Renoncer à ses croyances

[Etienne Beauman]

Un axiome, c'est une proposition dont on décide arbitrairement qu'elle est vraie. Point barre.

Ce qui est drôle c'est que formulé autrement ça revient à dire qu'un axiome, c'est une proposition qu'on tient pour vraie sans preuve.

Et ça, c'est la définition d'une croyance selon Patator.

En voulant rejeter la notion de croyance de la constitution du savoir, il ne fait que la repousser aux bases de la construction de celui ci.

Dans les axiomes de la géométrie d'Euclide, la cinquième proposition (qui dit que par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule droite parallèle à la première) peut être remplacée par la description d'une géométrie courbe, la cinquième proposition devenant alors fausse.

Oui d'ailleurs ça me faisait déjà tiquer sur la déf : axiome : proposition évidente indémontrable.

Pendant des siècles, des mathématiciens ont essayé de démontrer ce cinquième axiome à partir des quatre autres, si c'était impossible par définition, ils étaient un peu concon

Mais on peut arbitrairement postuler aussi bien l'existence que l'inexistence d'un ensemble dont le cardinal soit strictement supérieur à celui des nombres entiers et strictement inférieur à celui des nombres réels.

Du coup le caractère évident est lui même pas pertinent.

Le CNRTL propose deux déf, une qui est critiquable selon ce qu'on vient de voir :

Énoncé répondant à trois critères fondamentaux : être évident, non démontrable, universel.

valable avant la découverte des géométries non-euclidienne. (le universel fait lui aussi tache.)

et une double plus récente :
-Énoncé, proposition posés à la base d'un système hypothético-déductif ou plus généralement élément d'une axiomatique
-Formule servant de thèse ou théorème initial à un système syntaxique

Je trouves ton arbitraire un peu fort, il y a consensus sur pas mal d'axiome quand même, mais je ne connaissais pas cette déf :

LOG. Proposition arbitraire ,,quand l'esprit n'y est pas contraint par les lois logiques, c'est-à-dire quand la proposition contradictoire ou contraire serait tout aussi bien possible.

Ça colle parfaitement pour ton exemple, mais ça coince toujours en général.

j'aime bien la simplicité de celle là* :
axiome : proposition admise sans démonstration

genre "42 est la réponse à la grande question sur la vie, l'univers et le reste" est un axiome mais il ne sert pas de base à un quelconque système hypothético-déductif


* c'est une "troncation" de celle de google
"Proposition considérée comme évidente, admise sans démonstration."

[Cogite Stibon]

Un axiome, c'est une proposition dont on décide arbitrairement qu'elle est vraie. Point barre.

Ce qui est drôle c'est que formulé autrement ça revient à dire qu'un axiome, c'est une proposition qu'on tient pour vraie sans preuve.

Et ça, c'est la définition d'une croyance selon Patator.

En voulant rejeter la notion de croyance de la constitution du savoir, il ne fait que la repousser aux bases de la construction de celui ci.

Oui, car il confond logique formelle et épistémologie, il confond preuve mathématique et preuve scientifique.

Un axiome, c'est quelque chose que dont on décide qu'il est vrai, dans le cadre de la construction d'un système formel, qui n'est pas la réalité.
A partir des axiomes d'un système formel, on peut dériver tout un tas de propositions, dont on peux prouver formellement qu'elles sont vraies - dans le cadre de ce système formel, rien ne prouve qu'elle corresponde à une quelconque réalité.
C'est de la logique formelle, et des preuves logiques/mathématiques (la logique formelle est une branche des mathématiques)

En science, on s'intéresse à la réalité. Plus exactement, on cherche à produire des systèmes formels qui décrivent celle-ci le plus fidèlement possible. Pour ça, on pose des axiomes, on en dérive des propositions, et on vérifie si ces propositions correspondent aux observations. Si oui, les axiomes de départ ont une bonne chance d'être vrais dans la réalité et pas uniquement dans le cadre du système formel.

Par exemple, à partir des axiomes posés par Newton, à savoir :
F = m a
et
F = G MA MB / d²

On peut formellement prouver les lois de Kepler du mouvement des planètes, et calculer formellement la position des planètes à un instant t ou la trajectoire d'un boulet de canon.

C'est la concordance incroyable entre ces calculs et les observations qui amènent à tenir pour vraies les lois de Newton. On ne peut pas les prouver formellement, puisqu'elles sont les axiomes du systèmes formel.

D'où la double absurdité de son propos quand il veut prouver formellement chacun des signes de cet axiome :

Dans n'importe qu'elle théorie, une théorie est toujours une théorie logique, tout est formel. N'ayant pas une seule vérité proposée dans la théorie de Newton, elle ne repose pas que sur une seule preuve formelle, mais sur au moins autant de preuves qu'elles propose de vérités.
[...]
Il y a au moins autant de vérités élémentaires qu'il y a de relations entre termes dans l'expression mathématique la plus simple possible.

Ici elles ne sont pas moins de 4.

FA/B = FB/A = G .(1) MA .(2) MB /(3) d²(4)
.

[Etienne Beauman]

Un axiome, c'est quelque chose que dont on décide qu'il est vrai, dans le cadre de la construction d'un système formel, qui n'est pas la réalité.
A partir des axiomes d'un système formel, on peut dériver tout un tas de propositions, dont on peux prouver formellement qu'elles sont vraies - dans le cadre de ce système formel, rien ne prouve qu'elle corresponde à une quelconque réalité.

Tu m'a rappelé ça

[Chanur]

D'accord avec Cogite.

Etienne Beauman,

Je trouves ton arbitraire un peu fort, il y a consensus sur pas mal d'axiome quand même, mais je ne connaissais pas cette déf :

LOG. Proposition arbitraire ,,quand l'esprit n'y est pas contraint par les lois logiques, c'est-à-dire quand la proposition contradictoire ou contraire serait tout aussi bien possible.

Ça colle parfaitement pour ton exemple, mais ça coince toujours en général.

Je persiste avec mon "arbitraire".

Les axiomes d'une théorie ont exactement le même statut que les règles du jeu d'échec. Le déplacement des pièces n'a rien d'"évident". S'il y a quelque chose d'évident, c'est qu'une tour ne bouge pas.
Si les règles du jeu d'échec sont intéressantes, c'est qu'elles définissent d'une façon simple un jeu très riche. C'est exactement la même chose pour des axiomes mathématiques.

Les axiomatiques qui font consensus (l'arithmétique, la géométrie euclidienne, par exemple) c'est parce qu'elles sont très simple tout en donnant naissance à des structures très riches, c'est tout.

