N’ayant jamais été ferré en géométrie, Évariste a souffert ;-)
Suant à grosses gouttes mais n’arrivant tout de même pas à trouver une faille dans le raisonnement que tu proposes, je me suis fait mon propre triangle scalène.
Il m’est apparu que les points F et G ne peuvent pas tous les deux être à l’extérieur du triangle ABC : TOUT EST LÀ.
Si par exemple G est entre B et C, alors F est sur le prolongement de BA, hors du triangle ABC. Il me fallait donc prouver la généralité de cette propriété.
Alors j’ai construit le cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit E le point de rencontre de la bissectrice de l’angle ABC et du cercle. Or ce point est aussi sur la médiatrice de AC.
Il s’ensuit que la figure ABCE est un quadrilatère est inscrit dans le cercle qui lui-même est circoncis, pardon, circonscrit au triangle.
Les angles BAE et BCE sont donc supplémentaires.
S’ils étaient droits tous les deux,
alors les points F et A seraient confondus,
de même que les points C et G,
et alors AB serait égal à BC,
contrairement à l’hypothèse.
Donc, l’un des angles BAE et BCE est aigu,
l’autre est obtus...
comme Évariste, diront les méchantes langues :-(
Soit BCE l’angle aigu.
Alors le point G...
qui intéresse particulièrement le Prof Dingue ;-)
est entre B et C... de sorte que :
BC = BG + GC.
L’angle BAE étant alors obtus,
le point F tombe à l’extérieur de BA, d’où :
BA = BF – AF.
REMARQUE.
Il est vrai que AF = GC
mais au lieu du système
BF = BA + AF
BG = BC + CG
on a le système
BF = BA + AF
BG = BC – CG.
Voilà qui m’a coûté deux bonnes heures... alors j’ai droit à un break syndical !
P.-S. :
Si tu connais bien le Prof Dingue, saurais-tu me dire si la guitare est son violon dingue ?
Évariste, l’apprenti géomaître ;-)
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