Puisque les paradoxes mathématiques semblent vous amuser, en voici un qui, si mes calculs sont exacts, vous empêchera de dormir durant 12 générations.
TOUT TRIANGLE EST ISOCÈLE
La démonstration ne sera pas de la tarte parce que c'est de la géométrie et qu'il faudra tracer des figures avec les lettres et les espaces. Sur mon écran, dans les textes du forum, les suites d'espaces sont télescopées en un seul espace. Je devrai les remplacer par des points. Mais les points ont mi-largeur des lettres, ça se complique. D'autant plus que dans la boîte de composition des messages, le caractère "." sort de pleine largeur. Il me faudra astucer.
Aussi, je ne pourrai tracer les longs traits utiles à la démonstration. Il vous faudra les imaginer (ou les tracer au feutre-lavable sur votre écran). Pour le reste, je fais de mon mieux à la graisse de binne.
Partons d'un triangle quelconque ABC. Je vais démontrer que les côtés AB et BC sont de même longueur et que, donc, notre triangle quelconque est isocèle. J'espère que l'image sortira dziguidou sur votre écran.
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........................A..........................D...........................C.......................
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.................................................................................................G...........
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.............F.................................................................................................
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.......................................................E........................................................
(j'ai pas hâte de voir comment ça va sortir sur l'écran)
Considérons le point D, au MILIEU du segment AC. De ce point D traçons une une longue droite verticale, perpendiculaire à AC. Cette droite est la médiatrice du segment AC.
Traçons aussi la bissectrice de l'angle ABC. Ces deux droites se rencontrent en un point E. Traçons-le.
De ce point E, abaissons deux PERPENDICULAIRES sur les prolongements des segments AB et BC. Notons par F et G les pieds de ces perpendiculaires.
Fini pour le dessin. Raisonnons. Mais d'abord recopions le dessins entier qui menace de sortir de l'écran.
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.......................................................E........................................................
Le point E étant sur la médiatrice du segment AC on a, par symétrie-miroir, AE = CE (*).
Ce même point E étant sur la bissectrice de l'angle FBG on a (encore par symétrie-miroir) que les deux perpendiculaires tombant à F et à G sont de même longueur et tombent à la même distance de B. Autrement dit, EF = EG (**) et BF = BG (***). Ça achève.
L'angle EFA étant droit, on a, par Pythagore, que AF² = AE² - EF² (4*).
Pour la même raison on a, de l'autre côté, CG² = CE² - EG² (5*)
Par (*) et (**), les termes de droite de (4*) et de (5*) sont égaux, d'où égalité des termes de gauche: AF = CG (6*).
Je recopie l'image qui fout encore le camp.
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Observons le grand triangle FBG. On sait, par (***) que BF = BG.
On sait aussi, par (6*) que AF = CG. Il suit que les différences de longueurs de ces segements égaux sont égales:
AB = BC.
CQFD. Notre triangle QUELCONQUE de départ était isocèle!
J'espère que j'ai été clair dans ma démonstration. ;-)
Cordialités,
Denis
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