Par ailleurs, j'ai eu une prof de math qui nous disait "en mathématique, "évident" veut dire "suprêmement facile à démontrer" et non pas "j'ai l'impression que c'est vrai mais je ne sais pas pourquoi"". Une leçon que j'ai retenue et qui m'a souvent évité de dire des bêtises.

Parce que si on veut qu'un axiome soit "évident", il faudrait déjà savoir ce que "évident" signifie. Et sans se baser sur l'axiomatique en question. Alors en se basant sur quoi ?

Et puis quel sens ça aurait de refuser une théorie parce que ses axiomes ne sont pas évidents ? Ça revient à fermer des portes. C'est là que ça deviendrait triste. Alors que les mathématiques sont le seul domaine de la pensée où il n'y a aucune règle a priori. On choisit les règles qu'on veut (y compris en logique, n'en déplaise à Exaptator). C'est magique.
Evidemment, il faut être très malin pour inventer des axiomatiques intéressantes. Ça dépasse largement mon niveau. Je me contente de regarder ce que des gens plus malins que moi ont écrit et je suis bien content d'en comprendre une petite partie.

Edit :

Tu m'a rappelé ça

[Wooden Ali]

Evidemment, il faut être très malin pour inventer des axiomatiques intéressantes.

Très malin ? Ou vouloir que ça serve à quelque chose ?
Je ne pense pas qu'une mathématique dont l'axiomatique serait totalement arbitraire et véritablement détachée du réel puisse avoir de grande chance de se développer. Finalement, les géométries non-euclidiennes ne se permettent qu'une incursion partielle dans l'irréel. On pourrait dire qu'elles sont plus para-euclidiennes que non-euclidiennes. C'est d'ailleurs peut-être pour cela qu'elles ont permis la création de modèles puissants (et inattendus) en Physique.
Les règles d'un jeu sont arbitraires mais doivent en même temps ... rendre le jeu jouable et intéressant. De sévères contraintes qui minimisent considérablement le sens du mot "arbitraire".

[Chanur]

Evidemment, il faut être très malin pour inventer des axiomatiques intéressantes.

Je ne pense pas qu'une mathématique dont l'axiomatique serait totalement arbitraire et véritablement détachée du réel puisse avoir de grande chance de se développer.

Je n'ai pas l'impression que ce soit vrai, mais je manque d'argument et d'exemples, désolé.

Finalement, les géométries non-euclidiennes ne se permettent qu'une incursion partielle dans l'irréel.

Pour le coup, je ne suis pas du tout d'accord : c'est l'impression qu'avaient les premier mathématiciens qui ont travaillé dessus, mais aujourd'hui, la description la plus précise de l'espace ou nous vivons c'est un espace non-euclidien (Relativité Générale)

On pourrait dire qu'elles sont plus para-euclidiennes que non-euclidiennes.

Là je n'ai pas compris ce que tu veux dire.

C'est d'ailleurs peut-être pour cela qu'elles ont permis la création de modèles puissants (et inattendus) en Physique.

là non plus

Les règles d'un jeu sont arbitraires mais doivent en même temps ... rendre le jeu jouable et intéressant. De sévères contraintes qui minimisent considérablement le sens du mot "arbitraire".

Entièrement d'accord. C'est ce que j'ai essayé d'exprimer : ce qui compte c'est qu'une théorie soit féconde. Qu'elle donne naissance à des structures riches et intéressantes à étudier. Pas besoin de lien avec le réel.

[Exaptator]

Exaptator a écrit : ↑30 avr. 2018, 23:14
"os de machin plus proche de os de truc que os de bidule"
<=> écart ou proximité entre Machin et Truc - écart ou proximité entre Machin et Bidule > 0% => proposition 100% vraie

"os de machin plus proche de os de bidule que os de truc"
<=> écart ou proximité entre Machin et Bidule - écart ou proximité entre Machin et Truc > 0% => proposition 100% fausse

...

Je pense avoir bien compris, et c'est en fait exactement la même critique que j'avais faite dans mes premières interventions : la question n'est pas énoncée de façon formelle, voire ne peut pas être énoncée de façon formelle sans perdre tout son sens.
Si c'est ainsi qu'on discrétise pour arriver à des certitudes absolues, ça n'a pas d'intérêt car il s'agit de certitudes sur des objets indéfinis.

Ah, là il y a un point que tu soulèves, qui est à mon sens important : il s'agit du fait que la manière dont on s'exprime et la façon dont on pose les problèmes laissent souvent à désirer... Cela dit, je ne vois pas comment les choses perdraient tout leur sens si elles sont exprimées de manière formelle avec des définitions précises cohérentes et non ambiguës. C'est plutôt le contraire en fait : la logique formelle nous rappelle cette exigence de clarification du langage et de cohérence du discours et nous aide en ce sens. Je ne suis pas non plus d'accord avec toi si tu penses que le langage usuel permet d'énoncer des choses mieux que ne parviendrait à le faire un langage clair répondant aux exigences de la logique formelle.

.

[Exaptator]

"la Terre est plus courbe que plate de Massilia à Thulée" est un énoncé tout ce qu'il y a de plus formel si l'on considère que Thulé* est L'Islande (*c'est arbitraire mais c'est précis) : valeur de vérité : vraie.

Comment démontre-t-on formellement cette proposition, pour arriver à une certitude de 100% ?

Il suffit de connaître les positions angulaires du Soleil en ses plus hauts points quotidiens (en la mi-journée) par rapport à l'horizon aux différents moments de l'année et en un lieu précis, ici : Massalia et de faire le constat que plus l'on est situé au Nord, plus ces angles mesurés sont petits pour un moment précis de l'année.
>>>>>> Cela suffit amplement à vérifier (à démontrer en fait) la proposition : "la Terre est plutôt arrondie que plate de Massilia à Thulée." (et cela même s'il y aurait théoriquement d'autres explications possibles.)
.

[Exaptator]

C'est comme ça même en bonne vieille logique classique, que tu l'acceptes ou non, n'y changera rien.

Commence par faire le tableau de vérité complet de tes affirmations trollesques.
T'auras peut être un déclic

De nous deux, si troll il y a c'est toi. Troll ou simplement incompétent pour parler de logique.


