeurs de mécanique quantique », écrivit-il à Einstein au retour d’un conseil Solvay.

[Gwanelle]

Et cette photo d'Ehrenfest, partagé par E. Klein sur Tweeter, où on voit Paul Ehrenfest consulter son téléphone portable en 1926 :

Je savais bien qu'il était en avance sur sont temps

[Mirages]

Je savais bien qu'il était en avance sur sont temps

Difficile de calculer E.

[PhD Smith]

L'histoire raconte qu'Ehrenfest a envoyé ce texto à Einstein :

Il doit exister une section spéciale du purgatoire réservée aux professeurs de mécanique quantique.

[mach3]

​

Je ne sais pas pour le moment si ce que tu dis être la géométrie de Minkowski est la géométrie de Minkowski, mais déjà le fait que tu exclues la simultanéité me rend la chose louche, car sans simultanéité, tu n'expliques pas la contraction des longueurs d'après Einstein donc tu n'expliques pas la relativité d'Einstein. Ta géométrie de Minkowski purement mathématique n'explique pas la relativité d'Einstein. La relativité d'Einstein ne peut être expliquée que par une géométrie de Minkowski physique avec simultanéité relative intégrée expliquant la contraction. Et l'accélération n'y est plus source de mouvement absolu mais seulement relatif, et ceci est (soi disant) obtenu par la relativité générale.

Allons plus loin dans les mesures de distances dans le cadre de la géométrie de Minkowski (ou en tout cas, ce que je prétends être la géométrie de Minkowski).

D'abord on introduit des propriétés et des définitions dans le cadre de cette géométrie.

On va considérer la signature -+++, qui signifie formellement que si on choisi une famille libre de 4 vecteurs de carré scalaire non nuls et tous orthogonaux entre-eux, alors l'un des 3 possède un carré scalaire négatif et les 3 autres un carré scalaire positif.
Avec cette signature -+++, on parle de :
-genre temps quand le carré scalaire est négatif,
-genre nul quand le carré scalaire est nul,
-de genre espace quand le carré scalaire est positif,
Ce sont des définitions purement mathématiques, mais le choix des mots n'est pas innocent car quand on fait le lien entre la structure mathématique et les observables, la norme d'un vecteur de genre temps est liée à une durée, et la norme d'un vecteur de genre espace est liée à une longueur (et il nous faut voir pourquoi). Par ailleurs le genre nul, qui n'est ni une durée ni une longueur (ou alors une durée ou une longueur nulle, si on veut, mais aucun intérêt), correspond à la vitesse limite, et il est également appelé genre lumière car la lumière est réputée se déplacer dans le vide à cette vitesse limite (attention pas d'hypothèse sur sa valeur et si cette valeur dépend de l'orientation, c'est juste que si un "truc" va dans une direction avec la vitesse limite, alors aucun autre "truc" ne peut le rattrapper en le suivant dans la même direction).

Nous allons maintenant construire les choses petit à petit, en commençant par considérer un vecteur \(\vec{u}\) de genre temps, donc de carré scalaire négatif. Ce vecteur \(\vec{u}\) génère un ensemble de vecteurs \(k\vec{u}\) (avec k réel) qui sont tous de genre temps (sauf si k=0), un sous espace-vectoriel de dimension 1. Notons le U. Par définition de la signature -+++, tous les vecteurs \(\vec{v}\) orthogonaux à ce vecteur \(\vec{u}\) (tels que \(\vec{u}.\vec{v}=0\), par définition de l'orthogonalité) sont de carré scalaire positif, donc de genre espace. L'ensemble des vecteurs \(\vec{v}\) de genre espace orthogonaux à U (orthogonaux à \(\vec{u}\) et donc à tous les vecteurs \(k\vec{u}\)) est un sous-espace vectoriel de dimension 3, dont on peut montrer qu'il est de signature +++, c'est à dire que c'est un espace vectoriel euclidien 3D (au sens mathématique : quelque chose d'isomorphe à R3, équipé d'une forme bilinéaire symétrie définie positive). Cet ensemble, qu'on notera V, est l'orthogonal de U.

le vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\), somme d'un vecteur \(\vec{u}\) de U et d'un des vecteurs \(\vec{v}\) de V, aura pour carré scalaire :
\((\vec{u}+\vec{v})^2 = \vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2 = \vec{u}^2 +\vec{v}^2\)
On a \(\vec{u}^2<0\) et \(\vec{v}^2>0\), donc \((\vec{u}+\vec{v})^2\) peut être négatif ou positif, mais il peut aussi être nul. Il existe donc bien, en plus des vecteurs de genre temps et de genre espace, des vecteurs de genre nul.
On note que par ailleurs, si \((\vec{u}+\vec{v})^2<0\), \(\vec{u}+\vec{v}\) est de genre temps sans pour autant être colinéaire à \(\vec{u}\) : les vecteurs de carré scalaire négatifs ne sont pas cantonnés à U. Ainsi, on peut prendre un vecteur \(\vec{u}\)' de genre temps non colinéaire à \(\vec{u}\), qui génère un sous-espace de dimension 1 U' différent de U et qui possède un orthogonal V' de dimension 3 contenant uniquement des vecteur de genre espace différent de V.

Venons-en maintenant au losange de genre nul qui permet de montrer la relation entre mesure de longueur et norme de vecteur de genre espace, à partir des hypothèse que la norme d'un vecteur de genre temps est une durée et que les ondes électromagnétique ont des lignes d'univers de genre nul.

D'abord, considérons un quadrilatère ABCD d'un plan de l'espace-temps, avec A, B, C et D 4 évènements. On montre facilement que
\(2\vec{AC}.\vec{DB} = {\vec{AB}}^2-{\vec{BC}}^2+{\vec{CD}}^2-{\vec{DA}}^2\) (ce résultat est également valide en géométrie euclidienne et dans toute géométrie basé sur un espace quadratique)

Spoiler

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c'est simple,
\(2\vec{AC}.\vec{DB} = 2\vec{AC}.\vec{DA} + \vec{AC}.\vec{AB}\)
or comme \({\vec{DC}}^2 = (\vec{DA} + \vec{AC})^2 = {\vec{DA}}^2 + 2\vec{DA}.\vec{AC} + {\vec{AC}}^2\), il vient que \(2\vec{AC}.\vec{DA} = {\vec{DC}}^2 - {\vec{DA}}^2 - {\vec{AC}}^2\)
de même comme \({\vec{BC}}^2 = (\vec{BA} + \vec{AC})^2 = {\vec{BA}}^2 + 2\vec{BA}.\vec{AC} + {\vec{AC}}^2\), il vient que \(2\vec{AC}.\vec{AB} = {\vec{AC}}^2 + {\vec{AB}}^2 - {\vec{CB}}^2\)
et donc
\(2\vec{AC}.\vec{DB} = 2\vec{AC}.\vec{DA} + \vec{AC}.\vec{AB} = {\vec{DC}}^2 - {\vec{DA}}^2 - {\vec{AC}}^2 + {\vec{AC}}^2 + {\vec{AB}}^2 - {\vec{CB}}^2 = {\vec{AB}}^2-{\vec{BC}}^2+{\vec{CD}}^2-{\vec{DA}}^2\)

Imposons que AC soit de genre temps, donc \({\vec{AC}}^2<0\) et que les côtés du quadrilatère soient tous de genre nul, donc \({\vec{AB}}^2={\vec{BC}}^2={\vec{CD}}^2={\vec{DA}}^2=0\). Alors nous avons automatiquement \(\vec{AC}.\vec{DB} = 0\), ainsi DB est orthogonal à AC et forcément de genre espace.
Par ailleurs, on peut montrer que dans ce cas \(\vec{AB}=\vec{DC}\) et \(\vec{BC}=\vec{AD}\) (ce qui fait de ABCD un losange)