Les tableaux de vérité sont un peu particuliers pour ¬P(x) et ¬P(¬x),


car si :

P(x) => (x : vraie ∧ ¬x : fausse) <=> xLi
∧
P(¬x) => (x : fausse ∧ ¬x : vraie) <=> ¬xLi

--------------- (Li : logique intuitionniste)


en revanche :

¬P(x) <=> ¬S(x) <=> x : ? <=> Pas d'expression en logique intuitionniste.
∧
¬P(¬x) <=> ¬S(¬x) <=> ¬x : ¿ <=> ¬¬xLi


Or, bien que ¬P(x) ∧ ¬P(¬x) => ¬⊥ : il est clair que :

¬P(¬P(x) <=> ¬P(¬x))


ou autrement dit :

¬P((x : ?) <=> (¬x : ¿))


Il faut en fait avoir à l'esprit qu'en logique classique, comme (x ∨ ¬x) => ⊤, on a :

P(x) => x
mais (x ∨ ¬x) ≠> P(x)
par conséquent :
x ≠> P(x)
par contre : x : ? <=> ¬P(x)

∧

P(¬x) => ¬x
mais (x ∨ ¬x) ≠> P(¬x)
par conséquent :
¬x ≠> P(¬x)
Par contre : ¬x : ¿ <=> ¬P(¬x)


(x ∨ ¬x => ⊤ si x est une proposition formelle non ambiguë ayant une signification.)



En effet, il ne faut pas se tromper :


Voici plusieurs formules importantes :


- (P(x) ∧ P(¬x)) => ⊥

Démonstration :
((P(x) => x) ∨ P(¬x) => ¬x)) ∧ (x ∧ ¬x => ⊥)
<=>
(P(x) ∧ P(¬x)) => ⊥


- (x ∧ P(x)) ∨ (x ∧ ¬P(x)) ∨ (x ∧ ¬P(¬x)) => ¬⊥


- (¬x ∧ P(¬x)) ∨ (¬x ∧ ¬P(x)) ∨ (¬x ∧ ¬P(¬x)) => ¬⊥


- (P(x) ∧ ¬P(¬x)) ∨ (P(¬x) ∧ ¬P(x)) ∨ (¬P(x) ∧ ¬P(¬x)) => ¬⊥


Soit :

- (P(x) ∧ ¬P(¬x)) => ¬⊥ - (En effet : P(x) => ¬P(¬x)
- (P(¬x) ∧ ¬P(x)) => ¬⊥ - (En effet : P(¬x) => ¬P(x))
- ¬P(x) ∧ ¬P(¬x)) => ¬⊥ - (Tout en se rappelant que : ¬P(¬P(x) <=> ¬P(¬x)) )


On retiendra donc que :

- P(x) => x
- P(¬x) => ¬x
- ¬P(x) <=> x : ?
- ¬P(¬x) <=> ¬x : ¿


Soit en termes de valeur de vérité :

- P(x) => x : 1
- P(¬x) => ¬x : 1
- ¬P(x) <=> (x : ?) : ?x
- ¬P(¬x) <=> (¬x : ¿) : ¿¬x


Donc, puisque je sens que tu vas insister, je vais te les produire ces tableaux de vérité :


________P(x)________P(¬x)________¬P(x)________¬P(¬x)________
________1_1________ 0_ 0_________0_ 1_________ 1__0_________
________0_0________ 1_ 1_________1_ 0_________ 0__1_________
________0_?_________0_ ¿_________1_ ?__________1__¿ _________ (Je traite ? et ¿ sur une seule ligne)


1)
_________¬P(¬x) <=> P(x) _________
_________ 1__0 _ 1_ 1_1__________
_________ 0__1__1__0_0__________
_________ 1__¿ _ 0__0_?__________ (Je traite ? et ¿ sur une seule ligne)

Ce tableau de vérité indique ceci :

(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) => (¬P(¬x) <≠> P(x))
(¬P(¬x) <≠> P(x)) => (¬P(¬x) ∧ ¬P(x))
(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) <=> (¬P(¬x) <≠> P(x))

La troisième ligne de ce tableau de vérité établit la preuve que (¬P(¬x) <=> P(x)) est fausse, autrement dit :
P(¬(¬P(¬x) <=> P(x)))
<=> (¬P(¬x) <≠> P(x))


2)
_______P(x) => ¬P(¬x)________
_______1_1_1__1_ 0 _________
_______0_0_1__0_ 1 _________
_______0_?_1__1__¿ _________ (Je traite ? et ¿ sur une seule ligne)

Ce tableau de vérité indique ceci :

(P(x) ∧ ¬P(¬x)) ∧ (¬P(x) ∧ P(¬x)) ∧ (¬P(x) ∧ ¬P(¬x)) => (P(x) => ¬P(¬x))


Ce le tableau de vérité établit donc la preuve que (P(x) => ¬P(¬x)) est vraie, autrement dit :
P(P(x) => ¬P(¬x))
<=> P(x) => ¬P(¬x)


3)
_______¬P(¬x) => P(x)________
_______ 1__0_ 1_ 1_1________
_______ 0__1_ 1_ 0_0________
_______ 1__¿__0_ 0_?_________ (Je traite ? et ¿ sur une seule ligne)

Ce tableau de vérité indique ceci :

(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) => (¬P(¬x) ≠> P(x))
(¬P(¬x) ≠> P(x)) => (¬P(¬x) ∧ ¬P(x))
(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) <=> (¬P(¬x) ≠> P(x))


La troisième ligne de ce tableau de vérité établit la preuve que (¬P(¬x) => P(x)) est fausse, autrement dit :
P(¬(¬P(¬x) => P(x)))
<=> (¬P(¬x) ≠> P(x))


>>>>>>> conclusion : aucun hic, tout est cohérent.

Moi j'essaierai plus de te ramener à la raison.
La logique tetravalente t'as tué, mec.

Où vois-tu dans mes lignes quelque chose qui ressemblerait de près ou de loin à une logique tétravalente ?

N'importe quoi !

Pour les autres, si il y en a qui aurait un doute sur la validité de son propos, il faut 2 lignes pour démontrer que ses 2 premières propositions sont contradictoires.
On remplace P(x) par A, ¬P(¬x) par B
1) (A->B) si A vaut 1 B vaut 1
2) (A<≠>B) si A vaut 1 B vaut 0

Les deux premières propositions.... Soit :

• ¬P(¬x) <≠> P(x)
• P(x) => ¬P(¬x)

Alors quoi ?

Ça ne veut rien dire ton truc. Et quel est le rapport ?

Qu'est-ce que tu as à redire de mes explications ci-dessus ?

Sa troisième proposition se réfute toute seule :

¬P(¬x) ≠> P(x)
se lit : ne pas pouvoir prouver non x n'implique pas qu'on peut prouver x.
En français ça sonne un peu comme une possibilité ( genre "c'est pas obligé que ça implique") mais une non implication n'est vraie que dans un cas (celui ou l'implication est fausse).
Ce cas c'est : le premier terme est vrai, et le second faux.
Si on ne peut pas prouver non x alors on ne peut pas prouver x.

Le postulat de l'incompétence par Patator !

Dit Beaufman..... Qui raconte n'importe quoi !

Autrement dit : (A ≠> B) est-ce la même chose selon toi que (A => ¬B) quand A est vraie ?

Aille aille aille !! ! Relis toi :

"...mais une non implication n'est vraie que dans un cas (celui ou l'implication est fausse).
Ce cas c'est : le premier terme est vrai, et le second faux.
Si on ne peut pas prouver non x alors on ne peut pas prouver x."

La phrase soulignée est l'équivalent de :

¬P(¬x) => ¬P(x)

Expression qui n'a plus grand chose à voir avec la mienne qui est :

• ¬P(¬x) ≠> P(x)

En effet,

¬P(¬x) ≠> P(x) signifie ceci :

L'absence de preuve de non x n'implique pas qu'une preuve de x existe.


Ou autrement dit encore :

Il est faux de penser qu'une absence de preuve de non x implique qu'une preuve de x existe.


En fait tu voulais certainement dire que ma non implication est établie comme vraie si ¬P(¬x) : vraie et P(x) : fausse, autrement dit :

(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) => (¬P(¬x) ≠> P(x))

Autrement dit encore : s'il est possible qu'il y ait en même temps une absence de preuve produite de non x et une preuve formulée de x, alors (¬P(¬x) ≠> P(x)) est vraie.


Je te remets aussi ce que j'ai dit plus haut :

3)
_______¬P(¬x) => P(x)________
_______ 1__0_ 1_ 1_1________
_______ 0__1_ 1_ 0_0________
_______ 1__¿ _ 0_ 0_? ________ (Je traite ? et ¿ sur une seule ligne)

Ce tableau de vérité indique ceci :

(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) => (¬P(¬x) ≠> P(x))
(¬P(¬x) ≠> P(x)) => (¬P(¬x) ∧ ¬P(x))
(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) <=> (¬P(¬x) ≠> P(x))


La troisième ligne de ce tableau de vérité établit la preuve formelle que (¬P(¬x) => P(x)) est fausse, autrement dit :
P(¬(¬P(¬x) => P(x)))
<=> (¬P(¬x) ≠> P(x))


On peut le faire comme ça aussi :

_______¬P(¬x) ≠> P(x)________
_______ 1__0_ 0__1_1________
_______ 0__1_ 0__0_0________
_______ 1__¿ _1__0_ ? ________ (Je traite ? et ¿ sur une seule ligne)

Ce tableau de vérité indique ceci :

(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) => (¬P(¬x) ≠> P(x))
(¬P(¬x) ≠> P(x)) => (¬P(¬x) ∧ ¬P(x))
(¬P(¬x) ∧ ¬P(x)) <=> (¬P(¬x) ≠> P(x))


La troisième ligne de ce tableau de vérité établit la preuve formelle que (¬P(¬x) ≠> P(x)) est vraie, autrement dit :
P(¬(¬P(¬x) => P(x)))
<=> (¬P(¬x) ≠> P(x))
.

[Exaptator]

En logique on ne cherche pas à approcher le réel on cherche à établir des raisonnements et des discours 100 % cohérents.

Amha voila une "clef" possible du quiproquo qui règne depuis le début !?

Ah ! Je vois qu'il y en a un qui commence à piger un début de truc...



Ne le perds pas surtout !

Le concept de "réel" est un concept très souvent creux s'il n'est pas défini dans le cadre d'une théorie logique consistante.
.

[Exaptator]

Salut Exaptator,

Tu dis :

C'est simple : une chose vraie à 67,17 %, on ne sait pas si elle est vraie ou bien fausse, même si on l'établissait à 99,999% en fait.
- Tu sais, il y a des gens qui gagnent à l'Euro Millions........

On peut le conjecturer avec une certaine crédibilité, mais comme le mot l'indique : l'on est dans la croyance dans ce cas.

À des propositions comme :

P1 : L'Australie est un pays plus vaste (en km²) que la Belgique,
P2 : Le Soleil est plus loin que la Lune,
P3 : Isaac Newton est né avant Albert Einstein,

tu mets combien de "9" ? Au pif. 5 ? 15 ?

Je n'en mets aucun.

P1 : vraie : 1 (100%)
P2 : ? -------> Plus loin que la Lune par rapport à quoi ? Si c'est par rapport à la Terre, P2 : vraie : 1 (100%)
P3 : vraie : 1 (100%)

Quelle information supplémentaire te faudrait-il pour que tu ajoutes un "9" de plus ?

Les informations dont je dispose sont suffisantes pour le savoir à 100 %.

Quelle information supplémentaire te faudrait-il pour que tu considères que tu le sais ?

Je viens de répondre.

Ton "on n'atteint jamais la certitude" a beaucoup en commun avec le fameux "Achille ne rejoindra jamais la tortue".

Je n'ai jamais dit ni impliqué qu'on n'atteindrait jamais la certitude... Tu extrapoles... Tu inventes...

En fait je dis l'inverse : il y a énormément de certitudes accessibles.


Les paradoxes de Zénon ne sont pas en cause, ils prouvent par l'absurde non l'impossibilité du mouvement, mais la discontinuité de toute (apparence de) déplacement dans l'espace et donc implicitement de l'espace lui-même.

Un peu de pragmatisme, que diable !

Remarque qui tombe donc à plat.
.

[Exaptator]

Oui, mais l'on peut aussi faire de la logique uniquement avec des p, des q, et autres lettres sans signification précise sans que ce soit inintéressant. On peut même parvenir formuler des théorèmes profonds et très utiles ainsi.

Bien sûr ! C'est ce que font les mathématiques avec le succès que l'on sait. Le problème est qu'on devienne tellement ébloui par la puissance de cet outil au point de l'utiliser n'importe comment sur n'importe quoi.

Non, le "n'importe quoi" c'est quand on affirme des trucs incohérents. Or, sans l'outil de la logique on en affirme nécessairement si l'on ne ferme pas sa gueule ou si l'on ne suspend pas son jugement.

En logique on ne cherche pas à approcher le réel on cherche à établir des raisonnements et des discours 100 % cohérents.