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En effet, comme \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\) ne sont pas colinéaires (on a \({\vec{AC}}^2 = (\vec{AB}+\vec{BC})^2 = {\vec{AB}}^2 + 2\vec{AB}.\vec{BC} + {\vec{BC}}^2 = 2\vec{AB}.\vec{BC}\), donc si \(\vec{AB}=k\vec{BC}\), on a \({\vec{AC}}^2=0\) alors qu'on a posé \({\vec{AC}}^2<0\)), on peut écrire tout vecteur du plan comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs.
On a \(\vec{AD}=k\vec{AB}+l\vec{BC}\), avec k et l deux réels, donc \(\vec{AD}^2 = k^2{\vec{AB}}^2+2kl\vec{AB}.\vec{BC}+l^2{\vec{BC}}^2=kl{\vec{AC}}^2\), or \({\vec{AD}}^2=0\) et \({\vec{AC}}^2<0\), donc soit k=0, soit l=0. l=0 correspondant au cas exclu ou D et B sont confondus, on a donc k=0 et \(\vec{AD}=\vec{BC}\), ainsi que \(\vec{CD}=\vec{CB}+\vec{BA}+\vec{AD}=\vec{CB}+\vec{BA}+\vec{BC}=\vec{BA}\).

Ce qui permet d'arriver à la relation \({\vec{DB}}^2=-{\vec{AC}}^2\), c'est à dire que la durée correspondant à AC est égale à la longueur correspondant à BD (au facteur c près)

Spoiler

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En effet, \(0=(2\vec{AB})^2=(\vec{AB}+\vec{DC})^2=(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{DC}-\vec{BC})^2=(\vec{AC}+\vec{DB})^2={\vec{AC}}^2+2\vec{AC}.\vec{DB}+{\vec{DB}}^2={\vec{AC}}^2+{\vec{DB}}^2\)

Physiquement, cela correspond à l'émission de signaux lumineux en l'évènement A, leur réflexion en les évènements B et D et la réception des signaux réfléchis simultanément en l'évènement C. Expérimentalement, on peut considérer un observateur se tenant immobile sur une règle avec des miroirs à son extrémité. Il allume brièvement une lampe là où il se trouve (évènement A) et après une durée T (évènement C), il voit simultanément les reflets brefs (évènement B et D) de sa lampe allumée brièvement dans les miroirs aux extrémités. Il peut en déduire immédiatement deux choses :
il est au milieu de la règle (sinon il ne verrait pas les reflets de sa lampe sur les miroirs de manière simultanée) et la règle mesure L=cT avec c la vitesse de la lumière sur un aller-retour.

On s'occupera du cas d'une règle en mouvement par rapport à l'observateur une fois que ce premier aspect sera compris, accepté et assimilé.

m@ch3

[externo]

​On s'occupera du cas d'une règle en mouvement par rapport à l'observateur une fois que ce premier aspect sera compris, accepté et assimilé.

m@ch3

Ok, c'est bon.

[mach3]

Un point quand même à aborder avant de considérer une règle en mouvement : le cas où l'observateur n'est pas au centre de la règle.

Developpons d'abord un point passé sous silence dans le précédent message. On a déduit que l'observateur était au centre de la règle, donc que la longueur entre l'observateur et une extrémité est censée être la moitié de la longueur de la règle, mais nous n'avons pas relié cette demi-longueur à un élément dans l'espace-temps de Minkowski.

Plaçons donc l'évènement O à l'intersection entre AC et DB. L'orthogonalité entre AC et DB fait qu'on a alors 4 triangles rectangles en O, AOB, BOC, COD et DOA, ayant tous un côté de genre temps, un côté de genre espace et une hypoténuse de genre nul.