Le problème est que la Science, c'est justement de comprendre et de prévoir le réel. La façon de le faire est de le sectionner en tranches, le simplifier et se faisant l'appauvrir pour le rendre manipulable. C'est une façon souple et progressive qui conduit à tester des modèles qu'on sait a priori imparfaits mais qui sont potentiellement meilleurs que ceux existants.

Puisque tu en parles comme de quelque chose que tu as l'air de bien connaître, définis moi le "réel".

Introduire trop tôt dans la chaîne d'élaboration de connaissances la rigueur nécessaire aux mathématiques et à la logique tuerait dans l’œuf n'importe quel modèle.

Sans doute que l'on pratiquerait les sciences différemment oui. Mais je ne suis pas sûr que la science y perdrait.

Le modèle planétaire de l'atome, par exemple, qui a permis une bond en avant considérable en Chimie et en Physique n'aurait jamais vu le jour tant il était rempli de contradictions.
La Physique et les Mathématiques n'ont ni les mêmes buts, ni les mêmes moyens. Les confondre n'apporte rien de bon.

Je ne confonds pas science et mathématique, absolument pas. Surtout pas ce que l'on appelle parfois "science" et la mathématique.

Un modèle théorique cela sert justement à ça : à mettre en place des protocoles expérimentaux en vue de vérifier ses hypothèses.
- Mais tenir pour vrai un modèle théorique ou confondre modèles théoriques et théories scientifiques, ce n'est pas savoir ce qu'est une théorie, et plus spécifiquement ce qu'est une théorie scientifique.

Théorie scientifique :

Une théorie scientifique est une théorie logique, permettant d'intégrer des observations paramétrées et des mesures instrumentales comme éléments propositionnels, de façon à établir des lois objectives relatives aux régularités constatées

Théorie au sens large :

Une théorie mathématique ou logique c'est un ensemble d'affirmations dont certaines sont des axiomes et les autres des théorèmes, démontrables à partir de ces axiomes et au moyen des règles de la logique.
.

[Exaptator]

Je disais qu'un axiome est une proposition qui n'est pas discutée car évidente et qui résiste à la critique rationnelle, autrement dit : qu'un axiome n'a aucune raison d'être faux si l'on se base sur cette critique rationnelle qui le met à l'épreuve.

Ce qui, formulé différemment, peut s'écrire : "Exaptator ignore ce qu'est un axiome".

Un axiome, c'est une proposition dont on décide arbitrairement qu'elle est vraie. Point barre.

Non pas du tout, tu confonds ici avec "postulats" ou peut être aussi avec "définitions de bases".

Un axiome est la formulation d'une évidence qui résiste à la critique rationnelle, un axiome n'est jamais arbitraire, ce n'est même pas une vérité que l'on pose.

On les choisit pour obtenir des constructions fécondes. La plupart du temps, remplacer un axiome par sa négation rendrait la théorie moins féconde, donc moins intéressante.

Oui c'est bien ce que je disais, tu confonds avec "postulats" et ou "définitions de bases", voire avec une "hypothèse de travail".

En fait, le concept d'hypothèse de travail est le plus général. Mais un axiome n'est pas arbitraire, certainement pas.

D'ailleurs en suivant la logique de ce que tu dis :

• Si un axiome est bien comme tu dis une hypothèse de travail que l'on pose parce que sa négation serait moins féconde, c'est bien qu'il y a un non-arbitraire (au moins d'un point de vue logique à poser cet "axiome", non ?

>>>>>>> Tu vois, il est toujours bon de réfléchir avant de parler.


Wikipédia :

• "Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi » — lui-même dérivé de αξιος (axios), « digne ») désigne une proposition indémontrable utilisée comme fondement d’un raisonnement ou d’une théorie mathématique."
  
  >>>>>> évident en soi ∧ indémontrable ∧ fondement d'un raisonnement

• "Le postulat (du latin postulare qui signifie « demander ») un principe non démontré utilisé dans la construction d'une théorie mathématique."
  
  >>>>>> indémontrable ∧ fondement d'un raisonnement

Mais ce n'est pas toujours le cas. Exemples :

- Dans les axiomes de la géométrie d'Euclide, la cinquième proposition (qui dit que par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule droite parallèle à la première) peut être remplacée par la description d'une géométrie courbe, la cinquième proposition devenant alors fausse.

L'évidence de la cinquième proposition vaut pour une géométrie à espace non courbe. Cela signifie simplement que cet axiome n'est pas valable dans une géométrie à espace courbe, non évidente. Ceci dit, cela implique-t-il pour autant qu'il n'en serait plus un de la géométrie classique euclidienne ? Si non, pourquoi ? Et serait-il possible de se représenter quelque géométrie courbe sans déjà une bonne maîtrise de la géométrie euclidienne lui servant de cadre conceptuel ?

- L'hypothèse du continu : on peut facilement démontrer que le cardinal (infini) de l'ensemble des nombre réels est strictement supérieur au cardinal (infini aussi) de l'ensemble des nombres entiers (argument de la diagonale).
Mais on peut arbitrairement postuler aussi bien l'existence que l'inexistence d'un ensemble dont le cardinal soit strictement supérieur à celui des nombres entiers et strictement inférieur à celui des nombres réels.

Je ne dirais pas non plus dans ce cas que ce soit arbitrairement. Mais relis toi, tu as bien écrit : "postuler". Or, si un axiome est une espèce de postulat, tout postulat n'est pas un axiome....
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[Exaptator]

Salut Chanur,
Je l'attendais au tournant avec Riemann et Lobatchevski et leur géométries non euclidiennes avec des choix d'axiomes hors du sens commun.
Tu vas le voir sortir les rames !

Ce ne sont pas des axiomes dans ces cas, ce sont des postulats.
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[Exaptator]

Un axiome, c'est une proposition dont on décide arbitrairement qu'elle est vraie. Point barre.

Ce qui est drôle c'est que formulé autrement ça revient à dire qu'un axiome, c'est une proposition qu'on tient pour vraie sans preuve.

Et ça, c'est la définition d'une croyance selon Patator.

Héhé !
Ça c'est ma définition de croyance certes, mais ce n'est pas ma définition d'axiome !

voilà donc encore une subtilité qui t'échappe...

Un axiome n'a pas à être tenu pour vrai, il a à ne pas être tenu pour faux sans preuve, ce n'est donc pas tout-à-fait la même chose l'ami !

En voulant rejeter la notion de croyance de la constitution du savoir, il ne fait que la repousser aux bases de la construction de celui ci.

Dans les axiomes de la géométrie d'Euclide, la cinquième proposition (qui dit que par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule droite parallèle à la première) peut être remplacée par la description d'une géométrie courbe, la cinquième proposition devenant alors fausse.

Oui d'ailleurs ça me faisait déjà tiquer sur la déf : axiome : proposition évidente indémontrable.

Pendant des siècles, des mathématiciens ont essayé de démontrer ce cinquième axiome à partir des quatre autres, si c'était impossible par définition, ils étaient un peu concon

Bien non, c'est toi qui es concon, car essayer de démontrer la cinquième proposition d'Euclide à partir des 4 autres aurait permit de la rejeter comme non axiomatique.

(Il est bien sûr fortement recommandé de chercher à réfuter le caractère axiomatique d'une proposition qualifiable de telle en l'état de la critique.)

Mais on peut arbitrairement postuler aussi bien l'existence que l'inexistence d'un ensemble dont le cardinal soit strictement supérieur à celui des nombres entiers et strictement inférieur à celui des nombres réels.

Du coup le caractère évident est lui même pas pertinent.

Bien il n'a pas à l'être, puisqu'il s'agit dans ce cas d'un postulat.

j'aime bien la simplicité de celle là* :
axiome : proposition admise sans démonstration

genre "42 est la réponse à la grande question sur la vie, l'univers et le reste" est un axiome mais il ne sert pas de base à un quelconque système hypothético-déductif

Je n'admets pas que 42 soit la réponse à toutes les grandes questions..., cette proposition n'est donc pas un axiome.

Par contre j'admets les 4 premiers postulats d'Euclide comme axiomes, ils sont par conséquent possiblement des axiomes..... Selon cette définition.....

Bof.
.

[Cogite Stibon]

Evidemment, il faut être très malin pour inventer des axiomatiques intéressantes.

Je ne pense pas qu'une mathématique dont l'axiomatique serait totalement arbitraire et véritablement détachée du réel puisse avoir de grande chance de se développer.

Je n'ai pas l'impression que ce soit vrai, mais je manque d'argument et d'exemples, désolé.

Finalement, les géométries non-euclidiennes ne se permettent qu'une incursion partielle dans l'irréel.

Pour le coup, je ne suis pas du tout d'accord : c'est l'impression qu'avaient les premier mathématiciens qui ont travaillé dessus, mais aujourd'hui, la description la plus précise de l'espace ou nous vivons c'est un espace non-euclidien (Relativité Générale)

On pourrait dire qu'elles sont plus para-euclidiennes que non-euclidiennes.

Là je n'ai pas compris ce que tu veux dire.

C'est d'ailleurs peut-être pour cela qu'elles ont permis la création de modèles puissants (et inattendus) en Physique.

là non plus

Les règles d'un jeu sont arbitraires mais doivent en même temps ... rendre le jeu jouable et intéressant. De sévères contraintes qui minimisent considérablement le sens du mot "arbitraire".

Entièrement d'accord. C'est ce que j'ai essayé d'exprimer : ce qui compte c'est qu'une théorie soit féconde. Qu'elle donne naissance à des structures riches et intéressantes à étudier. Pas besoin de lien avec le réel.

+1

Tu m'a rappelé ça

[Exaptator]

Un axiome, c'est une proposition dont on décide arbitrairement qu'elle est vraie. Point barre.

Ce qui est drôle c'est que formulé autrement ça revient à dire qu'un axiome, c'est une proposition qu'on tient pour vraie sans preuve.

Et ça, c'est la définition d'une croyance selon Patator.

En voulant rejeter la notion de croyance de la constitution du savoir, il ne fait que la repousser aux bases de la construction de celui ci.

Oui, car il confond logique formelle et épistémologie, il confond preuve mathématique et preuve scientifique.

Ah non, je ne confonds rien de la sorte l'ami !

Voir plus haut ma réponse à E.Beaufman.

Un axiome, c'est quelque chose que dont on décide qu'il est vrai, dans le cadre de la construction d'un système formel, qui n'est pas la réalité....

Toi aussi tu sembles bien connaître "la réalité" selon ce que tu dis, tu vas donc pouvoir me produire une belle définition de "la réalité". Ok ?
- On verra si c'est cohérent avec ce que tu dis là.

Alors je te refais une réponse déjà donnée relativement à la partie de phrase soulignée par moi dans ton texte :

Un axiome n'a pas à être tenu pour vrai, il a à ne pas être tenu pour faux sans preuve.

---------> Par conséquent : un axiome ce n'est pas par définition quelque chose dont on déciderait la vérité..... Cela n'a aucun sens.

A partir des axiomes d'un système formel, on peut dériver tout un tas de propositions, dont on peux prouver formellement qu'elles sont vraies - dans le cadre de ce système formel, rien ne prouve qu'elle corresponde à une quelconque réalité.

Je ne sais pas ce que tu entends par "réalité" et je ne vois pas ce que cela vient faire dans une discussion autour de l'axiome et ses définitions.

Cela dit oui, à partir des axiomes d'un système formel, on peut évidemment dériver tout un tas de propositions, dont on peux prouver formellement qu'elles sont vraies - dans le cadre de ce système formel, tout à fait.

Exemple :

Axiome ∨ ¬Axiome => ⊤

C'est de la logique formelle, et des preuves logiques/mathématiques (la logique formelle est une branche des mathématiques)

En science, on s'intéresse à la réalité. Plus exactement, on cherche à produire des systèmes formels qui décrivent celle-ci le plus fidèlement possible.

Le plus fidèlement possible à la réalité ?



Tu fais comment pour savoir si c'est fidèle où non à "la réalité" ?

Pour ça, on pose des axiomes, on en dérive des propositions, et on vérifie si ces propositions correspondent aux observations. Si oui, les axiomes de départ ont une bonne chance d'être vrais dans la réalité et pas uniquement dans le cadre du système formel.

Oh la la ! Là tu confonds axiomes et hypothèses l'ami !! !

Par exemple, à partir des axiomes posés par Newton, à savoir :
F = m a
et
F = G MA MB / d²

Ce ne sont là en rien des axiomes : F = G MA MB / d² est une loi. Ce n'est même pas une seule hypothèse vérifiée, c'est un ensemble d'hypothèses non ad hoc formant un modèle théorique non ad hoc, vérifié dans son cadre de validité. Or, c'est le cadre de validité de cet ensemble d'hypothèses qui est de nature axiomatique puisqu'il présuppose selon l'évidence un espace physique euclidien.