On a donc \( 0={\vec{AB}}^2=(\vec{AO}+\vec{OB})^2={\vec{AO}}^2+2\vec{AO}.\vec{OB}+{\vec{OB}}^2={\vec{AO}}^2+{\vec{OB}}^2 \), donc \({\vec{OB}}^2=-{\vec{OA}}^2\)
Pareillement \(0={\vec{BC}}^2=(\vec{BO}+\vec{OC})^2={\vec{BO}}^2+2\vec{BO}.\vec{OC}+{\vec{OC}}^2={\vec{BO}}^2+{\vec{OC}}^2\), donc \({\vec{OB}}^2=-{\vec{OC}}^2\)
ce qui nous mène à \({\vec{OA}}^2={\vec{OC}}^2\), donc \(\vec{AO}=\vec{OC}\) : O est au milieu de AC.

On a aussi \(0={\vec{CD}}^2=(\vec{CO}+\vec{OD})^2={\vec{CO}}^2+2\vec{CO}.\vec{OD}+{\vec{OD}}^2={\vec{CO}}^2+{\vec{OD}}^2\), donc \({\vec{OD}}^2=-{\vec{OC}}^2\)
ce qui nous mène à \({\vec{OB}}^2={\vec{OD}}^2\), donc \(\vec{DO}=\vec{OB}\) : O est au milieu de DB.

On a donc bien un lien direct entre la situation physique de notre observateur au milieu de la règle et un élément géométrique, l'évènement O au centre du segment de genre espace DB.

Cela permet de découper notre expérience en deux demi-expériences et donc notre figure en deux demi-losanges (donc des triangles). L'une avec un expérimentateur qui envoie un signal lumineux en l'évènement A, signal qui se réfléchit en l'évènement B sur le miroir à l'extrémité de la règle puis atteint l'expérimentateur en l'évènement C, et l'autre identique à ceci près que le signal se réfléchit en l'évènement D sur le miroir à l'autre extrémité de la règle.
Cette demi-expérience est une mesure de distance radar. L'observateur mesure la durée correspondant à AC et en déduit que la longueur correspondant à OB (ou à OD) est la moitié de cette durée (au facteur c près).

D'une manière générale, toute mesure radar est une expérience physique dont la représentation géométrique est un triangle avec deux côtés de genre nul et un côté de genre temps. Le côté de genre temps représentant la durée mesurée entre le départ et le retour du signal et la hauteur/médiatrice coupant le côté de genre temps représentant la distance que déduit l'observateur.
Il sera d'ailleurs considéré qu'il s'agit de la distance à l'instant (l'évènement O) situé pile entre le départ et le retour du signal. Cela n'a pas d'importance si l'observateur est galiléen et que l'objet distant est immobile par rapport à lui (la distance ne change jamais, donc peu importe l'instant), mais cela le devient dans tout autre cas.

Ainsi, si l'observateur n'est pas au centre de la règle (par rapport à laquelle il est immobile), mais n'importe où sur une droite à laquelle appartient la règle, il est en mesure de déterminer à quelle distance il est de chaque extrémité et de calculer la longueur résultante de la règle.

Par exemple, on aura deux triangles, ABC et DEF, dont les côtés AC et DF sont sur la même droite de genre temps, et les côtés AB, BC, DE et EF de genre nul, avec émission de lumière par l'observateur en A, réfléxion à une extrémité de la règle en B et réception de la réflexion par l'observateur en C, et émission de lumière par l'observateur en D, réfléxion à une extrémité de la règle en E et réception de la réflexion par l'observateur en F. On aura un évènement O au milieu de AC et un évènement O' au milieu de DF et l'observateur par ses deux mesures connaitra les distances correspondantes aux segment OB et O'E.
Si l'observateur est immobile par rapport à la règle, les évènements O et O' peuvent être n'importe quand : la mesure radar entre l'expérimentateur et l'une ou l'autre des extrémités ne dépend pas de quand il effectue la mesure.