On peut formellement prouver les lois de Kepler du mouvement des planètes, et calculer formellement la position des planètes à un instant t ou la trajectoire d'un boulet de canon.

C'est la concordance incroyable entre ces calculs et les observations qui amènent à tenir pour vraies les lois de Newton. On ne peut pas les prouver formellement, puisqu'elles sont les axiomes du systèmes formel.

Euh.. Je te rappelle deux trucs triviaux : la loi de la gravitation n'est en rien évidente et ce n'est certainement pas non plus un bidouillage aléatoire que l'on a confronté à l'expérience pour voir si ça colle.....

D'où la double absurdité de son propos quand il veut prouver formellement chacun des signes de cet axiome :

Dans n'importe qu'elle théorie, une théorie est toujours une théorie logique, tout est formel. N'ayant pas une seule vérité proposée dans la théorie de Newton, elle ne repose pas que sur une seule preuve formelle, mais sur au moins autant de preuves qu'elles propose de vérités.
[...]
Il y a au moins autant de vérités élémentaires qu'il y a de relations entre termes dans l'expression mathématique la plus simple possible.

Ici elles ne sont pas moins de 4.

FA/B = FB/A = G .(1) MA .(2) MB /(3) d²(4)

Oui, j'en conclus donc qu'avec de tels propos, tu n'as rien dû comprendre de ce que j'ai dit....

Je ne vais donc pas me répéter, si ce n'est en disant que pour prouver la fausseté de cette loi il suffit d'infirmer par l'expérience une seule de ces 4 sous propositions élémentaires, au choix.

(C'est moi qui est barré et mis en gros dans ton texte.)

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[Exaptator]

Un axiome, c'est quelque chose que dont on décide qu'il est vrai, dans le cadre de la construction d'un système formel, qui n'est pas la réalité.
A partir des axiomes d'un système formel, on peut dériver tout un tas de propositions, dont on peux prouver formellement qu'elles sont vraies - dans le cadre de ce système formel, rien ne prouve qu'elle corresponde à une quelconque réalité.

Tu m'a rappelé ça

Il t'a donc rappelé une contrevérité puisque :

Un axiome n'a pas à être tenu pour vrai, il a à ne pas être tenu pour faux sans preuve.
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[Exaptator]

Les axiomes d'une théorie ont exactement le même statut que les règles du jeu d'échec. Le déplacement des pièces n'a rien d'"évident". S'il y a quelque chose d'évident, c'est qu'une tour ne bouge pas.

Là tu confonds axiomes et règles de base....

Si les règles du jeu d'échec sont intéressantes, c'est qu'elles définissent d'une façon simple un jeu très riche. C'est exactement la même chose pour des axiomes mathématiques.

Là je te rejoins.

Les axiomatiques qui font consensus (l'arithmétique, la géométrie euclidienne, par exemple) c'est parce qu'elles sont très simple tout en donnant naissance à des structures très riches, c'est tout.

Et comment expliques-tu ce consensus autour des propositions axiomatiques si ce n'est par le fait que les axiomes sont des évidences qui résistent à la critique des experts ?

En fait tu me donnes raison à demi-mot en parlant de simplicité.

Par ailleurs, j'ai eu une prof de math qui nous disait "en mathématique, "évident" veut dire "suprêmement facile à démontrer" et non pas "j'ai l'impression que c'est vrai mais je ne sais pas pourquoi"". Une leçon que j'ai retenue et qui m'a souvent évité de dire des bêtises.

Parce que si on veut qu'un axiome soit "évident", il faudrait déjà savoir ce que "évident" signifie. Et sans se baser sur l'axiomatique en question. Alors en se basant sur quoi ?

Evident : pertinent en termes d'efficience bien que non démontré.

Et puis quel sens ça aurait de refuser une théorie parce que ses axiomes ne sont pas évidents ?

Tu te trompes dans les termes que tu emploies.

Je reprends donc ta question pour qu'elle ait un sens :

"Et puis quel sens ça aurait de refuser une théorie parce que ses postulats ne sont pas évidents ?"

--------> Réponse : aucun si ces postulats n'aboutissent à aucune contradiction. La seule différence étant que si une théorie ne se base pas sur des évidences, c'est-à-dire : sur des axiomes, les postulats sur lesquels sa vérité repose n'étant pas évidents, elle souffrira elle même de cette non évidence.
Après, l'on peut baser ses raisonnements sur n'importe quoi..... Cela fera toujours un bon exercice de logique pure....

Ça revient à fermer des portes. C'est là que ça deviendrait triste. Alors que les mathématiques sont le seul domaine de la pensée où il n'y a aucune règle a priori.

Avant les math il y a la logique et la logique ne ferme la porte qu'à la contradiction.

On choisit les règles qu'on veut (y compris en logique, n'en déplaise à Exaptator).....

Extrapolerais-tu de ce que j'ai dit des imbécillités que je ce que j'ai dit n'implique absolument pas ?
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[Cogite Stibon]

CQFD

[Exaptator]

Evidemment, il faut être très malin pour inventer des axiomatiques intéressantes.

Très malin ? Ou vouloir que ça serve à quelque chose ?

Evident : pertinent en termes d'efficience bien que non démontré.

Je ne pense pas qu'une mathématique dont l'axiomatique serait totalement arbitraire et véritablement détachée du réel puisse avoir de grande chance de se développer. Finalement, les géométries non-euclidiennes ne se permettent qu'une incursion partielle dans l'irréel. On pourrait dire qu'elles sont plus para-euclidiennes que non-euclidiennes. C'est d'ailleurs peut-être pour cela qu'elles ont permis la création de modèles puissants (et inattendus) en Physique.

Encore cette référence "au réel"......

Sinon ce que tu dis là est proche de certaines de mes conclusions.

Les règles d'un jeu sont arbitraires mais doivent en même temps ... rendre le jeu jouable et intéressant. De sévères contraintes qui minimisent considérablement le sens du mot "arbitraire".

C'est ce que je dis aussi voir un des posts plus haut :

Spoiler

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On les choisit pour obtenir des constructions fécondes. La plupart du temps, remplacer un axiome par sa négation rendrait la théorie moins féconde, donc moins intéressante.

Oui c'est bien ce que je disais, tu confonds avec "postulats" et ou "définitions de bases", voire avec une "hypothèse de travail".

En fait, le concept d'hypothèse de travail est le plus général. Mais un axiome n'est pas arbitraire, certainement pas.

D'ailleurs en suivant la logique de ce que tu dis :

• Si un axiome est bien comme tu dis une hypothèse de travail que l'on pose parce que sa négation serait moins féconde, c'est bien qu'il y a un non-arbitraire (au moins d'un point de vue logique à poser cet "axiome", non ?

>>>>>>> Tu vois, il est toujours bon de réfléchir avant de parler.

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[Exaptator]

Finalement, les géométries non-euclidiennes ne se permettent qu'une incursion partielle dans l'irréel.

Pour le coup, je ne suis pas du tout d'accord : c'est l'impression qu'avaient les premier mathématiciens qui ont travaillé dessus, mais aujourd'hui, la description la plus précise de l'espace ou nous vivons c'est un espace non-euclidien (Relativité Générale)

Voilà ce qui arrive quand on parle de réel, d'irréel, de réalité, d'irréalité......

Parler de réalité n'a de sens que dans et par un langage cohérent, que dans et par une théorie logique autrement dit.

On pourrait dire qu'elles sont plus para-euclidiennes que non-euclidiennes.

Là je n'ai pas compris ce que tu veux dire.

Il semble vouloir dire, si j'ai bien compris notre ami, que les géométries dites non-euclidiennes sont en fait que des généralisations de la géométrie euclidienne, géométrie qui sert de socle théorique à toutes les autres.

Si c'est le cas je partage avec lui ce propos.

Les règles d'un jeu sont arbitraires mais doivent en même temps ... rendre le jeu jouable et intéressant. De sévères contraintes qui minimisent considérablement le sens du mot "arbitraire".

Entièrement d'accord. C'est ce que j'ai essayé d'exprimer : ce qui compte c'est qu'une théorie soit féconde. Qu'elle donne naissance à des structures riches et intéressantes à étudier. Pas besoin de lien avec le réel.

Relis toi, tu disais je te cite :

• Un axiome, c'est une proposition dont on décide arbitrairement qu'elle est vraie. Point barre.

.

[Etienne Beauman]

>>>>>>> conclusion : aucun hic, tout est cohérent.

On peut savoir pourquoi d'un coup tu pars te réfugier dans la logique intuitionniste ?

Je te demandais dans ton intérêt, je n’essayerai plus de ton convaincre, d'écrire les tableaux de vérité de tes affirmations trollesque en bonne logique classique.

Les deux premières propositions.... Soit :

¬P(¬x) <≠> P(x)
P(x) => ¬P(¬x)

Alors quoi ?

( ¬P(¬x) <≠> P(x) ) <=> ( (¬P(¬x) ≠> P(x)) ∨ (P(x) ≠> ¬P(¬x)) )

la partie soulignée constituante de ta première affirmation est contraire à ta deuxième affirmation.

T'as tout ce qu'il faut pour comprendre que tu dis de la merde.
Bonne route !

[Chanur]

Je ne vais pas répondre à l'ensemble du flood. Ce serait trop long et sans intérêt. Juste un point qui m'a parut particulièrement étrange :

L'évidence de la cinquième proposition vaut pour une géométrie à espace non courbe.

Donc il existe une définition de la géométrie, préalable aux axiomes d'Euclide, et qui permet de savoir si une géométrie est plate ou courbe.
Je l'ignorais.
Pourrais-tu, s'il te plais, nous donner la référence de cette définition ?

Cela signifie simplement que cet axiome n'est pas valable dans une géométrie à espace courbe, non évidente.

(c'est moi qui souligne)
Pourrais-tu, s'il te plais, nous expliquer en quoi il est plus évident de tracer des lignes sur un plan (géométrie plane) que sur un ballon (géométrie courbe) ?
Et qu'est-ce qui selon toi démontre l'"évidence" de la géométrie plane alors qu'on n'en connaît aucun exemple concret, puisqu'en dernière analyse (à ce jour) nous vivons dans un espace-temps à géométrie courbe ?

Ceci dit, cela implique-t-il pour autant qu'il n'en serait plus un de la géométrie classique euclidienne ? Si non, pourquoi ?

Je n'ai pas compris : tu demandes si ce que tu as écrit impliquerait que la cinquième proposition d'Euclide ne soit pas un axiome de la géométrie d'Euclide ?
A l'évidence non.
Pourquoi ? Parce qu'elle fait partie des propositions d'Euclide.
C'est tellement absurde qu'il est clair que c'est moi qui ne comprends pas ce que tu veux dire.

Et serait-il possible de se représenter quelque géométrie courbe sans déjà une bonne maîtrise de la géométrie euclidienne lui servant de cadre conceptuel ?

Oui.
(A part le fait que j'ignore ce que tu entends par "se représenter")

Enfin, tu as donné ta définition d'"évident" ("pertinent en termes d'efficience bien que non démontré") et je ne vois pas du tout en quoi les géométries courbes serait moins efficientes que les géométries planes (qui n'en sont qu'un cas particulier). Ça m'intéresserais aussi que tu m'éclaires sur ce point particulier.

[Wooden Ali]

Voilà ce qui arrive quand on parle de réel, d'irréel, de réalité, d'irréalité......

Le concept de "réel" est un concept très souvent creux s'il n'est pas défini dans le cadre d'une théorie logique consistante.

Pourtant l'existence d'un "réel" qu'on peut définir comme ce qui existe objectivement indépendamment de tout observateur est un des rares postulats nécessaire à la méthode scientifique. Sans ce réel objectif, pas de Science possible.
On appréhende le réel selon ses moyens cognitifs et ses facultés de traitement de données pour en produire une image incomplète et, par essence imparfaite.Une "théorie logique consistance" n'est qu'un moyen pour créer cette image dont la pertinence sera mesurée à sa faculté de faire des prédictions justes. Le réel n'a besoin d'aucune considérations logiques pour être défini.

Quant au caractère purement arbitraire d'une axiomatique, j'ai du mal à m'y faire. Quelqu'un peut-il me donner une branche des mathématiques qui n'ait pas été utilisée par une discipline scientifique ? L'intrication remarquable entre les Maths et la Physique montre que les axiomes de l'un et les faits de l'autre ne sont pas aussi indépendants qu'on pourrait le croire.
Je suis bien d'accord qu'en principe, n'importe quelle axiomatique non contradictoire et la logique permettent de créer une mathématique. Mais j'ai l'impression qu'en disant ça, on passe à côté de quelque chose plus profond.
Dernier point : l'espace n'est ni euclidien, ni courbe, ni ... Cela s'applique à une image qu'on en a. Il ne faut pas confondre la carte et le terrain.