Cela nous mène au cas où la règle est en mouvement. En effet si l'expérimentateur et la règle sont en mouvement relatif, les mesures radar donnent un résultat qui varie dans le temps.

m@ch3

[mach3]

Commençons par un cas particulier où l'expérimentateur alors sur la règle mais en mouvement par rapport à celle-ci, émet un signal en l'évènement A', qui se réfléchit aux extrémités de la règle aux évènements B' et D' et où, parce que cela a été effectué pile au bon moment, les réflexions lui arrivent simultanément en l'évènement C' (si cela est effectué plus tôt ou plus tard, alors les réflexions arrivent en deux évènements distincts, on a plus un losange A'B'C'D', mais deux triangles A'B'C' et A'D'E' avec A'C' et A'E' sur la même droite). La mesure de la durée A'C' donnera la longueur de D'B', mais, contrairement au cas statique décrit auparavant, cette longueur sera-t-elle celle de la règle ?
Pour le savoir on peut considérer un second expérimentateur au milieu de la même règle mais immobile par rapport à elle, qui fait la même expérience, c'est à dire émet en A, avec réfléxion en B et D, et réception en D, et pour lequel on a défini que la longueur BD (donnée par la durée AC) est la longueur de la règle.

On aura donc trois droites parallèles, (DD'), (BB') et (AC) et une droite (DB) qui leur est orthogonale, ainsi que (A'C') orthogonale à (D'B')

Nommons \(\vec{u} = \vec{BB'} - \vec{DD'}\), \(\vec{v} = \vec{DB}\) et \(\vec{w} = \vec{D'B'}\). Ces trois vecteurs forment un triangle rectangle avec \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\) et \(\vec{u}.\vec{v}=0\).

On a \(\vec{v}.\vec{w} = \vec{v}.(\vec{u}+\vec{v}) = {\vec{v}}^2\)
\(||\vec{v}|| ||\vec{w}|| \cosh \eta = ||\vec{v}||^2\)
\(||\vec{w}|| \cosh \eta = ||\vec{v}||\)

comme \(\cosh\eta >1\) pour tout \(\eta\), on a \(||\vec{w}|| < ||\vec{v}||\)
Or la norme du vecteur \(\vec{w}\) est celle du vecteur \(\vec{D'B'}\), et celle du vecteur \(\vec{v}\) est celle du vecteur \(\vec{DB}\).
Le vecteur \(\vec{D'B'}\) représente donc une longueur plus petite que le vecteur \(\vec{DB}\), et bien sûr la durée représentée par le vecteur \(\vec{A'C'}\) est plus courte que celle représentée par le vecteur \(\vec{AC}\).

L'expérimentateur en mouvement par rapport à la règle obtient donc une mesure radar plus courte que l'expérimentateur immobile par rapport à la règle.

Voilà donc une façon de montrer que la géométrie de Minkowski prédit correctement l'effet observable dit de "contraction des longueurs".

On s'arrêtera là pour ce soir, mais on pourra discuter d'autres façons de faire (notamment avec des expérimentateurs qui font des mesures radar pas au milieu des règles, voire pas du tout sur la droite à laquelle appartient la règle, ou des mesures autres que radar, par exemple en utilisant une règle étalon et plusieurs horloges, etc).

Est-ce que ça va ?

m@ch3

[externo]

Est-ce que ça va ?

Dans ta représentation il y a un espace de référence physique figuré par la règle et un observateur en mouvement par rapport à cet espace qui fait de fausses mesures. C'est la théorie de Lorentz à l'aide d'une géométrie de Minkowski avec référentiel privilégié. L'observateur mouvant suppose que la vitesse de la lumière est isotrope par rapport à lui, mais comme c'est faux il mesure la règle plus courte qu'elle ne l'est.
Pour passer à la théorie d'Einstein il faut que chaque observateur ait sa propre règle immobile par rapport à lui, donc son propre espace de référence physique, et qu'on ne puisse pas favoriser un espace par rapport à l'autre, et là ça deviendra la vraie géométrie de Minkowski avec plusieurs simultanéités physiques.

[Gwanelle]

...et là ça deviendra la vraie géométrie de Minkowski avec plusieurs simultanéités physiques.

Mais tu vois bien que la démonstration (de la contraction des longueurs) des messages 84 à 87 de mach3 est faite dans la cadre de la (vraie) géométrie de Minkowski sans jamais faire appel à la notion de simultanéité .

[mach3]

Dans ta représentation il y a un espace de référence physique figuré par la règle et un observateur en mouvement par rapport à cet espace qui fait de fausses mesures.

Non, ça c'est toi qui tient à le mettre. Je n'ai jamais parlé d'espace (si ce n'est pour nommer les vecteurs de genre espace, mais c'est juste un nom). Je n'ai jamais précisé quel était le mouvement de la règle (si ce n'est qu'il est galiléen), seulement parlé de mouvements relatifs entre la règle et l'observateur. Je ne parle que d'observations, pas d'un espace qu'on pourrait inférer de ces observations. Si on commence à inférer ainsi l'espace on sort de la pure géométrie qui modélise les observations et on part déjà dans l'interprétation, on propose une ontologie pour supporter les observations, et bien que tu sembles le refuser à tout prix, ce n'est pas la seule ontologie envisageable.

J'aurais pu au contraire habiller toutes ces démonstrations pour inviter à en inférer l'existence de l'univers-bloc, en disant non pas que la géométrie de Minkowski modélise les observations mais est la géométrie de l'espace-temps qui existe en tant que tel et argumenter en défaveur de l'existence même de l'espace. Et tant qu'à faire ajouter que le mouvement ça n'existe pas et que les objets sont des rubans dans l'espace-temps.

L'exposé est au contraire parfaitement neutre, on considère l'ensemble des observations, pas le réel, seulement ce qu'on observe du réel, et on constate qu'il se modélise bien par la géométrie de Minkowski, sans tenter de prouver quelque chose sur le réel parce que ce n'est pas le but.

C'est la théorie de Lorentz à l'aide d'une géométrie de Minkowski avec référentiel privilégié

La notion de référentiel n'étant ni définie ni utilisée dans les démonstrations qui précèdent, on ne voit pas trop comment.

L'observateur mouvant suppose que la vitesse de la lumière est isotrope par rapport à lui, mais comme c'est faux il mesure la règle plus courte qu'elle ne l'est.

Non, il n'y a rien de supposé sur la vitesse de la lumière (la seule chose supposée c'est que les signaux lumineux suivent les lignes de genre nul, c'est tout). Juste une définition opérationnelle de la distance radar.
On ne parle pas de vraies distances ou de vraies longueurs, mais seulement de la correspondance entre quelque chose de mesuré suivant une procédure précise (la distance radar) et une entité dans la géométrie.

m@ch3

[externo]

Dans ta représentation il y a un espace de référence physique figuré par la règle et un observateur en mouvement par rapport à cet espace qui fait de fausses mesures.

Non, ça c'est toi qui tient à le mettre. Je n'ai jamais parlé d'espace (si ce n'est pour nommer les vecteurs de genre espace, mais c'est juste un nom).

Une règle n'est pas juste un nom, c'est un objet physique qui mesure l'espace et définit une simultanéité.

Je ne parle que d'observations, pas d'un espace qu'on pourrait inférer de ces observations.

L'espace est observé directement, il n'est pas inféré. Il se mesure avec des mètres étalons.

J'aurais pu au contraire habiller toutes ces démonstrations pour inviter à en inférer l'existence de l'univers-bloc, en disant non pas que la géométrie de Minkowski modélise les observations mais est la géométrie de l'espace-temps qui existe en tant que tel et argumenter en défaveur de l'existence même de l'espace.

Ce que tu dis là n'a pas de sens. C'est comme si tu disais que la Terre n'existait pas. Tu ne peux pas nier un fait d'observation physique comme un objet étendu dans l'espace. La mesure de l'espace par une règle est la preuve de l'existence de l'espace. C'est une observation de l'espace. L'univers-bloc ne nie pas l'espace, rien ne peut nier l'espace, il nie que l'espace s'étend toujours dans les 3 mêmes dimensions. Tout comme l'axe du temps change avec la vitesse, l'axe d'espace change, mais il existe. Nier l'espace revient à nier la longueur propre, et nier la longueur propre c'est comme nier le temps propre, c'est impossible, ce sont deux faits d'observations impossibles à nier. L'un se mesure avec des mètres et l'autre avec des horloges.

C'est la théorie de Lorentz à l'aide d'une géométrie de Minkowski avec référentiel privilégié

La notion de référentiel n'étant ni définie ni utilisée dans les démonstrations qui précèdent, on ne voit pas trop comment.

La règle est un référentiel, et comme dans ton exemple elle est unique elle représente l'éther.

L'observateur mouvant suppose que la vitesse de la lumière est isotrope par rapport à lui, mais comme c'est faux il mesure la règle plus courte qu'elle ne l'est.

Non, il n'y a rien de supposé sur la vitesse de la lumière (la seule chose supposée c'est que les signaux lumineux suivent les lignes de genre nul, c'est tout). Juste une définition opérationnelle de la distance radar.

Dire que les signaux lumineux suivent les lignes de genre nul ça veut dire que dans tous les référentiels inertiels il y a un t et un x tels que la "distance" parcourue par la lumière est 0 = dt²-dx², donc tels que dx/dt = 1, donc ça veut dire que la vitesse de la lumière est isotrope et vaut 1.
Donc supposer que les signaux lumineux suivent les lignes de genre nul est la même chose que supposer que la vitesse de la lumière est isotrope et vaut c ou 1.

[externo]

On note que nulle part ici n'interviennent les notions de référentiel, de coordonnées, d'éther, de vitesse de la lumière ou de simultanéité, il s'agit uniquement de la mise en relation de grandeurs mesurables directement par le sédentaire et/ou le voyageur (horloges embarquées pour le temps propre, observation de l'horloge de l'autre pour la rapidité via l'effet Doppler qui est l'exponentielle de la rapidité, accéléromètre embarqué pour l'accélération propre) via leur association aux grandeurs géométriques intervenant dans la géométrie de Minkowski.

Donc maintenant on est en état de bien comprendre la situation.
Tu as raison sur le fait que la métrique de Minkowski n'a pas de référentiel privilégié.
Il s'agit bien comme tu le dis "de la mise en relation de grandeur mesurables"

L'espace de Minkowski ne contient que des transformations passives et étudie des états de faits par le biais du système de coordonnées de l'observateur. On peut observer des accélérations, mais on ne peut pas les expliquer. C'est pour cette raison qu'Einstein n'a pu le faire que dans le cadre de la relativité générale.

En relativité générale la courbure riemannienne est de type euclidienne dans le sens où elle est fondée sur la trigonométrie circulaire.

La transformation active associée à l'accélération est équivalente à ce qu'il se passe dans un champ gravitationnel à la différence qu'elle ne s'applique que radialement et quelle est à accélération constante.
Les équations de la relativité générale modélisent ce qu'un observateur observe à l'aide de son système de coordonnée dans lequel il se postule immobile, donc intègrent la pseudo-métrique, mais cette pseudo-métrique n'a pas de pouvoir explicatif, elle n'est que descriptive, c'est la partie courbure riemannienne qui est explicative. L'accélération et la gravitation sont une déformation de l'espace et du temps à l'aide de la trigonométrie circulaire.
Comme la rotation de l'espace dans le temps est en fait une contraction, le temps est une dimension qui n'a pas de direction spatiale, et il existe un référentiel privilégié.

La courbure de la RG est facile à comprendre. Radialement, c'est une courbure temps-espace, avec temps courbe et espace contracté, c'est ce qui produit le mouvement radial et c'est le même mécanisme que celui ayant cours dans le mouvement inertiel, d'où l'équivalence entre la masse grave et inertielle. Ensuite la symétrie sphérique entraîne une courbure espace-espace qui est responsable de l'avance du périhélie de Mercure et du doublement de la courbure de la lumière.
Et c'est la mécanique des ondes qui est à l'origine des déformations de l'espace-temps.

J'espère que c'est clair à présent.